Полковник Столбошинский А. П. Курс артиллерии Книга 8: Теория вероятностей. Рассеивание при стрельбе -------------------------------------------------------------------------------- Издание: Курс артиллерии. Книга 8: Теория вероятностей. Рассеивание при стрельбе. - М.: Воениздат МВС СССР, 1949. - 284 с. / Полковник А. П. Столбошинский. Под общей редакцией генерал-майора инженерно-артиллерийской службы Блинова А. Д. // Цена 8 руб. 75 коп. Scan: Андрей Мятишкин (amyatishkin@mail.ru) Отсутствуют страницы 283-284. Аннотация издательства: В книге освещены вопросы теории вероятностей,, теории ошибок и рассеивания при ударной и дистанционной стрельбе. Книга может быть рекомендована в качестве учебника для курсантов артиллерийских училищ. Кроме того, она может служить пособием для офицеров Советской Армии при их самостоятельной работе. ОГЛАВЛЕНИЕ РАЗДЕЛ I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Глава 1. Вероятность события § 1. Предмет теории вероятностей (стр. 3) § 2. Событие (стр. 6) § 3. Вероятность события (стр. 7) § 4. Частость события (стр. 12) § 5. Соотношение между вероятностью и частостью события (стр. 15) § 6. Теорема сложения вероятностей (стр. 16) § 7. Теорема умножения вероятностей (стр. 21) § 8. Геометрическая вероятность (стр. 34) § 9. Задачи на вероятность и частость события (стр. 37) Глава 2. Повторение испытаний § 10. Вероятность комбинации (стр. 40) § 11. Наивероятнейшая комбинация (стр. 46) § 12. Кривая распределения вероятностей комбинаций (стр. 51) § 13. Закон больших чисел (стр. 56) § 14. Вероятность появления события хотя бы один, два, три и т. д. раз (стр. 58) § 15. Надежность стрельбы (стр. 62) § 16. Задачи на вероятности при повторении испытаний (стр. 65) Глава 3. Математическое ожидание § 17. Математическое ожидание переменной величины. Математическое ожидание суммы и произведения (стр. 67) § 18. Частный случай математического ожидания (стр. 74) § 19. Экономичность стрельбы (стр. 76) § 20. Задачи на математическое ожидание (стр. 78) Глава 4. Вероятности гипотез § 21. О вероятностях гипотез (стр. 79) § 22, Теорема гипотез (стр. 82) § 23. Теорема будущих событий (стр. 94) § 24. Задачи на вероятности гипотез (стр. 102) РАЗДЕЛ II. ТЕОРИЯ ОШИБОК Глава 5. Линейные ошибки § 25. Ошибки измерений (стр. 104) § 26. Законы случайных ошибок (стр. 108) § 27. Вывод закона случайных ошибок Гаусса (стр. 110) § 28. Численное выражение закона Гаусса (шкала ошибок) (стр. 126) § 29. Средняя арифметическая и средняя квадратическая ошибки и зависимость между ними и срединной ошибкой (стр. 136) § 30. Закон равной вероятности (стр. 141) § 31. Задачи на линейные ошибки (стр. 146) Глава 6. Сложение законов случайных ошибок § 32. Сложение законов Гаусса (стр. 148) § 33. Сложение закона Гаусса и закона равной вероятности (стр. 152) § 34. Задачи на сложение законов ошибок (стр. 156) Глава 7. Обработка результатов измерений § 35. Подходящее значение измеряемой величины (стр. 158) § 36. Подходящее значение срединной ошибки (стр. 162) § 37. Срединная ошибка среднего результата (стр. 168) § 38. Подходящее значение срединной ошибки по разностям между отдельными результатами (стр. 177) § 39. Приложимость закона Гаусса и исключение анормальных результатов измерения (стр. 183) § 40. Задачи на обработку результатов измерений (стр. 191) Глава 8. Ошибки на плоскости и в пространстве § 41. Ошибки-векторы (стр. 194) § 42. Векториальная ошибка (стр. 199) § 43. Эллиптическая и эллипсоидальная ошибки (стр. 206) § 44. Задачи на ошибки на плоскости и в пространстве (стр. 215) РАЗДЕЛ III. РАССЕИВАНИЕ ПРИ СТРЕЛЬБЕ Глава 9. Рассеивание траекторий и точек разрывов § 45. Явление рассеивания траекторий и его причины (стр. 217) § 46. Сноп траекторий (стр. 221) § 47. Закон рассеивания траекторий (стр. 224) § 48. Обработка результатов стрельб (стр. 232) § 49. Рассеивание при стрельбе из нескольких орудий (стр. 236) § 50. Рассеивание точек разрывов при дистанционной стрельбе (стр. 241) § 51. Задачи на рассеивание траекторий и точек разрывов (стр. 247) Глава 10. Вероятность попадания § 52. Факторы, определяющие величину вероятности попадания (стр. 251) § 53. Вероятность попадания в полосу бесконечной длины (стр. 253) § 54. Вероятность попадания в прямоугольник, стороны которого параллельны главным полуосям эллипса рассеивания (стр. 260) § 55. Определение вероятности попадания в цель любого очертания (стр. 263) § 56. Определение вероятности попадания по теневому графику (стр. 266) § 57. Определение вероятности попадания способом сопоставления площадей (стр. 268) 58. Вероятность попадания при наличии ошибки в определении положения цели (стр. 271) § 59. Задачи на вероятность попадания (стр. 272) Приложения (стр. 275) Перечень использованной литературы (стр. 282) ==================================================================== полковник А. П. СТОЛБОШИНСКИЙ КУРС АРТИЛЛЕРИИ КНИГА 8 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. РАССЕИВАНИЕ ПРИ СТРЕЛЬБЕ. Под общей редакцией генерал-майора инженерно-артиллерийской службы БЛИНОВА А. Д. ВОЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО МИНИСТЕРСТВА ВООРУЖЕННЫХ СИЛ СОЮЗА ССР Москва - 1949 Полковник А. П. Столбошинский. КУРС АРТИЛЛЕРИИ, книга 8. Теория вероятностей. Рассеивание при стрельбе. В книге освещены вопросы теории вероятностей,, теории ошибок и рассеивания при ударной и дистанционной стрельбе. Книга может быть рекомендована в качестве учебника для курсантов артиллерийских училищ. Кроме того, она может служить пособием для офицеров Советской Армии при их самостоятельной работе. РАЗДЕЛ I ОСНОВЫ ТЕОРИЙ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ГЛАВА 1 ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ § 1. ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Каждое явление, происходящее в природе или общественной жизни, неизбежно оканчивается некоторым результатом. В зависимости от характера действия причин, вызывающих то или иное явление, его конечный результат может быть неслучайным или случайным. Покажем на примере, при каких условиях конечный результат явления носит случайный характер. Подбрасывается вверх игральный кубик, на гранях которого нанесены очки: от одного до шести. Кубик подбрасывается над столом. Кубик неизбежно упадет на стол. Конечный результат падения - выход того или иного числа очков - результат случайный. Определить заранее нельзя, какое количество очков выйдет в результате подбрасывания кубика. При повторении подбрасывания может выйти другое количество очков, хотя будет подбрасываться тот же кубик над тем же столом и тем же лицом. Все это объясняется тем, что выход того или иного числа очков обусловливается очень многими причинами: положением кубика в руке бросающего, высотой подбрасывания, положением кубика в момент его соприкосновения с поверхностью стола, свойствами этой поверхности и т. д. Любую из этих причин можно подразделить на ряд более мелких причин, из которых каждая, может быть, и очень незначительно, но окажет какое-то влияние на результат подбрасывания кубика. Так, например, положение кубика в руке бросающего определяется: какими гранями и насколько полно кубик соприкасается с ладонью, какие части ладони и как охватывают кубик, насколько сильно при этом сжата рука и пр. Совершенно оче- видно, что никакому учету все эти причины не поддаются, а при каждом отдельном бросании действие их в своей совокупности носит, несомненно, случайный характер. Поэтому при повторении бросаний и имеет, как правило, место выход различного числа очков. Этот пример достаточно наглядно показывает природу случайных результатов явления. Как мы видим, явление, которому свойственны случайные результаты, может иметь их несколько; какой из них будет иметь место при испытании, заранее определить нельзя, так как любой из этих конечных результатов может быть, а может и не быть. Это первая отличительная особенность случайных результатов явления, так как неслучайный результат может быть только один и, что это за результат, можно определить заранее; поэтому-то неслучайный результат явления так и называется. Другая отличительная особенность случайных результатов некоторого явления состоит в том, что при повторении этого явления, иначе говоря, при повторении испытания в одинаковых по возможности условиях, можно установить вполне определенную закономерность, которой следуют эти случайные результаты, притом тем яснее, тем полнее, чем больше было таких повторений. В стрелково-артиллерийской практике постоянно приходится иметь дело со случайными результатами соответствующего рода явлений. Наиболее типичный пример - рассеивание снарядов. Явление полета снаряда неизбежно заканчивается падением этого снаряда на землю. Результат падения снаряда - положение точки падения на местности - результат случайный. Повторение выстрела в тех же условиях (орудие, снаряд, заряд, установки и пр.) даст, за очень редким исключением, другую точку падения, не совпадающую с первой. Это объясняется тем, что направление и дальность полета снаряда, а отсюда и положение его точки падения определяются многими причинами: формой и весом снаряда, весом и балистическими свойствами пороха боевого заряда, положением ствола в момент выстрела, скоростью и направлением ветра, температурой воздуха и т. д. Для отдельных выстрелов снаряды будут несколько различаться между собой весом и формой, заряды - весом и свойствами пороха, различны будут углы бросания и углы ЦО Тн, меняться будут скорость и направление ветра и т. д. Учесть все эти изменения при каждом отдельном выстреле нельзя, а поэтому отклонения снарядов вследствие рассеивания носят случайный характер. Если произвести достаточно большое число выстрелов в одинаковых условиях, можно обнаружить вполне определенную закономерность в распределении отдель- ных точек падения относительно средней (центра рассеивания) - известный нам закон рассеивания снарядов: неравномерность, симметричность и небеспредельность этого распределения, По результатам небольшого числа выстрелов такую закономерность установить нельзя, и можно даже притти к неверным выводам. Когда мы говорим, что любой из нескольких случайных результатов некоторого явления может быть, но может и не быть, то это не означает, что степень возможности получения (появления) таких результатов одна и та же. Наоборот, как правило, эта степень возможности или, как мы будем говорить, вероятность получения различных конечных результатов тех явлений, с которыми нам обычно приходится иметь дело, неодинакова. И действительно, мы знаем, например, что рассеивание снарядов неравномерно - к центру эллипса рассеивания они падают чаще (гуще), а к краям его реже. Очевидно, что вероятность (степень возможности) получить точку падения снаряда вблизи центра рассеивания больше, чем вероятность получить точку падения в удалении от этого центра. Чтобы иметь возможность сравнивать вероятности отдельных случайных результатов данного явления, а отсюда и иметь возможность их предвидеть, необходимо знать численное (количественное) выражение закономерности, которой следуют эти результаты. I Наука, занимающаяся изучением с количественной стороны закономерностей, которым следуют случайные резуль-\таты явлений, называется теорией вероятностей. 2% -48д-ЗВд -2Вд -Вд 0 +Вд +23д +ЗВЭ +4В9 Рис. 1 На примере того же рассеивания такая численная (количественная) закономерность выражается известной нам шкалой рассеивания (рис. 1), которая в процентах дает численные значения вероятностей получения при одном выстреле точки падения снаряда в определенных границах, выраженных величинами срединных отклонений (Вд, Вб и Be). Эта шкала, в частности, подтверждает, что вероятности получения различных случайных результатов одного и того же явления неодинаковы. Она позволяет рассчитывать такие, нужные артиллеристу вероятности, как вероятности недолета, перелета, попадания, промаха и т. д. Теория вероятностей находит широкое применение в самых разнообразных отраслях знания: социально-экономические науки, астрономия, физика, метеорология и т. д. и, в частности, артиллерийская стрельба. Везде, где она применяется, она изучает с количественной стороны закономерность, которой следуют случайные результаты исследуемого явления. Нужно подчеркнуть, что качественную сторону этих закономерностей теория вероятностей не исследует. Применение теории вероятностей к артиллерийской стрельбе позволяет научно предвидеть результаты стрельбы, устанавливать правила стрельбы, обеспечивающие при систематическом их применении получение наилучших результатов, позволяет подыскивать методы стрельбы, дающие поражение цели с наименьшим расходом снарядов и в наикратчайший срок, т. е. позволяет так или иначе влиять на результат стрельбы. Отсюда справедлива и такая формулировка: теория вероятностей есть раздел математики, вырабатывающий численные правила, от систематического применения которых следует ожидать наилучших результатов. Получение наилучших результатов только при систематическом применении правил, основанных на теории вероятностей, обусловливается тем, что количественные закономерности случайных результатов явлений обнаруживаются только при большом числе испытаний. Теория вероятностей, как и всякая математическая наука, пользуется рядом аксиом, положений и теорем, установление, вывод и анализ которых, а также возможность их практического применения (главным образом к артиллерийской стрельбе) и составляют содержание настоящего Курса. § 2. СОБЫТИЕ Событием в теории вероятностей называется случайный конечный результат явления^ независимо от степени значимости этого результата1. Недолет, перелет, попадание, промах при стрельбе, то или иное число очков при бросании игральной кости, выигрыш или проигрыш в лотерее, - все это события. События обычно обозначаются большими буквами латинского алфавита: А, В, С, D и т. д. Каждая математическая дисциплина исходит из некоторого основного понятия: арифметика - из понятия числа, геометрия - из понятий точки, линии, плоскости и т. д. Поскольку теория вероятностей изучает закономерности случайных конечных результатов явлений, основным понятием в теории вероятностей является событие. События называются единственно возможными, если в данных условиях одно из них непременно произойдет. Например, * Необходимо отметить, что этот термин принят только в теории вероятностей, так как вообще противопоставлять событие явлению нельзя. при одном выстреле из винтовки попадание и промах - события единственно возможные. При двух выстрелах из винтовки •единственно возможными событиями будут, два попадания, попадание при первом выстреле и промах при втором выстреле, промах при первом выстреле и попадание при втором выстреле и, наконец, два промаха. Если имеется ряд единственно возможных событий некоторого явления, то отдельное испытание приводит лишь к одному из этих событий, и появление одного такого события исключает появление всех остальных событий того же ряда. События, появление одного из которых исключает появление всех остальных событий из ряда единственно возможных, называются несовместными. Так, при двух выстрелах из винтовки перечисленные выше четыре события несовместны, так как при получении, например, двух попаданий невозможно получение при тех же выстрелах двух промахов или одного попадания и одного промаха; два попадания исключили при этом испытании получение любого из трех остальных событий. Если несовместных событий только два, они называются противоположными (иначе - дополняющими). Получение недолета и перелета, попадания и промаха при стрельбе, выигрыш и проигрыш в лотерее - события противоположные. Помимо событий несовместных, существуют события совместные', это имеет место тогда, когда появление одного из них не исключает возможности появления остальных. Например, снаряд может попасть в цель и не разорваться; попадание и неразрыв снаряда - события совместные. При стрельбе на рикошетах может быть получен рикошет перед целью; в этом случае рикошет и недолет - события совместные. Точно так же совместными событиями будут рикошет и перелет (нерикошет и недолет, нерикошет и перелет). § 3. ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ В § 1 было сказано, что вероятность события, как сте-день возможности его появления, может быть выражена числом. Естественно возникает вопрос, какое это число и как -его определить. Прежде чем перейти к численному выражению вероятности события, необходимо предварительно установить, какие события следует считать равновозможными. События считаются равновозможными, если нет никаких оснований полагать, что в данных условиях существуют какие-то причины, вследствие которых появление одного события более возможно, чем появление другого. Пример. В закрытом ящике имеется 10 совершенно одинаковых шаров, занумерованных по порядку: № 1, № 2, № 3 и т. д. до № 10. Если шары тщательно перемешать и затем,, не глядя, вынуть из ящика один шар, то может появиться любой из 10 шаров, так как при таком испытании нет никаких оснований полагать, что появление шара одного какого-либо номера более возможно, чем появление другого. Наиболее наглядное представление о единственно возможных, несовместных и равновозможных событиях дают примеры с игральными костями, шарами и т. п. Поэтому вывод и иллюстрация очень многих основных положений теории вероятностей производятся на подобных примерах. Воспользуемся примером с шарами, чтобы установить правило (общую формулу) математического выражения вероятности события. Положим, что в трех закрытых ящиках имеется по 4 шара в каждом, причем в ящике № 1-3 белых и 1 черный шар, в ящике №2 - 2 белых и 2 черных шара и, наконец, в ящике № 3 - 1 белый и 3 черных шара (рис. 2). !ооо* ООФФ <:)••• /Y-7 №2 Рис. 2 Л/-°3 Шары различаются между собой только цветом и тщательно в ящиках перемешаны. Испытание заключается в том, что из ящика вслепую вынимается один шар. Посмотрим, как можно численно выразить вероятность появления белого шара из каждого ящика в отдельности. Начнем с ящика № 1. В этом ящике имеется 4 шара, no-условиям нашего испытания любой из этих 4 шаров может появиться. Таким образом, случаев появления шара из ящика № 1 всего 4. Эти случаи (появления) единственно возможны (других шаров в ящике нет), несовместны (вынимается один шар) и равновозможны (шары различаются только цветом и шар вынимается вслепую). Нас интересует появление белого шара. Таких шаров в ящике 3. Поэтому из 4 равновозможных случаев появления шара (независимо от его цвета) 3 случая будут, как принято* говорить в теории вероятностей, благоприятствовать появлению белого шара. Можно пояснить это иначе. Представим себе, что в наш ящик одновременно опустили руку 4 человека и каждый из них, не глядя, взял по одному шару. Положим, что человек, вынувший белый шар, выигрывает, а вынувший черный шар - проигрывает. Очевидно, что при одновременном вынимании рук из ящика в трех руках окажется по белому шару - 3 человека будут иметь выигрыш. Также очевидно, что при повто- 8 рении такого розыгрыша всегда будут выигрывать 3 человека-из 4, ибо до тех пор, пока в ящике № 1 не изменится соотношение между белыми и черными шарами, появлению белого-шара в руке каждого из участников всегда будут благоприятствовать 3 случая из 4 возможных. Перейдем теперь к ящику № 2. В этом ящике также 4 шара, но белых из них 2, Рассуждая аналогично, приходим к заключению, что из 4 равновозможных случаев появления шара 2 случая будут благоприятствовать появлению белого-шара. И, наконец, в ящике № 3 из 4 шаров только 1 белый. Следовательно, из 4 возможных случаев появления шара 1 случай будет благоприятствовать появлению белого шара.. Итак, появлению белого шара: - из ящика J№ 1 благоприятствуют 3 случая из 4; - из ящика № 2 благоприятствуют 2 случая из 4; - из ящика № 3 благоприятствует 1 случай из 4, или, применительно к розыгрышу, если вынимать шары: - из ящика № 1, всегда выигрывают 3 человека из 4; - из ящика № 2, всегда выигрывают 2 человека из 4; - из ящика № 3, всегда выигрывает 1 человек из 4. Следовательно, до розыгрыша на каждого из его участников приходится, если взять: - ящик № 1 - 3/4 выигрыша; - ящик № 2 - 2/4 выигрыша; - ящик № 3- 1/4 выигрыша. Поэтому вероятность (степень возможности) появления белого шара или вероятность выигрыша из ящика № I можно выразить дробью 3/4, из ящика № 2 - дробью 2/4 и из ящика № 3 - дробью 1/4, т. е. отношением числа случаев, благоприятствующих появлению белого шара из данного ящика. к числу всех равновозможных случаев появления шара независимо от его цвета. Покажем, что выражение вероятности появления белого шара таким отношением справедливо и тогда, когда мы имеем дело с другим количеством белых и черных шаров в ящике. Положим, что имеется ящик № 4, в котором 3 белых и 3 черных шара, и сравним вероятность появления белого шара из этого ящика с вероятностью появления белого шара из ящика № 2 (рис. 3). ООО В обоих этих ящиках белые шары ' ^^-'^f составляют половину общего числа ша- N?4 ров, т. е. соотношение между числом Рис. з случаев, благоприятствующих появлению белого шара, и числом всех возможных случаев появления шара здесь одно и то же. А если это так, то и вероятность появления белого шара из ящика № 4 равна вероятности появления белого шара из ящика № 2. В самом деле: 3 __ 1_ 2 __ \ 6 ~~ 2 И 4 ~~ 2"' Сопоставляя вероятности появления белого шара из ящиков № 1, № 2 и № 3, мы видим, что эти вероятности 3/4, 2/4 и 1/4 прямо пропорциональны количеству случаев, благоприятствующих появлению белого шара: 1.2.1 -Q.O-I 4 ' 4 • 4 -*•*• 1> иначе говоря, во сколько раз число случаев, благоприятствующих появлению белого шара из одного ящика, больше (меньше} числа случаев, благоприятствующих появлению белого шара из другого ящика, во столько же раз численное значение вероятности появления белого шара из одного ящика больше (меньше) численного значения вероятности появления белого шара из другого ящика. Поэтому в математическом выражении вероятности появления белого шара из данного ящика число случаев, благоприятствующих появлению такого шара, и находится в числителе. Сопоставляя вероятности появления белого шара из ящиков № 1 и № 4, где число благоприятствующих случаев одно и то же (3 и 3), а число всех возможных случаев различно (4 и 6), видим, что вероятности появления белого шара из этих ящиков обратно пропорциональны числам всех возможных случаев: 1:1=6:4, иначе говоря, во сколько раз число всех возможных случаев появления шара' независимо от его цвета из одного ящика больше (меньше) числа всех возможных случаев появления шара из другого ящика, во столько же раз численное значение вероятности появления белого шара из одного ящика меньше (больше) численного значения вероятности появления ^белого шара из другого ящика. Поэтому в математическом выражении вероятности появления белого шара число всех возможных случаев мы поместили в знаменателе. На основании приведенной пропорциональности можно утверждать, что отношение числа случаев, благоприятствующих появлению белого шара, к числу всех возможных случаев действительно математически выражает вероятность появления белого шара при любом соотношении между белыми и черными шарами. Распространив этот вывод на любое случайное событие, мы принимаем, что математическая вероятность события 10 равна отношению числа случаев, благоприятствующих появлению этого события, к числу всех возможных случаев; при этом случаи предполагаются единственно возможные, несовместные и равновозможные, т. е. р- т ^ - п ' где Р - (начальная буква латинского слова probabilitas, что означает вероятность) - вероятность события; т - число случаев, благоприятствующих появлению события; п - число всех возможных случаев. Обычно слово "математическая" опускается, и говорят просто: "вероятность события". Пример. Чему равна вероятность появления 6 очков при однократном бросании игральной кости? Решение. Случаев, благоприятствующих появлению 6 очков, - один, так как только на одной грани кости имеется такое число очков. Всех возможных случаев 6, так как любая из 6 граней может оказаться сверху. Отсюда вероятность появления 6 очков Я---!--* п 6 Случаев, благоприятствующих появлению события, не может быть больше числа всех возможных случаев, поэтому и вероятность события не может быть больше единицы. Вероятности, равной единице, отвечает достоверное событие, т. е. такое событие, которое в данных условиях не может не произойти - оно обязательно произойдет. Так, например, появление белого шара из ящика, в котором находятся только 4 белых шара, есть событие достоверное. Вероятность появления белого шара из такого ящика: />=•_ = 1. 4 Число случаев, благоприятствующих появлению события, не может быть меньше нуля, отсюда и вероятность события также не может быть меньше нуля. Вероятности, равной нулю, отвечает невозможное событие, т. е. такое событие, которое в данных условиях не может произойти. Например, появление белого шара из ящика, в котором имеется только 4 черных шара, есть событие невозможное. Вероятность появления белого шара из такого ящика р=!-о. / А это означает, что вероятность события всегда выражается правильной дробью, так как величина ее заключена в пределах от единицы до нуля: 0<Я<1. 11 Вероятность события может быть выражена и в процентах. Событие невозможно - вероятность его 0° 0, событие достоверно- вероятность его Ю0°/0. При пользовании установленной выше формулой для выражения вероятности события не исключены грубейшие ошибки, если не учитывать со всей тщательностью несовместности и равновозможности случаев. Пример 1. В ящике находятся 5 совершенно одинаковых шаров: 2 красных и 3 белых; шары занумерованы (рис. 4). Некто вынимает вслепую 1 шар и может при этом выиграть или проиграть - выигрывает, если вытянет шар с № 1 или красный шар. Какова вероятность выигрыша? (c)_(c)(c)< Рис. 4 Решение. Всех возможных случаев появления шара - 5. Случаев, благоприятствующих выигрышу, на первый взгляд 4: два шара с № 1 и два красных шара. Отсюда вероятность выигрыша как будто М- Но такое решение неверно, так как два случая, благоприятствующих выигрышу - появление шара с № 1 и появление красного шара - случаи совместные. Можно вынуть красный шар и вместе с тем шар с № 1. Для правильного решения необходимо определить число несовместных случаев, благоприятствующих выигрышу. Таких случаев 3: появление белого шара с № 1 и появление 2 красных шаров. Тогда искомая вероятность '-4- § 4. ЧАСТОСТЬ СОБЫТИЯ Чтобы обнаружить закономерность, которой подчинены конечные случайные результаты явления, необходимо обработать результаты достаточно большого числа испытаний, т. е. выяснить, как часто происходило то или иное событие из всей совокупности событий, исчерпывающих рассматриваемое явление. Разделив число появлений интересующего нас события на число всех произведенных испытаний (опытов), мы получим ответ на этот вопрос. Например, если при 20 выстрелах получено 4 попадания, то, разделив 4 на 20, мы установим, как часто происходило попадание при такой стрельбе. Отношение числа появлений события к числу всех опытов называется частостью события. В приведенном выше примере частость попадания равна _± _!• 20 ~~ 5 ' эта частость показывает, что в средне\5 на каждые 5 выстрелов было получено 1 попадание. 12 В общем виде частость события выражается формулой - 2L г~ N ' где г - частость события; М - число его появлений; -V - число произведенных опытов. Пример. При 12 выстрелах было получено 3 недолета. Какова частость недолета? Решение. Число появлений события М - 3, число произведенных опытов N=12, тогда искомая частость _ JL 1 г ~ 12 - 4 ' Выясним, какими свойствами обладает частость. Положим, что при 15 выстрелах было получено 5 попаданий. Отсюда частость попадания - JL_ I Г~~ 15 ~ 3 ' Произведем еще 3 выстрела. Если при этом будет получено 1 попадание и 2 промаха, то частость попадания не изменится: г_ 5+1 _ 6 __Г 15 + 3~18~3 • Если при тех же 3 выстрелах получатся все попадания, то частость попадания увеличится: - 5 + 3 __ 8 _ 4 Г ~ 15 + 3 ~~ 18 ~~ 9 ' Если добавленные 3 выстрела дадут все промахи, то частость попадания уменьшится: 5 + 0__5_ Г~~ 15 + 3 ~~~ 18 ' Отсюда делаем вывод, что частость события изменяется с изменением числа произведенных опытов и с изменением числа появлений события. Событие при данном числе произведенных опытов может появиться или при всех опытах, или только при части опытов, или совсем не появиться, т. е. число появлений события может быть равно или числу всех опытов, или числу части опытов, или равно нулю. Поэтому частость события и выражается числом, заключенным в пределах от нуля до единицы, т. е. правильной дробью: 0<г<1, или в процентах: Oe/0 а частость события В _ М2 гв- дГ~- Так как события А и В противоположны, т. е. Ml + Mt = Nt то сумма частостей этих событий г 4- г - ^-i 4- ^ - Mi + M* - ^ - 1 'A f 'в-~ N ~t~ N ~~ N ' ~~ N ~ L' Пример. При 8 выстрелах было получено 3 недолета и 5 перелетов. Тогда сумма частостей недолета и перелета _ 3 5 __ 8 1 гн-Г-Гп- 8-t-8__g_l. Сумма частостей противоположных событий равна единице. Исходя из этого вывода, зная частость одного события, мы можем найти частость другого события, противоположного первому. Пример. Частость попадания равна ~-. Чему равна частость промаха? Решение. , =i_r -.1-!-.-*. 'пр L 'поп 1 4 ~ 4 ' Очевидно, что и для любого числа несовместных событий^ которые произошли при данном числе опытов, сумма их частостей также должна быть равна единице. Пример. При 10-кратном бросании игральной кости: б очков вышли 3 раза; 4 очка- 1 раз; 3 очка - 4 раза; 1 очко - 2 раза. Тогда частость получения: 3 о очков: /"б = -JQ- ; 1 4 очков: r4 = -TQ- ; 4 3 очков: /з = TQ- ; 2 1 очка: /1 == -ттг • Сумма этих частостей Гв4-г4+га+г1=^ + 1^+^..^ ^=1. § 5. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ВЕРОЯТНОСТЬЮ И ЧАСТОСТЬЮ СОБЫТИЯ Между вероятностью и частостью события имеется разница по существу, которая заключается в следующем: 1. Вероятность события устанавливается до опыта и отвечает на вопрос: как часто (в среднем) можно ожидать появления данного события. Для того чтобы определить вероятность события, необходимо знать условия опыта, но производить опыты нет никакой надобности. Частость события определяется только после опыта и отвечает на вопрос: как часто было появление данного события. 2. Вероятность события в неизменных условиях данного опыта (для событий независимых)1 остается постоянной, т. е. не зависит от числа опытов и их результатов. Так, если из закрытого ящика, в котором находится 5 белых и 3 черных шара, вынимают несколько раз по одному шару и каждый раз. вынутый шар возвращают в ящик, то вероятность появления белого шара перед каждым опытом будет равна -g-, независим о от того, сколько раз перед этим был произведен такой опыт и сколько раз появлялся шар того или иного цвета. Если же мы изменим соотношение между белыми и черными шарами, изменится и вероятность появления белого шара. Так, если мы возьмем ящик с 4 белыми и 4 черными шарами, вероятность появления белого шара будет уже равна - . Таким образом, вероятность события остается неизменной, для данного явления до тех пор, пока не изменятся условия, при которых происходит явление. Частость события непостоянна - она меняется с каждым опытом и зависит от числа опытов и ог числа появлений события. Несмотря на указанные различия, между частостью и вероятностью события можно установить одну зависимость, которая выражается так называемым законом больших чисел. Сущность этого закона заключается в том, что при увеличении числа испытаний, проведенных в одинаковых условиях, частость события по своей величине приближается к вероятности того же события, а при достаточно большом числе таких испытаний частость события численно будет весьма мало отличаться от вероятности этого события. Значение закона больших чисел огромно, и он по справедливости считается основой теории вероятностей2. В тех примерах, которые мы разобрали, вычисление вероятностей событий было так просто лишь потому, что по условиям этих примеров число случаев, благоприятствующих 1 О зависимых и независимых событиях см. стр. 22. 2 Подробнее закон больших чисел рассматривается в § 1 i 15 по злению события, и число всех возможных случаев было известно. В действительности же далеко не всегда условия задачи заранее определяют число благоприятствующих и число всех возможных случаев, и при отыскании численного значения вероятности интересующего нас события приходится прибегать к другому приему, основанному на законе больших чисел. Определив частость события по результатам достаточно большого числа опытов, мы можем принять эту частость равной неизвестной нам вероятности этого события. У^сли вероятность события известна, то по этой вероятности можно судить, не производя опытов, об ожидаемой частости события. В артиллерийской стрельбе закон больших чисел находит самое широкое применение. Например, по частостям отклонений снарядов определяются вероятности этих отклонений - срединные (вероятные) отклонения; по частостям ошибок, полученных в некоторых пределах, - вероятности ошибок в тех же пределах и т. д. По известной вероятности попадания рассчитывают ожидаемое число попаданий, т. е. ожидаемые частости попадания. § 6. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ При исследовании того или иного явления нас часто интересует появление не одного какого-то вполне определенного результата (события), а появление одного, безразлично какого, из нескольких результатов (событий), объединенных каким-то общим для них признаком или свойством. Так, при исследовании рассеивания при ударной стрельбе нас интересует положение не какой-то одной определенной точки падения, а положение совокупности (группы) точек падения, дающих, например, недолеты, перелеты, попадания в цель и т. п. Отсюда и возникает необходимость определения вероятности одного из нескольких событий без указания, какого именно, так как появление любого из них в условиях данного испытания достаточно для решения поставленной задачи. Эта задача решается путем применения теоремы сложения вероятностей. Следует подчеркнуть, что теорема сложения вероятностей применима только к несовместным событиям. Покажем на примере, почему для определения вероятности одного из нескольких несовместных событий без указания, какого именно, необходимо вероятности этих событий складывать. Положим, что стрельба ведется гранатой по полосе проволочных заграждений, которая накрывается эллипсом рассеивания, как это показано на рисунке (рис. 5). Мы видим, что попадание в цель дают все те снаряды, которые приходятся как на полосу Д, так и на полосу Е. 16 Вероятность попадания в полосу Д равна 25%, а в полосу Е-16%. Очевидно, что искомая вероятность будет равна сумме Р = Рд+ РЕ = 25% Ч- 16% = 41%. Перейдем теперь к выводу теоремы сложения вероятностей, т. е. докажем, что такой способ исчисления вероятностей справедлив для любой группы несовместных событий. Рис. 5 Воспользуемся для этого следующим частным примером. В закрытом ящике имеется 50 шаров, отличающихся друг от друга только цветом: 8 белых, 10 зеленых, 5 синих, 12 черных и 15 красных. Опыт заключается в том, что из ящика вслепую вынимается один шар. Определим вероятность появления цветного, т. е. не белого и не черного шара. Всех возможных случаев появления шара из ящика п = 50, причем эти случаи единственно возможны, несовместны и равновозможны. Из этих 50 случаев по условию задачи нас интересует появление либо зеленого, либо синего, либо красного шара. Таких шаров в ящике 30: зеленых - 10, синих - 5 и красных - 15; отсюда, число случаев, благоприятствующих появлению цветного шара, т = 30. Подставив найденные численные значения т и п в общую формулу, мы и найдем вероятность появления цветного шара •" HR --- ЦВ т п 30 50 Для вывода теоремы представим эту вероятность в ином виде, помня, что т = 30 = 10 + 5 + 15: 30 50 10 + 5 + 15 50 ~ 10 50 + -5Q- + J5_ 50 и посмотрим, что представляют собой эти дроби. В ящике на 50 шаров приходится 10 зеленых, т. е. 10 случаев из 50 всех возможных благоприятствуют появлению 2 - Зак. 991 17 зеленого шара. Следовательно, дробь -^ есть вероятность появления зеленого шара из того ящика: _ 10 ^зел ~~ То" ' Рассуждая подобным же образом, заключаем, что дробь 5 х- 16 -CQ- есть вероятность появления синего шара, а дробь---- вероятность появления красного шара. Отсюда D__10515_ -цв- "^j Г rjQ Н gQ~--/'зел ~Г Рсян ~Т ркр > т. е. вероятность появления цветного шара оказалась равной сумме вероятностей появления шаров - зеленого, синего и красного. Распространяя этот вывод на случайные результаты любых явлений и на любое число несовместных событий, мы получим выражение теоремы сложения вероятностей в общем виде: Р = р1+Р* + Рэ-1---+ Рп -\+рп. Вероятность появления одного из нескольких несовместных событий без указания, какого именно, равна сумме вероятностей этих событий. Определяя вероятность появления цветного шара, мы объединили в одну группу шары нескольких цветов, рассматривая появление цветного шара из этой группы как одно событие, имеющее несколько разновидностей. Поэтому теорема сложения вероятностей может быть сформулирована и так: если событие распадается на несколько несовместных разновидностей, то вероятность его равна сумме вероятностей этих разновидностей. Пример 1. Средняя траектория проходит в 1 Вд за целью. Чему равна вероятность недолета при 1 выстреле? Примечание. Во всех задачах, в которых глубина цели не дается, предполагается, что цель не имеет глубины - линия, рубеж, точка, т. е. предполагается получение только недолетов и перелетов. Решение. Недолеты дадут все те снаряды, которые придутся на полосы А, Б и В (рис. 6). Отсюда вероятность недолета при 1 выстреле сложится из вероятностей попадания в полосу Л, полосу Б и полосу В, т. е. будет равна Р = РА + РБ + Рв = 0,02 + 0,07 + 0,16 - 0,25. ч% ц^ь Л Б В т^ М Д 1 Е т 3 0,02 0,07 OJ6 0,25 0,25 0,16 0,07 0,02 Рис. 6 18 Пример 2. В лотерее на 300 билетов приходится: 2 выигрыша по 50 рублей, 6 выигрышей по 20 рублей, 10 выигрышей по 10 рублей, 50 выигры-. шей по 5 рублей и 100 выигрышей по 3 рубля. Чему равна вероятность, имея 1 билет этой лотереи, выиграть не менее 10 рублей? Решение. Условию удовлетворяют выигрыши в 50, 20 и 10 рублей. Вероятности таких выигрышей равны: _ 2 _ 6 10 Р50~ ~~ш~ ' /?20~~ "зоб" и л° ~~ ~зоо~" Сложив эти вероятности, получим вероятность выигрыша не менее 10 рублей: _ 2 6 10 _ 18 __ ^ = />5о+/>20 +Pw- -ЩГ+ ~300~ + "300"--ЗШГ ~~ °'06' В тех случаях, когда вероятности несовместных событий (разновидностей) равны между собой: Pi=p9=p3---=Pb-i=Pk=P, теорема сложения вероятностей принимает вид: P=kp, где k - число несовместных событий; р - вероятность любого из них. Следствие теоремы сложения вероятностей: сумма вероятностей всех возможных несовместных событий данного явления равна единице: i,pl +P2 + РЗ + • ' ' +pk + '" +Ps-l +Ps = 1. Проверим это следствие на разобранном выше примере с шарами, сложив для этого вероятности появления шаров всех цветов: 4. 4- 4-4- - - *2 I- - 4- - 4- - - Рбел "Т"/7черн~Г/7зел"Т"/7кр~т~^син 50 "^ 50 ~*~ 50 ' 50 '50 _ 50_ _ ~" 50 ~" L' Полученный результат указывает на достоверность события. Это значит, что если вынимать один шар, то обязательно должен появиться шар какого-либо цвета из всех шаров различного цвета, имеющихся в ящике. Значение следствия заключается в том, что, пользуясь им, мы можем проверить, все ли несовместные события данного явления нами учтены полностью, т. е. всесторонне ли исследуется это явление. Сложив вероятности всех возможных несовместных событий данного явления и получив в сумме результат меньше единицы, мы имеем право утверждать, что была допущена какая-то ошибка в определении вероятностей отдельных событий или совершенно не было учтено одно или несколько из всех возможных событий. Руководствуясь следствием, мы можем исправить эти ошибки. 19 Пример 1. При стрельбе из пистолета стрелок попадает только в черный круг мишени. Определить, какова вероятность выбить с -одного выстрела не менее 8 очков, если вероятность попадания в десятку равна 0,3, в восьмерку - 0,2, в семерку -0,1 и в шестерку - 0,05. Решение. Нетрудно заметить, что в условиях примера не дана вероятность попадания в девятку. Это подтверждается тем, что сумма заданных вероятностей не равна единице: Рю + Р8 + Pi+ Рь = 0,3 + 0,2 + ОД + 0,05 - 0,65. Чтобы учесть все возможные случаи попадания в мишень и получить в сумме их вероятностей единицу, к полученному результату следует прибавить недостающую вероятность попадания в девятку: 0,65+/"9 = 1, откуда г?9 = 1 _ 0,65 -= 0,35. После этого мы можем приступить к определению искомой вероятности выбить не менее 8 очков, т. е. вероятности попасть либо в десятку, либо в девятку, либо в восьмерку Р ==/7i0 + р9+ ps = 0,3 + 0,35 + 0,2 = 0,85. Пример 2. В закрытом яшике имеется 10 одинаковых шаров с номерами от № 1 до № 10. Требуется определить вероятность появления шара с номером, кратным двум или трем. Решение. Из 10 шаров имеется 5 шаров с номерами, кратными двум: № 2, № 4, № 6, JSTa 8 и № 10. Вероятность появления такого шара Pz 10 Шаров с номерами, кратными трем, имеется всего 3: № 3, № 6 и № 9. Вероятность появления такого шара о Ps = "Jo • Сложив эти вероятности, мы, повидимому, должны получить вероятность появления шара с номером, кратным двум или трем: п , 5,38 LJ ___ /) _]_ *j -___i __-__ г - /У2 -Г-//8- ю ~г ю - Ю • Но такое решение неверно. В этом мы можем легко убедиться, использовав следствие теоремы сложения вероятностей. Помимо шаров с номерами, кратными двум или трем, в ящике имеются шары с номерами, не кратными ни двум, ни трем: № 1, № 5 и № 7. Вероятность появления такого шара 3 р" = -ю- Так как шар с каким-то номером должен появиться обязательно, то сумма вероятностей появления всех различных по номеру шаров должна быть равна единице, а она единице не равна: 533 11 Рг+Рз+Ръ='1и + 10 + 10 =10 • Этот результат указывает, что была допущена какая-то ошибка. Эту ошибку легко обнаружить. Она произошла от того, что мы не учли свойств шара "с № 6. Номер этого шара одновременно кратен двум и трем. Мы нарушили требование, чтобы события были обязательно несовместными. 20 Чтобы исправить эту ошибку, необходимо взять сначала шары с номерами, кратными только двум, - № 2, № 4, № 8 и № 10, затем с номерами, кратными только трем, - № 3 и № 9 и, наконец, шар с № 6, кратный двум и трем одновременно. Сложив вероятности появления таких шаров, мы и получим искомую вероятность: 4 2 ! _ 2. Р =Рч + Рг+Рз.з - То" + ю + 10 - 10 ' Прибавив к этому результату вероятность появления шара с номером, не кратным ни двум, ни трем,'получим в сумме единицу: 7 + 3 -1 10" ^10" ' что свидетельствует о правильности нашего решения. Приведенный пример с достаточной наглядностью подтверждает, что теорема сложения вероятностей применима только для несовместных событий. Следствие теоремы сложения вероятностей важно еще и тем, что при его помощи можно проверить правильность математических расчетов при условии, что в остальном ошибок допущено не было. Частный, случай, следствия теоремы сложения вероятностей: сумма вероятностей противоположных событий равна единице: Р + 1=1> где р - вероятность одного события; q - вероятность события, противоположного первому. Доказательств здесь не требуется, так как то, что было справедливо для нескольких несовместных событий, будет, справедливо и для двух событий. Зная вероятность одного из двух противоположных событий, .. можно, вычтя эту вероятность из единицы, найти вероятность другого: p=\-q- q = l-p. Пример. Вероятность недолета при 1 выстреле равна 0,75. Чему равна вероятность перелета? Решение. Обозначив через р вероятность недолета и через q - вероятность перелета и применив частный случай следствия, получим: 4=1 -р = 1-0,75 = 0,25. § 7. ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ До сих пор нам приходилось иметь дело с так называемыми простыми событиями, т. е. с отдельными, единичными событиями, которые являются конечным случайным результатом того или иного явления: получением одного недолета, появлением одного шара, выигрышем на один билет лотереи и т. п. 21 Помимо простых, очень часто происходят сложные события, состоящие из нескольких простых событий, получающиеся в результате одновременного или последовательного появления нескольких простых событий. Получение двух недолетов при двух выстрелах, одного попадания и трех промахов при четырех выстрелах, выход определенной суммы очков при нескольких бросаниях игральной кости, получение рикошета и в то же время перелета при одном выстреле гранатой- все это события сложные. Определить вероятность сложного события можно при помощи теоремы умножения вероятностей. Л. Случай независимых событии Простые события, составляющие некоторое сложное событие, могут быть независимыми и зависимыми. Независимыми называются события в том случае, когда появление или непоявление одного из них не влияет на вероятность появления других. Зависимыми называются события в том случае, когда вероятность появления одного события зависит от появления других. * Например, выигрыш в одной лотерее и выигрыш в другой - события независимые, так как на вероятность выигрыша в одной лотерее не окажет никакого влияния выигрыш или проигрыш в другой. Выигрыш по двум билетам одной и той же лотереи - события зависимые, так как выигрыш на первый билет уменьшает вероятность выигрыша на второй, а проигрыш на первый билет увеличивает эту вероятность. Выведем теорему умножения вероятностей сначала для независимых событий. Для этого воспользуемся следующим частным примером. Положим, что у нас имеется 2 закрытых ящика с шарами, отличающимися только цветом. В первом ящике - 4 белых и 5 красных шаров, во втором ящике - 3 белых и 2 красных шара. Для удобства дальнейших рассуждений занумеруем шары в обоих ящиках (рис. 7). @(c)@( ... .. ... 1-й ящик 2-й ящик Рис. 7 Зададимся, исходя из этих условий, каким-либо сложным событием и определим его вероятность. Найдем, например, чему будет равна вероятность вынуть, не глядя, из обоих ящиков по одному белому шару. 22 По общему правилу искомую вероятность находим по формуле Р •= - п Определив т - число случаев, благоприятствующих появлению сложного события, и п - число всех возможных случаев и взяв отношение первого ко второму, мы решим поставленную задачу. Интересующее нас сложное событие состоит из совпадения двух простых независимых событий: появления белого шара из первого ящика и появления белого шара из второго ящика. Но, кроме таких совпадений, могут быть совпадения двух красных шаров и совпадения белого шара с красным или красного с белым. Других совпадений быть не может, а поэтому общее количество всех возможных совпадений двух шаров независимо от их цвета и будет равно числу всех возможных "случаев появления интересующего нас сложного события. Сколько же таких случаев? Шар № 1 первого ящика может совпасть с любым из 5 шаров второго ящика, т. е. может быть 5 парных совпадений: № 1 с № 10, № 1 с № 11, № 1 с № 12, № 1 с № 13 и № 1 с № 14. Такое же количество совпадений может быть для каждого из остальных шаров первого ящика, а так как в этом ящике всех шаров 9, то общее количество всех возможных •совпадений будет л -9X5 = 45, причем эти совпадения будут единственно возможны, несовместны и равновозможны. Рассматривая совпадения шаров второго ящика с шарами первого, придем к тому же результату, ибо для каждого из 5 шаров второго ящика может быть по 9 совпадений с шарами 23 первого ящика. В этом случае общее количество всех возможных совпадений будет также п = 5X9 = 45. Для большей наглядности представим эти совпадения в виде схемы (рис. 8). Перейдем теперь к отысканию числа случаев, благоприятствующих появлению рассматриваемого сложного события. Любой белый шар первого ящика может совпасть с любым белым шаром второго ящика, а так как в первом ящике 4 белых шара, а во втором 3, то число совпадений 2 белых шаров, а отсюда и число случаев, благоприятствующих получению такого совпадения, т = 4X3- 12; на схеме видны эти совпадения в комбинациях: № 1-4, 10 - 13 и 19 - 22. Подставив найденные численные значения т и п в общую формулу, определим искомую вероятность, т. е. вероятность совпадения 2 белых шаров: р_ т _ 12 ^~~ п ~~ 45 ' Для того чтобы вывести правило определения вероятности сложного события, представим правую часть этого равенства в несколько ином виде, помня, что т =12 = 4 ХЗ и я = 45 = = 9X5, и проанализируем его: p_m_12_4-3_? _3 ^~~ п ~~45~~9-5~ 9 ' 5 ' В первом ящике из 9 шаров 4 шара белого цвета, сле- 4 довательно, дробь --- есть вероятность появления белого шара из этого ящика: /Ч = -д . Во втором ящике на 5 шаров приходится 3 белых шара,- дробь -г- есть вероятность появления белого шара из второго ящика: з /Ч =-5. Отсюда вероятность появления 2 белых шаров по одному из каждого ящика равна произведению вероятности появления белого шара из первого ящика на вероятность появления белого шара из второго ящика: 4 3 Рбб= д" •у-.Рб.-.Рб-. Таким образом, для определения вероятности сложного события нам пришлось перемножить вероятности простых событий, его составляющих. 24 Проверим этот вывод, задавшись при условиях нашего* примера другим сложным событием - появлением 2 красных шаров по одному из каждого ящика. Вероятность появления красного шара из первого ящика' Як, = 9 ' Вероятность появления красного шара из второго ящика __ 2 Р** ~~ 5 ' Перемножив эти вероятности, мы должны получить вероятность появления 2 красных шаров из обоих ящиков: р __" "_5 2 __ Ю *кк-/\ -Рк2 - -д ' 5 ~~ "45 ' На схеме (рис. 8) видно, что совпадений двух красных шаров -10 из 45 возможных (совпадения № 32-36 и 41-45).. Следовательно, и для этого сложного события наш вывод справедлив. Мы определили вероятность сложного события, состоящего из двух простых событий. Посмотрим, чему будет равна вероятность сложного события, если оно состоит из трех простых событий. Добавим к первому и второму ящикам третий ящик с 2 белыми и 4 красными шарами и определим вероятность появления 3 белых шаров из 3 ящиков. Мы имели 45 всех возможных парных совпадений шаров, первого и второго ящиков. Каждая из этих пар может совпасть с любым из 6 шаров третьего ящика, в результате чего получится 210 совпадений (45 X 6), но уже из 3 шаров; это и есть число всех возможных случаев для появления нового-сложного события. Парных совпадений белых шаров было 12. Каждая такая пара может совпасть с любым из 2 белых шаров третьего ящика, в результате чего получится 24 совпадения 3 белых шаров (12x2) или 24 случая, благоприятствующих появлению рассматриваемого сложного события. Отсюда его вероятность р___24 _ 12-2 __ 4-3-2 __ 4 _3 2_ _ -"ббб - 210- - 45.6 - 9.5.6 - 9 ' 5 ' 6 ~" = Рб1' Рб3 • рбя. Следовательно, и в этом случае вероятность сложного события равна произведению вероятностей простых событий, из-которых состоит это сложное. Нетрудно заметить, что определение численных значений тип следует некоторому общему для них правилу: т -- число случаев, благоприятствующих появлению сложного события, всегда равно произведению чисел случаев, благоприятствующих появлению простых событий; 25 п - число всех возможных случаев появления сложного события равно произведению всех возможных случаев появления простых событий: m = тх •/тг2 • т3 . . . т$', /г = л1-/г2'Л3 . . . ns. Поэтому после подстановки значений т и п в общую •формулу мы всегда будем иметь в итоге произведение вероятностей простых событий, составляющих данное сложное: р__ т__ щ-тгт3 . . . ms _ "^ щ т" ms п п--л2-Яд . . . ns HI п% щ ' ' ' ns ' или P = Pi-Pt'Ps • • -Ps. Вероятность сложного события, состоящего из совпадения или последовательного появления нескольких простых независимых событий, равна произведению вероятностей .этих простых событий. Следует отметить, что вероятность сложного события как произведение правильных дробей будет всегда меньше любой из вероятностей составляющих его простых событий. Если вероятность каждого простого события равна единице, то вероятность сложного события будет также равна единице. Пример 1. При стрельбе из пистолета по круглой мишени вероятность попадания в десятку при 1 выстреле равна 0,2, в девятку - 0,25, в восьмерку- 0,3, в семерку - 0,15 и в шестерку-0,1. Чему равна вероятность при 3 выстрелах выбить последовательно 8, 9 и 10 очков? Решение. Последовательное попадание в восьмерку, девятку и де-•сятку - событие сложное, состоящее из 3 простых событий: попадания при первом выстреле в восьмерку, при втором - в девятку и при третьем - в десятку. По теореме умножения искомая вероятность должна быть равна произведению ^вероятностей этих простых событий: Р = Рз-Рд-Рк> - 0,3-0,25.0,2 = 0,015. Пример 2. В первой лотерее на 150 билетов^ приходится 20 выигрышей и во второй лотерее на 200 билетов 30 выигрышей. Чему равна вероятность совпадения выигрыша на 1 билет первой лотереи с выигрышем на 1 билет второй лотереи? Решение. Вероятность выигрыша на 1 билет первой лотереи равна 20 Pl = 150 ' а на 1 билет второй лотереи __30_ ^2== "200 ' вероятность выигрыша на оба билета, т. е. вероятность совпадения выигрышей, _ __20_ ^30_ _ J__ p=vP2 = 150 ' "200 = 50 "~ ' ' 26 Если вероятности простых независимых событий, составляющих некоторое сложное событие, равны между собой, т. е. если Pi=Pi=P*= • • • =ps, то вероятность Р такого сложного события равна вероятности р простого события в степени, равной числу простых событий: Р=р*. Пример. Чему равна вероятность получить 4 недолета подряд при стрельбе на одних и тех же установках, если вероятность недолета при 1 выстреле равна 0,75? Решение. Так как установки при стрельбе не меняются, то вероятность недолета для всех 4 выстрелов остается неизменной: Р\ = Рг=Рз = Р* = 0.75. Отсюда вероятность 4 недолетов как вероятность сложного события, состоящего из 4 простых событий, вероятности которых равны между собой, будет равна Р = /,4== о,754 = 0,3164. Сложное событие, в свою очередь, может состоять из сложных событий. Применение теоремы умножения вероятностей в этих случаях никаких сомнений не вызывает, так как любое сложное событие может быть представлено, как состоящее только из простых событий. Пример. Средние траектории, соответствующие прицелам 100 и 102, занимают положение, показанное на рис. 9 (ЬХ =50 м, Вд=='25 м). Какова вероятность захватить цель в вилку, на ближнем пределе которой должно быть 2 недолета, а на дальнем - 2 перелета? 102 ^ \07 I 0,16 Ш^{ 0,25 0,16 I 0.07 Ч№~ .-a-J^rtr. J..J___'-' Рис. 9 Решение. Вилка, на ближнем пределе которой получено 2 недолета, а на дальнем - 2 перелета, - событие сложное, состоящее из двух сложных событий, каждое из которых состоит из двух простых событий. Найдем сначала вероятность получения одного составляющего сложного события, т. е. вероятность получения 2 недолетов на прицеле 100. И" рисунка видно, что вероятность одного недолета при стрельбе на этом прицеле vm = 0,02 + 0,07 -Ь 0,16 + 0,25 + 0,25 = 0,75; отсюда вероятность получения 2 недолетов на том же прицеле -Dioo = /'2ioo ^0,75- = 0,5625. Найдем вероятность другого составляющего сложного события, т. е. вероятность получения 2 перелетов на прицеле 102. Вероятность получения: одного перелета при стрельбе на этом прицеле qm = 0,02 + 0,07 + Щ + 0,25 + 0,25 + 0,16 + 0,07 = 0,98; вероятность получения 2 перелетов на том же прицеле ^102 = 42Ю2 = 0,98- = о,9604. Зная вероятность обоих составляющих сложных событий, найдем искомую вероятность, т. е. вероятность получения вилки, на каждом пределе которой должно быть по 2 знака: ^в = Pioo--°i02 = 0,5625-0,9604 = 0,5402. К такому же результату мы придем, если сразу перемножим вероятности простых событий, составляющих рассматриваемое сложное событие: -°в -Лго-Аоо-01<й-?1оа = 0,75-0,75.0,98.0,98 = 0,5402. Во всех приведенных выше примерах мы имели дело со сложными событиями, состоявшими из простых несовместных событий, но теорема умножения вероятностей применима и к совместным событиям. Пример 1. Имеется закрытый ящик с 10 шарами, из которых 7 белых и 3 красных. Все шары занумерованы: белые с № 1 по № 7 и красные с № g по № 10. Какова вероятность вынуть, не глядя, белый шар с четным номером? Решение. Найдем сначала искомую вероятность как отношение числа белых четных шаров к числу всех шаров, имеющихся в ящике. Из 10 шаров 3 белых шара им^ют четный номер: № 2, Ms 4 и № 6. Следовательно, вероятность выхода белого четного шара '-?• Применим теперь теорему умножения вероятностей, рассматривая появление белого четного шара как событие сложное, состоящее из совпадения двух простых совместных событий: белого цвета с четным номером, или четного номера с белым цветом. Из 10 шаров 7 шаров белого цвета. Поэтому вероятность появления белого шара независимо от его номера 7 ^б=1о- Условию удовлетворяет только совпадение белого цвета с четным номером. Из 7 белых шаров четных 3. Поэтому вероятность появления четного шара из числа белых J3 ^ч-б = "у • Отсюда вероятность появления четного белого шара из числа всех шаров p___L 1___3 ^ - 10 ' 1 - 10 ' Оба решения привели к одному и тому же результату, так как теорема умножения вероятностей справедлива и для тех случаев, когда сложное событие состоит из совместных событий. Необходимо иметь в виду, что при определении вероятности вынуть белый шар с четным номером подсчитывается или вероятность совпадения шара белого цвета (независимо от его номера) с четным номером шара только из числа белых, или вероятность совпадения четного номера шара •(без учета его цвета) с белым шаром только из числа шаров с четным номером. Если эти условия нарушены, то возможно такое неправильное решение: - вероятность появления шара счетным номером независимо от его цвета 5 Рч - То ' - вероятность появления белого шара независимо от его номера _ JL рб - 10 ' Тогда вероятность появления белого четного шара из числа ucei шаров _ jL _L _ ^L , р- То"' То"" Too"' что противоречит отношению числа четных белых шаров к числу всех шаров, имеющихся в ящике. Разберем, почему произошла эта ошибка. Произведение дробей _5_ 1__ 10 ' 10 7 означает, что здесь берется либо-ттг от числа всех шаров с четным номером, 5 либо -TQ от числа всех белых шаров. По условию же мы имеем другие 7 3 соотношения: белых шаров среди четных не -гтг • а -г-" и четных шаров среди белых не половина, а -у • • Пример 2. Вероятность нахождения цели на том участке, куда направлен огонь, рц - 0,3. Вероятность попадания при 1 выстреле и при условии, что цель находится на обстреливаемом участке, р - 0,2. Определить вероятности: а) получить попадание при 1 выстреле; б) получить 2 попадания при 2 выстрелах. Решение, а) Здесь мы имеем сложное событие, состоящее из совпадения двух простых совместных событий - нахождения цели на данном участке и попадания в эту цель. Отсюда искомая вероятность Ра = Рц . р - 0,3 - 0,2 = 0,06. б) В этом случае сложное событие состоит из совпадения следующих совместных событий: простого (нахождения цели на обстреливаемом участке) и сложного (получения 2 попаданий подряд). Если цель находится на данном участке, то вероятность 2 попаданий подряд равна р2 -=. о,2- = 0,04. Вероятность двух попаданий с учетом вероятности нахождения цели рб = />ц ' />2 ~ 0,3-0,04 = 0,012. 29 Было бы неправильно, использовав результат первого решения, возвести его во 2-ю степень и считать, что Рб = Ра2- 0,06- = 0,0036. Ошибка станет очевидной, если мы этот результат представим в виде произведения вероятностей простых событий: 0,0036 = 0,06- = (0,3-0,2)- = 0,3-0,3-0,2-0,2 = рп • рц • p.p. В данном случае вероятность нахождения цели учтена дважды, т. е. она поставлена в зависимость от числа произведенных выстрелов. В действительности вероятность нахождения цели от числа выстрелов не зависит, ибо она показывает, какую часть от вероятности попадания следует брать при любом числе выстрелов при условии, что цель обязательно находится на обстреливаемом участке. Пример 3. Вероятность попадания при 1 выстреле равна 0,4. Какова вероятность получить 2 попадания подряд разорвавшихся снарядов, если неразрывы составляют 6°/0 от числа всех выпущенных снарядов? Решение. При выстреле может быть попадание и промах, разрыв и неразрыв снаряда. Поэтому наше сложное событие следует рассматривать как состоящее из двух сложных событий, каждое из которых состоит из двух простых совместных событий - попадания и разрыва снаряда. Вероятность получения разрыва снаряда при 1 выстреле как вероятность события, противоположного неразрыву, рр = 1 _ 0,06 = 0,94. Вероятность получения попадания разорвавшимся снарядом при 1 выстреле Р1 = р . Рр = 0.4 • 0,94 = 0,376; вероятность получения подряд 2 таких попаданий />-=/>!--= 0,3762 = 0,1414. Эти три примера показывают, насколько тщательным должен быть анализ условий при определении вероятностей сложных событий, в состав которых входят совместные события. Трафаретный, поверхностный подход к решению таких задач является,, как правило, источником грубейших ошибок. В теории вероятностей и, в частности, при артиллерийских расчетах очень часто приходится применять одновременно и теорему сложения и теорему умножения вероятностей. Пример J. Имеется 2 закрытых ящика с шарами: в первом 3 белых и 4 черных шара, во втором - 7 белых и 5 черных шаров. Чему равна вероятность, вынимая из каждого ящика (не глядя) по одному шару, получить одновременно 2 шара одного и того же цвета? Р е ш е и и е. Решению этого примера удовлетворяет появление или 2 белых, или 2 черных шаров. Вероятность появления 2 белых шаров по теореме умножения _ JL _L_ II Р6 ~Рб,'Рб. - 1 ' 12 ~ 84 Вероятность появления 2 черных шаров по той же теореме 4 5 20 /!ч - -V-4 - 1 ' '12 - 84 * По теореме сложения вероятность появления или 2 белых, или 2 черных, шаров _11 ^2 _1L Р - Рб ~г -°ч - 84 ~^~ 84 ~~ 84 Пример 2. Вероятность недолета при 1 выстреле р - -^-- Чему равна вероятность получения накрывающей группы (наблюдений разных. знаков) при 3 выстрелах, произведенных на одних и тех же установках? Решение. Если вероятность недолета при 1 выстреле равна -^ • то вероятность перелета 1 2 = 1--з~ = -з-- При 3 выстрелах можно получить накрывающую группу либо с преобладанием недолетов (2 недолета и 1 перелет), либо с преобладанием перелетов (1 недолет и 2 перелета). Накрывающая группа, состоящая из 2 недолетов и 1 перелета, может быть получена в виде одного из следующих трех вариантов: или----f-, или--1--, или -|----. Вероятность любого из этих вариантов по теореме умножения равна / 1 V2 2 2 ^ = UJ * 3 = 27 ; а так как порядок получения недолетов и перелетов нам безразличен, то по> теореме сложения вероятность накрывающей группы с преобладанием недолетов 2 б />-=-3/^ = 3. ^=27-. Рассуждая аналогично, определим вероятность накрывающей группы с преобладанием перелетов, исходя из того, что такая группа может быть' получена в виде одного из следующих трех вариантов: или + -\--, или -i---К или--h +: j: /2\2 12 Р2 = о/>? 3- 3 \~3J ~ 27" Отсюда по теореме сложения вероятность накрывающей группы независимо от соотношения знаков р-р.р-б J2 18__2_ Р - Р^ + Р2 - 2? + 2у = 2- - 3 Эту же задачу можно решить иначе: кроме накрывающих групп.,, оторые были рассмотрены, при 3 выстрелах могут быть получены все едолеты или все перелеты. Вероятность получения трех недолетоз РВ -Ps= (-у) = 27 Вероятность получения трех перелетов ~"2Т / 2 \з Р4 = 93= 1Г )• = 31 Если мы вычтем из единицы эти вероятности, то на основании следствия теоремы сложения получим искомую вероятность накрывающей труппы: ( 1 8 \ 18 2 Р - 1 - (Р3 + _°4> = 1 - ^ + -2Y) = 27 = "3" Сложив вероятности всех возможных комбинаций из недолетов и перелетов при 3 выстрелах, получим: JL 1? 1 А -°i + ^*2 + ?*з + *4= 27 "*~ 27 ~*~ 2l7 "*~ 27 ~ *' что подтверждает правильность наших решений. Б. Случай зависимых событий Для зависимых событий выведем теорему умножения вероятностей на следующем примере. Положим, в закрытом ящике имеется 5 шаров: 3 красных и 2 белых. Определим, какова вероятность вынуть, не глядя, "2 раза подряд красный шар, не возвращая в ящик шар, вынутый первым. "Здесь мы имеем дело с событием сложным, оно состоит из последовательного появления двух простых событий. Эти простые события зависимы - вероятность появления второго красного шара зависит от того, какой шар был вынут первый раз. Если первым был вынут красный шар, то вероятность вынуть вторым также красный шар будет равна ~" так как число .случаев, благоприятствующих появлению красного шара, сократится с 3 до 2, а число всех возможных случаев - с 5 до 4. Если первым был вынут белый шар, то вероятность поя- х 3 вления затем красного шара будет равна -;- > так как число ч случаев, благоприятствующих появлению красного шара, не изменится, а сократится только число всех возможных случаев. Рис. 10 Для удобства дальнейших рассуждений занумеруем шары в ящике (рис. 10). Рассуждая так же, как при выводе теоремы умножения для независимых событий, опоеделим сначала число всех возможных (единственно возможных, несовместных и равно-возможных) совпадений двух шаров. После шара № 1 может появиться либо шар № 2, либо шар № 3, либо шар №4, либо шар № 5, т. е. с шаром № Г может быть всего 4 парных совпадения. Столько же совпадений может быть и с шарами № 2, 3, 4 и 5. Таким образом, всего может быть 5 X 4 = 20 совпадений. Это и есть число всех возможных случаев для появления рассматриваемого сложного 32 события. Представим эти совпадения (случаи) в виде схемы (рис. 11). Число случаев, благоприятствующих появлению рассматриваемого сложного события, должно быть равно числу совпадений двух красных шаров. Таких совпадений по нашей схеме-6: № 1 с № 2, № 1 с № 3, № 2 с № 1, № 2 с № 3, № 3 с № 1 и № 3 с № 2. Отсюда вероятность вынуть подряд 2 красных шара, не возвращая в ящик шар, вынутый первым, по общей формуле равна: __ т __ 6 Р~~п ~~ 20" Вероятность появления красного шара первый раз - 3 2 pl = --г, второй раз - /?2 =^ > ПРИ условии, что вынутый красный шар в ящик не возвращается. Представим найденную вероят- f? ность ~2Q в виде произведения двух дробей: 632 P = W~~5" -j-Pi'P* т. е. вероятность вынуть 2 раза подряд красный шар при условии, что вынутый в первый раз шар в ящик не возвращается, равна вероятности выхода красного шара в первый раз, умноженной на вероятность выхода красного шара во второй раз, вычисленную при условии, что шар, вынутый первым, был красного цвета. В общем виде для любого числа простых зависимых событий, составляющих сложное событие, вероятность сложного события, состоящего из нескольких простых зависимых событий, равна вероятности первого события, умноженной на вероятность второго события, рассчитанную в предположении, что первое событие произошло, умноженной на вероятность третьего события, рассчитанную в предположении, что произошли первые два события, и т. д. Пример 1. В лотерее на 10 билетов 3 выигрыша. Какова вероятность, что взятые наудачу первые 3 билета будут выигрышными? Р.е ш е н и е. Вероятность выигрыша на первый билет Pi = То" ' 3 - Зак. 991 33 Вероятность выигрыша на второй билет при условии, что первый билет выиграл, л =4- Вероятность выигрыша на третий билет при условии, что выиграли первый и второй билеты, Рв=-$" Отсюда по теореме умножения вероятность выигрыша на 3 первых билета __ • _ _3_ 2^ 1 _б___1_ Р-РгР2'Рз- ю ' 9 ' 8 -720 - 120' Пример 2. В урне 4 билета, один из них выигрышный. Билеты распределены между 4 участниками розыгрыша. Участники розыгрыша вынимают билеты из урны по очереди. Какой из участников имеет больше шансов на выигрыш? Решение. Вероятность выигрыша участника, вынимающего билет первым, А= -' Второй участник может выиграть только тогда, когда проиграет первый; о вероятность проигрыша первого равна --?-" поэтому вероятность выигрыша второго _3_ 1 J_ Р2= 4 ' 3 = 4 * Третий участник выигрывает при условии проигрыша первых двух, и, наконец, четвертый участник выигрывает, если проигрывают все остальные участники. Вероятности выигрыша третьего и четвертого участников 321 1 321 _ 1 />з = - 'Т'~Т==~Ти^==Т'~з~'Т'1-" Таким образом, шансы на выигрыш у всех участников одинаковы. § 8. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ Нередко при определении вероятностей некоторых событий1 непосредственный подсчет числа случаев, благоприятствующих их появлению, и числа всех возможных случаев бывает затруднителен (случаев очень много) или вообще невозможен (случаев бесконечно много). Тогда отношение чисел благоприятствующих случаев и всех возможных случаев заменяется отношением величин, пропорциональных этим числам, если, конечно, такая пропорциональность существует. Положим, что взяли 5 кг зерна, отделили 2 кг зерна и окрасили его в красный цвет, а затем тщательно перемешали с неокрашенным. Если все зерна одинаковы, то совершенно очевидно, что и без подсчета окрашенных и неокрашенных зерен можно утверждать, что вероятность появления окрашен- ,-2 _ ного зернышка должна быть равна -у , так как на 5 кг зерна приходится 2 кг окрашенного, 34 Здесь отношение числа случаев, благоприятствующих появлению нашего события (числа окрашенных зерен), к числу всех возможных случаев (числу всех зерен) мы заменили отношением их весов, пропорциональных этим числам. В приведенном примере число благоприятствующих случаев и число всех возможных случаев очень велико (достаточно сказать, что на . 1 кг зерна приходится около 150000 зерен), но эти числа конечны, и подсчет их хотя и затруднителен, но возможен. Перейдем к примеру, по условию которого число случаев, благоприятствующих появлению какого-либо события, и число всех возможных случаев бесконечно велики. Допустим, что имеется тонкий стержень АВ длиной 10 см, на котором сделано 10 зарубок - по одной на каждый сантиметр. Допустим также, что при падении стержень переламывается на 2 части и этот перелом равновозможеи на любой из этих зарубок. Определим вероятность перелома стержня на участке CD длиной 3 см (рис. 12). Л С S В ! ! !-I-г-Ч-,!,)!!.-Е , > i I-.-4-г-Ь-! 01 23456789 10см Рис. 12 Всех возможных (единственно возможных, несовместных и равновозможных) случаев перелома стержня 10. Случаев, благоприятствующих перелому на участке CD, - 3. Отсюда вероятность перелома на участке CD: з P = -W- Увеличим число зарубок на стержне в 2, 5, 100, 1000 раз. Очевидно, что во столько же раз увеличится число всех возможных случаев перелома стержня и число случаев, благоприятствующих перелому на участке CD, поэтому искомая вероятность не изменится: __ 3-2 __ 3-5__,3-100 __ 3-1000 __ _3_ Р ~~ ИПТ ~~ "ТсПГ ~~ ТоЛоо ~~ ю-юоо ~~ Т<Г > так как при любом увеличении числа зарубок количество случаев, благоприятствующих перелому стержня на участке CD, остается пропорциональным длине этого участка в сантиметрах, а количество всех возможных случаев перелома- пропорциональным длине всего стержня также в сантиметрах, ибо на каждый сантиметр приходится равное число зарубок. Теперь допустим, что число зарубок бесконечно велико (зарубки как бы сливаются между собой) и стержень может переломиться на 2 части в любой точке. 3* 35 Несомненно, что установленная выше пропорциональность сохранится и здесь-искомая вероятность будет равна отношению тех же величин, т. е. отношению длины участка CD к длине всего стержня, так как при бесконечно большом числе точек перелома эти точки в своей совокупности (слитности) на участке CD составят его длину, а на участке АВ - длину стержня. Следовательно, искомая вероятность может быть представлена в виде отношения отрезка CD к отрезку АВ, т. е. в виде отношения геометрических величин. Тогда, когда число всех благоприятствующих случаев и число всех возможных случаев могут быть заданы геометрическими величинами (отрезками, площадями, объемами и т. п.), вероятность принято называть геометрической. Пример 1. Самолет бомбит НП, занимающий площадь, принятую за круг, радиус которого г = 10 м. Бомбы при этом не выходят из предела круга, радиус которого /? = 50л*, распределяясь внутри его равномерно. Чему равна вероятность попадания в НП при сбрасывании одной бомбы? Решение. Число -случаев, благоприятствующих попаданию в НП, можно считать пропорциональным площади, занимаемой НП, а число всех возможных случаев - пропорциональным площади, на которую может упасть бомба. Поэтому искомую вероятность мы и найдем из отношения этих площадей: т-/-- т-10- 1 Г)__ _____ __________________г\ г\Л Р~ тс/?- - rtSO- = 25 -и'04- Пример 2. При стрельбе гранатой по блиндажу, занимающему площадь прямоугольника размером 6 X 4 м, цель накрывается единичным эллипсом рассеивания с главными полуосями 24 м и 3 м. Чему равна вероятность попадания в блиндаж при одном выстреле, если вероятность попадания в единичный эллипс равна 0,2 и если допустить, что снаряды на площади этого эллипса ложатся равномерно? Решение. Определим сначала вероятность попадания в блиндаж, не учитывая вероятности попадания в единичный эллипс, как отношение площадей блиндажа и единичного эллипса: 6-4__1_ ^^ тт-24-3 =3^т' Вероятность попадания в блиндаж, с учетом вероятности попадания в единичный эллипс по теореме умножения Р = ~ . 0,2 ж 0,022. О-71 В практике артиллерийских расчетов нам постоянно приходится пользоваться отношениями геометрических величин при определении вероятностей. Достаточно сказать, что такие вероятности, как вероятности попадания, получения перелета, нахождения цели, - все это вероятности геометрического порядка. 36 § 9. ЗАДАЧИ НА ВЕРОЯТНОСТЬ И ЧАСТОСТЬ СОБЫТИЯ Задача 1. В нише установлено 50 не рассортированных по весовым признакам гранат, из которых 10 помечены двумя минусами, 25 одним плюсом и 15 тремя плюсами. Какова вероятность, что взятая наудачу граната окажется с тремя плюсами? Ответ, 0,3. Задача 2. В закрытом ящике 30 совершенно одинаковых шаров, отличающихся только цветом,(tm)синие и красные. Сколько в ящике шаров красного цвета, если вероятность*"взять, не глядя, один синий шар равна 0,4? Ответ. 18. Задача 3. В закрытом ящике находятся белые и черные шары, отличающиеся только цветом. Каково общее число шаров в ящике, если вероятность вынуть, не глядя, один белый шар равна -пт , а черных шаров 10? Ответ. 15. Задача 4. Из 28 тщательно перемешанных костей домино взята наудачу одна кость. Чему равна вероятность, что на взятой кости окажется сумма очков, равная 6? Ответ. ~Y . Задача 5. В урне 10 шаров, из них 7 белых. Берем одновременно 3 шара. Какова вероятность вынуть 3 белых шара? Ответ, -уд. Задача 6. При 12 выстрелах было получено 2 попадания. Какова частость попадания? Ответ. ~g- . Задача 7. Частость перелета равна 0,3. Каково количество перелетов, если всего было произведено 20 выстрелов? Ответ. 6. Задача 8. При стрельбе гранатой частость рикошета равна 80 %. Чему равна частость нерикошета? Ответ. 200/0- Задача 9. Из ящика, содержащего 8 белых и 6 черных шаров, было вынуто подряд 4 белых шара. Какова частость выхода белого шара? Задача 10. В ящике имеются шары белого, красного и черного цветов. Вероятность вынуть, не глядя, I белый шар равна -х-, 1 красный - -g- и 1 черный - -g- . Чему равна вероятность вынуть белый или черный шар? 2 Ответ, -о-. Задача 11. Огонь ведется по цели, которая вся накрывается эллипсом рассеивания. Какова вероятность получить при 1 выстреле перелет, если средняя траектория проходит перед целью в 2 Вд? Ответ. 0,09. - Задача 12. В лотерее на 500 билетов приходится: 3 выигрыша по 100 рублей, 12 выигрышей по 50 рублей, 25 выигрышей по 20 рублей, 60 выигрышей по 10 рублей и 100 выигрышей по 5 рублей. Чему равна вероятность, имея 1 билет этой лотереи, выиграть не более 20 рублей? Ответ. 0,37. Задача 13. При стрельбе по участку траншей, состоящему из трех линий, вероятности попадания в I, II и III линии соответственно равны 0,08, 0,15 и 0,1. Чему равна вероятность попадания при 1 выстреле в одну из линий траншей? Ответ. 0,33. 37 Задача 14. Вероятность попадания при 1 выстреле равна 0,12. Чему равна вероятность промаха? Ответ. 0,88. Задача 15. При стрельбе из винтовки по круглой мишени вероятность попадания в десятку равна 0,15, в девятку-0,25, в семерку - 0,2 и в шестерку- 0,1. Какова вероятность выбить при 1 выстреле не менее 7 очков, если стрелок кладет все пули в черный круг? Ответ. 0,9. Задача 16. Вероятность недолета при Ь.выстреле равна 0,3. Какова вероятность получения 2 перелетов подряд? Ответ. 0,49. Задача 17. Средние траектории, соответствующие прицелам 80 и 82, занимают относительно цели такое положение, что вероятность перелета при стрельбе на прицеле 80 равна 0,15, а вероятность недолета при стрельбе на прицеле 82 равна 0,2. Чему равна вероятность, произведя по 2 выстрела на каждом из этих прицелов, получить 2-деленную вилку, обеспеченную 2 знаками на каждом пределе? Ответ. 0,4624. Задача 18. Вероятность нахождения цели на том участке, куда направлен огонь, равна 0,3. Вероятность попадания при 1 выстреле и при условии нахождения цели на данном участке равна 0,2. Определить вероятность промаха при 3 выстрелах подряд. Ответ. 0,8536. Задача 19. Вероятность поражения цели осколками рикошетирующего снаряда 0,25. Какова вероятность поражения цели при 1 выстреле, если рикошеты дают в среднем 80% всех выпущенных снарядов? Ответ. 0,2. Задача 20. В закрытом ящике 5 белых и 3 черных шара. Какова вероятность вынуть, не глядя, подряд 3 белых шара, если вынутые шары в ящик не возвращаются и отличаются только цветом? 5 Ответ, -xg-. Задача 21. Из 28 тщательно перемешанных костей домино берут наудачу 2 кости. Чему равна вероятность, что на первой кости сумма очкоз будет равна 5. а на второй кости - 10? Ответ. f2g. Задача 22. Средняя траектория проходит в 1 Вд перед целью. Какова вероятность получить при 2 выстрелах наблюдения одного и того же знака? Ответ, -тг . Задача 23. Имеется 3 ящика с шарами, отличающимися только цветом. В первом ящике 3 белых, 5 красных и 2 черных шара, во втором 'ящике 6 белых, 4 красных и 5 черных шаров и в третьем ящике 1 белый, 2 красных и 3 черных шара. Определить, какова вероятность вынуть из этих ящиков одновременно 3 шара одного и того же цвета. Шары вынимаются вслепую и но одному из каждого ящика. 22 Ответ. -225. Задача 24. Вероятность нахождения цели на обстреливаемом участке 0,4. Вероятность попадания при 1 выстреле и при условии нахождения цели на участке, куда направлен огонь, равна 0,1. Какова вероятность поразить цель при 2 выстрелах, если для поражения цели требуется 1 попадание? Ответ. 0,076. 38 Задача 25. При стрельбе из винтовки в тире по круглой мишени все нули ложатся в черный круг. Определить вероятность выбить с 2 выстрелов не менее 18 очков, если вероятности попадания при 1 выстреле равны: в десятку -0,15, в девятку -0,25, в восьмерку -0,3, в семерку -0,2 и в шестерку - 0,1. Ответ. 0,25. Задача 26. Какова вероятность при одновременном бросании 2 игральных костей получить при первом бросании сумму очков не менее 10 и при втором бросании сумму очков не менее 9? Ответ, щ. Задача 27. В первом ящике 2 белых и 3 черных шара, а во втором - 4 белых и 5 черных шаров. Шары различаются между собой только цветом. Из первого ящика во второй, не глядя, переложен один шар. Определить вероятность вынуть после этого белый шар из второго ящика. Ответ. 0,44. Задача 28. Найти вероятность подрыва танка, проходящего через одну линию мин, если интервалы между минами равны 5 м, ширина гусениц танка 1 м и танк движется перпендикулярно к линии мин. Ответ. 0,2. Задача 29. В окружность вписан правильный треугольник. Чему равна вероятность, что поставленная наудачу внутри круга точка окажется внутри треугольника? Ответ. 0,4135. Задача 30. Самолет бомбит переправу, состоящую из 2 мостов: 6x30 м я 8x30 м. Бомбы при этом накрывают пергправу, ложась равномерно и не выходя из пределов площади, имеющей вид прямоугольника 100x200 м. Ка- • кова вероятность хотя бы частично нарушить пользование этой переправой, бросив I бомбу? Ответ. 0,021. § 10. ВЕРОЯТНОСТЬ КОМБИНАЦИИ Допустим, что при некотором испытании (например, выстреле) непременно должно появиться одно из двух противоположных событий - событие А или событие В (например, недолет или перелет), вероятности которых остаются неизменными при повторении такого испытания в совершенно одинаковых условиях (например, при повторении выстрела на одних и тех же установках, на том же заряде, тем же снарядом и т. д.). Если такое испытание мы повторим несколько раз, то получим какую-то совокупность или, как мы будем называть, какую-то комбинацию из событий А и В (например, комбинацию из недолетов и перелетов). При проведении артиллерийских стрельб очень часто приходится иметь дело с комбинациями из недолетов и перелетов, попаданий и промахов, клевков и воздушных разрывов и т. п. Поэтому знание вероятностей таких комбинаций, имеет чрезвычайно важное практическое и теоретическое значение. При определении вероятностей комбинаций как вероятностей сложных событий можно было бы ограничиться уже известными нам теоремами сложения и умножения вероятно-• стей, если бы комбинации как сложные события не отличались одной весьма существенной особенностью. Эта особенность заключается в том, что комбинация с данным соотношением противоположных событий имеет ряд вариантов, различающихся последовательностью (порядком) появления этих событий. Эти варианты равновероятны - любой из них может быть получен при повторении испытания, а поэтому, чтобы определить вероятность комбинации., необходимо знать число ее вариантов. 40 Покажем это на примере. Положим, нас интересует вероятность комбинации из двух недолетов и двух перелетов, а последовательность их появления нам безразлична. Эта комбинация имеет 6 вариантов, различающихся порядком (последовательностью) получения недолетов и перелетов. № выстрелов т> 1 2 3 4 1 Недолет Недолет Перелет Перелет 2 Недолет Перелет Недолет Перелет 3 Перелет Недолет Перелет Недолет 4 Недолет Перелет Перелет Недолет 5 Перелет Недолет Недолет Перелет 6 Перелет Перелет Недолет Недолет Обозначим вероятность недолета при 1 выстреле через р, а вероятность перелета - через q. Тогда вероятность одного определенного (любого из 6) варианта по теореме умножения вероятностей будет равна />2#2. А так как все 6 вариантов равновероятны, то вероятность комбинации по теореме сложения вероятностей будет равна 6 p2q*. Но особенность комбинации как сложного события этим не исчерпывается - с увеличением числа испытаний резко увеличивается количество вариантов. Так, если комбинация в виде равенства недолетов и перелетов при 4 выстрелах имела 6 вариантов, то при 6 выстрелах такая же комбинация будет иметь уже 20 вариантов, а при 8 выстрелах число их дойдет до 70. Совершенно очевидно, что определить количество возможных вариантов данной комбинации методом их подбора, как это мы сделали выше, допустимо лишь для очень небольшого числа повторений испытания. При большем числе повторений испытания такой метод очень сложен и, главное, не дает гарантии, что все возможные варианты будут нами учтены полностью. Поэтому необходимо найти такую общую формулу, которая будет справедлива для вероятности любой комбинации при любом числе испытаний. Чтобы вывести такую формулу, рассчитаем вероятности всех возможных комбинации, получающихся при двух, трех и четырех испытаниях, и обобщим результаты этих расчётов. Для большей наглядности воспользуемся комбинациями из недолетов и перелетов при повторении выстрела, обозначив при этом получение недолета знаком "минус" и перелета - знаком "плюс". 41 При подсчетах вероятностей отдельных комбинаций будем пользоваться как теоремой умножения (вероятность одного варианта), так и теоремой сложения (вероятность комбинации), подобно тому как это было сделано выше при определении вероятности комбинации из 2 недолетов и 2 перелетов. Результаты подсчетов сведем в общую таблицу. i з и sr ш о № выстрелов Вероятности Вероят- ч о 3 0 О "-• 1\ОМОИНЯЦИИ вариантов бинаций :§Й5 1 2 3 4 2 недолета - - р-р P2 2 1 недолет и 1 перелет + + p-q q-p 2pq 2 перелета + + q-q

q-q релета + - + q-p-q 3pq2 , + -f- - q-q-p 3 перелета + + + q-q-q 1s 4 недолета - - - - p-p-p-p P* 3 недолета и 1 пе- - - - + p-p-p-q релет - - + + - p-p-q-p p-q-p. p 4p*q + - • - - q-p-p-p 2 недолета и 2 пе- - _ + + p-p-q-q релета - + - + p-q-p-q .4 + + + + - q-p-q-p p-q-q-p 6ptqz + - - + q-p-p-q 1 + + - - q-q-p-p 1 недолет и 3 пе- - + + -4- p-q-q-q релета + + + + + q-p-q-q q-q-p-q 4pqs + + + - q-q-q-p 4 перелета + + + + q-q. q-q 4* Сложим найденные вероятности для каждого числа выстрелов отдельно, помня, что (р-\-д) как сумма вероятностей противоположных событий равна единице. Нетрудно при этом установить, что сумма вероятностей всех возможных комбинаций при двух выстрелах предста- 42 вляет собой квадрат суммы вероятностей недолета и перелета при 1 выстреле: р2 + 2/7<7 + <72 = (/7 + <7)2 = 1, при трех выстрелах - куб этой суммы: р* + 3/>2<7 + 3/7?2 + q* = (/; + ?)3 = 1, и я/ш четырех, выстрелах, - эту сумму в четвертой, степени: />4 + 4/?3? + бру + W + ?4 = (/> 4- qy = 1/ Прежде всего заметим, что для каждого числа выстрелов сумма вероятностей комбинаций из недолетов и перелетов равна единице. Это свидетельствует о том, что нами действительно учтены все возможные комбинации и их варианты при данном числе выстрелов. Теперь перейдем к обобщению полученных результатов. Сопоставив эти результаты, мы можем допустить, что и при дальнейшем увеличении числа повторений испытания вероятности комбинаций будут следовать той же математической закономерности, т. е. при любом числе (S] повторений испытания в совершенно одинаковых условиях сумма вероятностей всех возможных комбинаций из двух противоположных событий может быть выражена суммой всех членов разложения бинома Ньютона в степени, равной числу повторений испытания, причем первая степень этого бинома имеет вид: (р -\~ q) = 1, где р - вероятность события А и q - вероятность события В, противоположного первому: ps + Sps-i q + S(S-\)pS_2 gZ + S(S~V.(S-2) pS^ q, + ^ + S(S-l)(S-2). . .(S-n+l) s_ n ~r 1.2-3. . .(n- !)•" P Ч -Г • • • -T + -~5~b2.(f~2)-^3^"3 + ^^Г21) Л5~2 + Spq*-* +qs = = (p + qY^\, или, сокращенно, р9 + рг + р%+ . . . +Р"+ . . . +Ps-i +Р5=1. Здесь буквой п обозначен порядковый номер члена этого ряда, если вести счет от нуля. Член Р0=/?5 выражает вероятность появления события A S раз, член Я- = Sps~l q выражает вероятность появления события A (S-\) раз и события В один раз; член С /С__ ]\ Р3 == ; ps~2 qz выражает вероятность появления собы- ** 1 * .и тия A (S - 2) раз и события В - два раза и т. д. 43 Заметим, что индексы при Р соответствуют показателю степени при q, т. е. числу появлений события В, чем и вызвано именно такое обозначение вероятностей комбинаций, начиная с Р0 и кончая PS . Эти вероятности могут быть представлены в виде: P,=psq° и Ps-=/>V. что соответствует появлению события В нуль раз в первом случае и 5" раз во втором. Очевидно, что член р 5(5-1) (5-2). . .(5-я+1) ,_я ш ^"~ 1-2-3. . . (я-1)-л " * ' выражает искомую вероятность любой комбинации (S-/^-кратного появления события А и я-кратного появления события В. -, , 5(5-1)(5 -2). . . (5 -я+1) При этом коэфициент ---г^-5--;-Чч----- -количе- г 1-2-0. . . (п- \)-П ство вариантов данной комбинации, а произведение ps~n qn - вероятность одного варианта. Для удобства пользования этой формулой произведем в ней некоторые преобразования: умножим числитель и знаменатель коэфициента на произведение всех натуральных, т. е. целых и положительных чисел от (S - п) до единицы и заменим (S - п) на т, исходя из равенства: m = S - n, откуда т + п = S. Тогда р - S(S-l)(S-2)...(S-n+l)(S-n)(S-n-l). . .3-2-1 ^п~~ л(л~-1)(я -2). . . 3-2-1(5- я) (5 -я-1). . .3-2-1 -" * * Теперь числитель коэфициента представляет собой произведение всех натуральных чисел от S до 1. Такое произведение принято называть факториалом (обозначается символом 5!). В знаменателе же мы имеем произведение двух факториалов: п\ и (5 - /г)!, но так как S - n = m,TO и (S - п)\ - т\ и тогда наша формула примет окончательный вид: я" = -жг""- Заметим, что 0! считается равным единице; это вытекает из следующего: выразим 5! равенством: 5!п5(5 - 1) (5 - 2) . . .3-2-1. Заменив (5-1) (5 -2). . .3-2-1 через (5 - 1)!, имеем: 5! = 5 (5-1)!, откуда (5-1)! =-у; приняв 5=1, получим: (1-1)!= 01- -у =1. Равенство 0! = 1 делает общую формулу справедливой и для вероятностей Р0 и Р-., которые можно представить в виде: Р - п8 - ^' nS Я° к Р - п5 - Sl ° 5* ^0 - Р - ?!0! Р ч и ^5 ~ 9 - 0!5! Р Я * Следует помнить, что равенство 0! = 1 имеет чисто символическое значение, а не выражает какое-то математическое действие, что было бы явным абсурдом. 44 Если при S повторениях испытания событие А появилось т раз, а событие В п раз, то это означает, что частость события А равна -?~, а частость события В равна -^- . Поэтому, определяя вероятность комбинации с данным соотношением между образующими ее противоположными событиями, мы тем самым определяем вероятность частости этих событий. Так, например, определяя вероятность комбинации из 2 недолетов и 6 перелетов при 8 выстрелах, мы тем самым определяем вероятность частости недолета, равной -g-. Отсюда выражение "вероятность комбинации" мы нередко будем в дальнейшем заменять выражением "вероятность частости". Пример 1. Вероятность недолета при 1 выстреле р = -о- . Чему равна вероятность комбинации из 2 недолетов и 4 перелетов при б выстрелах? Решение. По условию число повторений испытания (выстрелов) 5 = 6, число появлений одного события (недолета) m = 2, число появлений события, противоположного первому (перелета), п = 4. Если вероятность 1 недолета р = ---- , то вероятность перелета 1 2 q - 1- "^"""з"- Подставив эти численные значения в общую формулу, получим: 5! ", п^_ 6! / 1 Ч- / 2 У 6-5-4-3-2.1 J_ _16 = q * 2!4! \3/АЗ/ ""2.1-4-3.2.1 ' 9 '81 т\п\' = 15- 16 729 243 Из анализа этого решения можно установить, что: 1. Вероятность одного варианта, т. е. одной определенной последовательности появления недолетов и перелетов, рш q'1 = \Ь_ 729 * 2. Всех возможных вариантов-15; эти варианты приведены в помещенной ниже таблице. , № выстрела , № выстрела , № выстрела Л г* & со С5 та 03 Ш 1 Я 3 4 5 6 сс га н 1 ?, 3 4 5 в м п 1 ? 3 4 5 6 -ti 2i ^ я 1 + + + + - - 6 + -ь + - + - И + - + + + - 2 + + + - - + 7 + + - + - + 12 + + __ + + - 3, + + - + + 8 + - - + - + + 13 - -ь + - + + 4 + - - + + + 9 - J_ - ~Г _L I 4- 14 - -г + + - -ь \^ - - + + + + 10 - I л~ д_ ^ + - 15 + - + + - 4- 45 3. Вероятность этой комбинации в биноминальном ряде занимает пятое место, так как индекс п при Р равен 4, а счет идет от нуля. Примечание. Условие этого примера может быть сформулировано иначе: чему равна вероятность получения частости недолета. 1 / 2 \ равной ~о~ I или частости перелета, равной --г- J , при 6 выстрелах? Пример 2. Вероятность разрыва бризантной гранаты в воздухе при 1 выстреле q = 0,8. Чему равна вероятность получения одной трети клевков / 1 \ I вероятность частости клевка, равной ~^~) при 24 выстрелах? Решение. Обозначим: б1 --- 24; т = 8; п = 16 и р = 1 - 0,8 - 0,2. Тогда Лб==8ПбТ<>,28.0,8*5. В этом случае необходимо применять логарифмирование. По таблицам логарифмов находим логарифмы факториалов, и тогда lgPie=+-g24!-=23,79271 - Ig8! =5,39148 - lg 16! =l?, 67938 + 8 Ig 0,2 - 6,40824 + 16 IgO,8 -2744944 lgP,e-=2,72425. откуда Pie = 0,053. Интересно отметить, что соответствующая этой; вероятности комбинация имеет 735471 вариант. Если в этой же задаче обозначить: S ~ 24; т - 16 и п = 8, то тогда р = 0,8 и q = 0,2. Отсюда 24! -°8 = 1б!8ГО,81б.О,28. Очевидно, что ответ будет тот же, так как совершенно безразлично, какое из двух противоположных событий будет занимать в общей формуле первое, а какое - второе место. Необходимо только, чтобы показатели ПРИ /О1 Я были равны числу появлений соответствующих событий. §11. НАИВЕРОЯТНЕЙШАЯ КОМБИНАЦИЯ Чтобы ясно представить себе совокупность вероятностей всех возможных комбинаций, получающихся при повторении испытаний, рассчитаем такие вероятности, задавшись различными численными значениями S, р и q: (4">г -|-)6 =0,0014 + 0,0164 -f 0,0823 -f 0,2195 + 0,3292 + + 0,2634+ 0,0878---=1,0000; ( -1 + -|")12= 0'0000 + °'0001 + °'0005 + °'0033 + °'0149 + + 0;0477 + 0,1113 + 0,1908 + 0,2384 + 0,2119 + 0,1272 + -f 0,0462 + 0,0077 = 1,0000; '46 (0,6 + 0,4)12 = 0,0022 Ч- 0,0174 + 0,0638 + 0,1419 + 0,2128+ + 0,2270 + 0,1766 + 0,1010 + 0,0421 + 0,0025 + 0,0003 + + 0,0000 = 1,0000. t1 цз 0,2 0,1 -г Для большей наглядности выразим эти вероятности графически, отложив в произвольных масштабах по оси абсцисс число равных отрезков по числу комбинаций, а по оси ординат соответствующие им вероятности. Таким образом, вероятность каждой комбинации будет выражена соответствующим прямоугольником, а сумма вероятностей всех возможных комбинаций при данном значении 5 - площадью всего графика (рис. 13, 14 и 15). Для того чтобы в дальнейшем иметь возможность сравнивать эти графики, все они построены в одних и тех же мас- 04 о 1 345 Рис. 13 штабах. После сопоставления результатов подсчетов и сравнения построенных графиков, можно сделать следующие выводы. 1. Наименьшие численные значения вероятности комбинаций имеют в начале и конце каждого из этих трех биноминальных рядов, достигая по мере возрастания S пренебрежимо малых величин. "-"" О / 2 3 4 5 6 7 8 9 /0 // Т2 Рис. 14 2. От края каждого ряда вероятности комбинаций увеличиваются, достигая в некотором месте этого ряда наибольшей величины, которая соответствует так называемой наивероят-нейшей комбинации (частости). 47 Следует отметить, что в некоторых частных случаях вероятность наивероятнейшей комбинации может находиться либо в начале, либо в конце биноминального ряда: (0,8 + 0,2)3 - 0,512 + 0,384 + 0,096 + 0,008 = 1,0; (0,1 4- 0,9)4 =0,0001 + 0,0036 + 0,0486 + 0,2916+0,6561 = 1,0. PL 0,3 0.1 (0,5+0.4р РП Э 4 5 6 7 8 S Ю И tf Рис. 15 Наивероятнейшая комбинация и ее вероятность представляют для нас большой интерес. Метод определения (выбора) наивероятнейшей комбинации из ряда вероятностей всех возможных комбинаций по своей громоздкости нас удовлетворить не может. Место вероятности наивероятнейшей комбинации в биноминальном ряде определяется численными значениями S, р и д, поэтому необходимо найти такую математическую зависимость между этими величинами, которая позволит нам определить место вероятности наивероятнейшей комбинации и ее величину наиболее просто. Обозначим вероятность наивероятнейшей комбинации через С| Р----0>! птап ^п~~ mini P q ' Если Рп имеет наибольшее численное значение, то будут справедливы следующие неравенства: Рп > Pn-i и Рп > Р, или SI т\п\ S\ п + 1> --Г>тап ^> -------_____ nm + l fjn-l . \п\Р Ч ^ (т + 1)! (л-1)! Р Ч SI SI mini т-I /jn + l __ nmnn ^> _____-____nm~l n Inl Р Ч ^ (да-1)!(л+ l)]-P q 48 Произведя возможные сокращения в этих двух неравенствах и заменив т на S - п, решим их относительно п: • !> T^s-rbri^ II} s^nP>7rn* q(S - n + 1) > pn; р(п + 1) > q(S- n)] qS - qn + q> pn; pn + р > qS - qn\ qS-\-q > pn + qn; pn + qn> n(p + 0); л (/> + 0) > ?S -/?; nSq~-p. Заменив в полученных двух неравенствах п на S -га, мы можем решить их относительно т: 1) S - m qS - р; S-Sq - q т] m>S(l - q) - q; т < S (I - q) +/?; m>Sp - q\ mSq-p\ m>Sp - q; n6'Т~Т и Л<6"Г-ЬТ' откуда 2 2 п > 3 -о~ и л < 4 --г- , или 2 2 3-з-<п<4^-. 4 - Зак, 991 49 Но так как п может быть только числом целым, то п -= 4; тогда т = 6 - 4 - 2, т. е. наивероятнейшая комбинация состоит из 2 недолето" и 4 перелетов, а ее вероятность р - -2- птап - ---U -- V (-2 У 6'5'4-3'2-1 ! /"~ /и!л! -* q 2!4!\ 3 / Л 3 / ~ 2-1 -4.3-2.1 ' ~9~ ' 1& 81 80 -243 =--0,3292. Проверим наше решение, определив m по неравенствам: 1 2 1 1 т > 6- 3 - 3 и т < 6. 'Т + IF 1 1 1- т <7П < 2- з" • откуда или т = 2; тогда л = 6 - 2 = 4. Пример 2. Найти наивероятнейшую комбинацию перелетав и недолетов при 15 выстрелах, если вероятность перелета при 1 выстреле q = 0,75. Решение. 5" - 15; р = 0,25; q = 0,75. Определим т: т> 15-0,25 - 0,75 и m < 15-0,25 + 0,25, откуда /п>3 и т<4. Так как m есть число целое и не может быть одновременно больше 3* и меньше 4, то очевидно, что мы имеем две наивероятнейшие комбинации: одна состоит из 3 недолетов и 12 перелетов, а другая-из 4 недолетов и 11 перелетов. В этом примере п и т имеют по два численных значения, отличающихся друг от друга на единицу: ml = Sp - q-^ 3; rtj = Sq -f q - 12; /я2 = Sp + p •-•-•= 4; no - Sq -p = 11. Вероятности таких двух комбинаций должны бьнь равны: 15! Pffi-=-?y-p^ .0,253-0,75^^0,2252; 15! Рп = 4ПТГ ' °'2^4-0,75п^0,2252. Признаком наличия двух наивероятнейших комбинаций является получение ответов в целых числах при решении неравенств, определяющих численные значения тип. Необходимо еще раз подчеркнуть, что вероятность наиве-роятнейшей комбинации из двух противоположных событий является в то же время и вероятностью наивероятнейших частостей этих событий. Так, в примере 1 наивероятнейшая комбинация из 2 .недолетов и 4 перелетов соответствует наиве- 9 4 роятнейшим частостям недолета ~ и перелета -~-, а в приме-50 ре 2 наивероятнейшие комбинации из 3 недолетов и 12 перелетов и из 4 недолетов и 11 перелетов соответствуют наиве- " 34 12 и роятнейшим частостям недолета у^- и ----- и перелета ----г и ун • Исходя из этого, неравенства, определяющие границы численных значений т и п, позволяют нам сделать один весьма существенный вывод. Представим эти неравенства в виде: Sq-p T- е- П°Д~ тверждается выведенное выше положение о том, что при увеличении числа 5 наивероятнейшая частость события стремится приблизиться по своей величине к вероятности этого события; - несимметричность графика постепенно сглаживается и его ломаная линия по виду приближается к кривой, симметричной относительно ординаты, соответствующей вероятности наивероятнейшей комбинации (частости). Все это дает нам основание заключить, что при безграничном возрастании числа повторений испытания, т. е. при -S-^oo, ломаная линия графика распределения вероятностей комбинаций (частостей) дол ж на превратиться в кривую, симметричную относительно ординаты, абсцисса которой равна q (рис. 19). Эта кривая носит название кривой нормального распределения вероятностей или кривой, Гаусса. С ней нам часто придется иметь дело в другом разделе теории вероятностей- в теории ошибок. 55 § 13. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ Сущность закона больших чисел сводится к тому, что при достаточно большом числе повторений испытания частость события очень мало отличается по своей величине от вероятности этого же события. Возникают два вопроса: что следует считать достаточно большим числом повторений испытания и насколько частость по своей величине может отличаться от соответствующей ей вероятности? , Чтобы ответить на эти вопросы, зададимся каким-нибудь вполне определенным отклонением (совокупностью отклонений в определенных пределах) частости от вероятности и посмотрим, как будет меняться вероятность такого отклонения при увеличении числа повторений испытания. Воспользуемся для этого распределениями вероятностей частостей, уже рассчитанными нами для различных численных значений <9 (§ 12). Зададимся совокупностью отклонений частости появления белого шара от его вероятности в пределах от -0,1 до +0,1 при 5^20. Из всех частостей, которые могут быть получены при таком числе повторений испытания, заданному отклонению соответствует одна из следующих частостей: -^, 2о " 20' 20 и г>и' так как разности -3_15___oi и I?---.--+ 01 20 20 '20 20 ^U>A- По теореме сложения вероятность получения одной из этих частостей (см. табл. 2, § 12) P13_i7 = 0,11240 + 0,16862 + 0,20233 + 0,18978 + 0,13389 = = 0,80702. Это значит, что, произведя большое число повторений испытания, мы на каждые 20 таких повторений^римерно в 81 случае из 100 в среднем будем иметь отклонение частости появления белого шара от его вероятности, не выходящее из пределов ±0,1. В остальных 19 случаях частость будет иметь отклонения, большие Ч; 0,1. Теперь определим вероятность такого же отклонения при 5 = 100, Очевидно, что эта вероятность будет равна вероят- 65 ности получения одной из частостей в пределах от ^ до ш(ш~Ш = --°-1 и щ-щ = +ОД). Сложив эти вероят-ности (см. табл. 3, § 12), получим: Р65-85 -0,00702+0,01117 + . . .+0,01003 + 0,00566=0,9852, 56 т. е. в этом случае одна из частостей в указанных пределах будет получена примерно в 99 случаях из 100 и только 1 случай даст отклонение, превышающее ±0,1. Увеличим число повторений испытания до трехсот (S-• = 300). Тогда вероятность отклонения частости в пределах _1_Л 1 - - 195 ±0,1 или получение одной из частостей в пределах от ^ да 255 - зоо бУдет: Pl95-2S5 = 0,99993, т. е. практически при 5 = 300 частость из заданных пределов не выйдет. Мы задались сравнительно большим отклонением частости от вероятности. Возьмем другое, меньшее отклонение: ± 0,02, и рассчитаем вероятности этого отклонения при различных значениях S. При 5=100 такому отклонению соответствуют частости, в пределах от 0,73 до 0,77; вероятность этого отклонения Я73-77 = 0,436. При 5=300 вероятность того же отклонения -°219-231 = 0,568. При 5=1500 - -°1095-1155 = 0,92634. И, наконец, при 5 = 6000 •- Я4380-4620 = 0,99965. Таким образом, при уменьшении пределов отклонения частости от вероятности и постепенном увеличении числа повторений испытания можно добиться того, что вероятность такого отклонения будет сколь угодно мало отличаться от единицы. Очевидно, что можно задаваться и сколь угодно малым отклонением. Это положение формулируется в виде теоремы Якова Бернулли. При достаточно большом числе повторений испытания с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что частость события будет отличаться от вероятности события меньше, чем на сколь угодно малую наперед заданную величину. Несомненно, справедливым будет и такое утверждение, обратное первому, что при достаточно большом числе повторений испытания частость, полученная на опыте, может быть-принята как вероятность этого события. 57 Теорема, обратная теореме Якова Бернулли, формулируется так: При достаточно большом числе повторений испытания -с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что неизвестная вероятность события отличается сколь угодно мало от полученной на опыте частости этого события. § 14. ВЕРОЯТНОСТЬ ПОЯВЛЕНИЯ СОБЫТИЯ ХОТЯ БЫ ОДИН, ДВА, ТРИ и т. д. РАЗ При повторении испытаний в некоторых случаях задача ••ставится так, что для ее решения достаточно появления одного из двух противоположных событий хотя, бы один, два, три раза или, *1то то же, не менее одного, двух, трех и т. д. раз. Например, при артиллерийской стрельбе в зависимости от числа попаданий, потребного для поражения данной цели, задача решается при получении хотя -бы одного или двух, или трех и т. д. попаданий. Отсюда возникает необходимость определения вероятностей появления нужного нам события хотя 6ibi один, два, три и т. д. раз. Покажем на примере, как вычисляются такие вероятности, начиная с вероятности появления события хотя бы один раз. Положим, что нам необходимо знать вероятность получения хотя бы одного попадания при 10 выстрелах, если вероятность попадания при 1 выстреле р = 0,1. Обозначим вероятности комбинаций из попаданий и. промахов через Р0, Р-, Р2 и т. д. и составим таблицу. Комбинации № Вероятность по пор. попаданий промахов комбинаций 1 10 0 Яо 2 9 1 л 3 8 2 Ро 4 7 3 Pi 5 6 4 -°4 6 5 5 Pb 7 4 6 Яб 8 3 7 Р! 9 2 8 Р8 10 1 9 л> И 0 10 -°10 Из этой таблицы видно, что условиям нашей задачи удовлетворяют первые 10 комбинаций, так как в каждой из них 58 имеется не менее одного попадания. Получение любой из этих 10 комбинаций дает решение поставленной огневой задачи. Обозначив вероятность попадания хотя бы один раз через Р\, по теореме сложения вероятностей получим: PI =Р0 + PI + Р* + Р9 + Р4 + Р5 + Р6 + Р7 + Р8 4- Р9. Подставив численные значения вероятности попадания и промаха при I выстреле, определим величины Р0, Р-, Р2 и т. д. до Р9 и сложим эти вероятности. Эту же задачу можно решить гораздо проще. Известно, что сумма вероятностей всех возможных комбинаций при повторении испытания равна единице. Следовательно, Р0 + PI + Р* + Я3 + Я4 + Р5 + Р6 + PI + Р* + Я9 + Ло = = яы-Рю = 1, откуда Р1==1-.р10, где Pj0 - вероятность всех промахов. Обозначив вероятность промаха при I выстреле через --=!- 0,2265 = 0,7735 ж 0,77. Пример 3. Определить вероятность попадания хотя бы 1 разопри 16 выстрелах, если вероятность нахождения цели на обстреливаемом участке Рц =0,25, а вероятность попадания при 1 выстреле и при условии, что цель находится на участке, куда направлен огонь, /7 = 0,15. Решение. Если бы цель находилась на обстреливаемом участке, то Р1 = 1 _ (1 _ 0,15)16 - ] _ о,851б. Логарифмируя, получаем: 16 lg 0,85 = 2,87072; 0,8516 = 0,0743. Тогда />- == 1 - 0,0743 = 0,9257; учитывая вероятность нахождения цели, получим: ЯШ ^ Р\ • рц = 0,9257-0,25лО,2313"23<>/0. Чтобы определить вероятность появления одного из двух противоположных событий при 5 повторениях испытания хотя бы два раза, от единицы следует отнять вероятности тех комбинаций, в которых интересующее нас событие (попадание) появляется менее 2 раз, т. е. вероятность появления 5 раз события, противоположного первому (вероятность всех промахов), и вероятность появления первого события только 1 раз (вероятность только 1 попадания). Зная, что вероятность появления первого противоположного события только один раз Ps_l=Spqs-1, получим: Pii = l-(Ps-i+Ps); Pii = l -("S^-'-f- qs]. 60 Подставив в эту формулу значения: 6"= 10;/? = 0,1 и ^ = 0,9, получим вероятность попадания хотя бы 2 раза при 10 выстрелах: рп = 1 - (10-0,1 -0,99 + 0,910) = 1 -(0,3874 + 0,3487) = = 1 -0,7361 ^0,2639^26%. Рассуждая аналогично, заключаем, что вероятность появления одного из двух противоположных событий хотя бы 3 раза должна быть равна единице минус вероятности комбинаций, в состав которых это событие входит ме^нее 3 раз, т. е. Яш - 1 - (Ps-i + Ps-i -г Psl или Яш = 1 - [-р^ PV~2 + Spqs-i + =0,2 0,05-0,1 0,1-0,2 10 0,4013 0,6513 0,8926 - - - 620/0 - 370/0 20 0,6415 0,8784 0,9885 58о/0 35о/о Н% 370/0 13% 40 0,8715 0,9852 0,9999 360/0 12о/0 1% 13% 1,50/0 80 0,9782 0,9998 - 12% •1.59/в 0 2% - 62 Мы видим, что увеличение вероятности попадания npw 1 выстреле в 2 раза дает большее увеличение надежности стрельбы по сравнению с увеличением числа расхода снарядов также в 2 раза. Так, при увеличении р с 0,05 до 0,1 при S----10 надежность стрельбы увеличилась на 62°/0, а при увеличении S "с 10 до 20 надежность увеличилась на 58% при р = 0,05. При увеличении р с 0,05 до 0,1 при 5 = 20 надежность увеличилась на 37°/0, а при увеличении S с 20 до 40 при том же /7 = 0,05 надежность возросла на 36% и т. д. Из этого можно сделать вывод, что увеличение надежности стрельбы примерно получается одно и то же как при увеличении р, так и при увеличении S в одинаковое число раз. Но это арифметический, а не артиллерийский вывод. Известно, что вероятность попадания увеличивается по мере приближения средней траектории к цели и достигает наибольшей величины при совмещении средней траектории с центром цели, что вытекает из неравномерности рассеивания снарядов. Чтобы приблизить среднюю траекторию к цели, производится пристрелка, а так как пристрелка по сравнению со стрельбой на поражение требует значительно меньшего расхода снарядов, то совершенно очевидно, что надежность стрельбы должна увеличиваться, прежде всего, путем повышения точности проведения пристрелки, т. е. путем увеличения вероятности попадания. Вот почему Правила стрельбы наземной артиллерии 1945 г. и указывают, что "действительность стрельбы на поражение обеспечивается точностью пристрелки" (ст. 175) и что "необходимыми условиями для успешного выполнения задачи возможно меньшим числом снарядов являются: - пристрелка непосредственно по цели для определения установок на поражение с возможно большей точностью; - непрерывное наблюдение разрывов и своевременная корректуру с задачей приведения средней траектории к выбранной точке цели и удержанию ее у этой точки" (ст. 195). Артиллеристам важно знать не столько надежность стрельбы,, сколько расход снарядов, обеспечивающий эту надежность. При определении надежности стрельбы мы задавались численными значениями количества снарядов и вероятности попадания при 1 выстреле и подставляли их в формулу вероятности получения хотя бы 1, 2, 3 и т. д. попаданий. Чтобы найти потребное для поражения количество снарядов, необходимо в эту формулу подставить численные значения вероятности попадания при 1 выстреле и надежности стрельбы.. Какова же должна быть эта надежность? Принято считать, что стрельба достаточно надежна, если вероятность поражения цели близка к 90%, и вполне надежна, если вероятность поражения порядка 96 - 98%. Задаваться вероятностями поражения цели, весьма близкими к единице, нецелесообразно,. 63 так как такое увеличение надежности стрельбы потребует очень большого увеличения расхода снарядов. Начнем с определения числа снарядов, потребного для получения хотя бы одного попадания. Для этого представим -формулу вероятности хотя бы 1 попадания в виде: 1-/>!=(--/>)*, и, прологарифмировав эту формулу, решим ее относительно S: IgU-PO^SlgO-p); IgO-P,) -g(l-/" ' Покажем на примерах, как пользоваться этой формулой. Пример 1. Каков должен быть расход снарядов, чтобы надежность Зэыла 0,95, если вероятность попадания при 1 выстреле равна 0,12 и для поражения цели требуется одно прямое попадание? Решение. s = -g (--№) = Ig0.05 _ 2.69897 _ -1,30103 ^24 снаряда> lg (1 - 0,12) lg 0,88 1,94448 - °"05552 Пример 2. Определить количество снарядов, необходимое для получения хотя бы 1 попадания, если вероятность попадания при 1 выстреле 0,07 .и надежность стрельбы должна быть равна 98%. Решение. Подставим численные значения р и Р1 : с lg (1-0,98) 1^0,02 2,30103 -1,69897 5 = _й^-----' == _*---= _j---=---•----_ ~54 снаряда. lg (1 - 0,07) lgO,93 1,96848 -0,03152 Пример 3. Рассчитать при условиях примера 2 расход снарядов для надежностей стрельбы 0,99 и 0,999. Р е ш е н и е. S- = '80'01 = 2'00000 = -2.QOOQO " 64 снаряда; lgO,93 1,96848 -0,03152 s2== igo,ooi _ 3.00000 _- 3,00000 ^Qfi с^рядов lgO,93 1,96848 - 0,03!52 Сравнив результаты расчетов в примерах 2 и 3, видим,,,,гчто при Р1 = 0,98 средний расход снарядов на каждые 100 аналогичных стрельб равен 5400, при этом, если снаряды не будут добавлены, в 2 случаях огневая задача не будет выполнена. При Р- =0,99 средний расход снарядов равен 6400, т. е. увеличивается на 1000 снарядов, в то время как число невыполненных стрельб уменьшится всего с двух до одной (при данном отпуске снарядов на одну стрельбу). Еще резче скажется дальнейшее увеличение надежности стрельбы - при Р, = 0,999: расход снарядов увеличивается еще на 3 200 снарядов. Все это еще раз с достаточной наглядностью подтверждает, что задаваться очень большой надежностью стрельбы не следует. 64 Значительно сложнее определение расхода снарядов, если для поражения цели требуется 2 и более прямых попаданий, так как привести формулы вероятностей хотя бы 1, 2, 3 и т. д. попаданий к виду, удобному для логарифмирования, не представляется возможным. В этих случаях приходится прибегать к довольно сложному способу подбора. § 16. ЗАДАЧИ НА ВЕРОЯТНОСТИ ПРИ ПОВТОРЕНИИ ИСПЫТАНИЙ Задача 31. Какова вероятность получения комбинации из 8 недолетов и 4 перелетов при 12 выстрелах, если средняя траектория проходит в 1 Вд за целью? Ответ. 0,0024. Задача 32. Вероятность попадания при 1 выстреле 0,05. Чему равна вероятность получения 2 попаданий при 20 выстрелах? Ответ. 0,1886. Задача 33. Вероятность воздушного разрыва бризантной гранаты при 3 I 1 выстреле равна-- . Определить вероятность получения -- клевков при 4 о 24 выстрелах. Ответ. 0,1125. Задача 34. Вероятность недолета при 1 выстреле равна 0,4. Какова вероятность получить соотношение знаков 1:3 при 8 выстрелах? Ответ. 0,25. Задача 35. Вероятность нахождения цели на участке, куда направлен огонь,- равна 0,6. Какова вероятность получения 5 попаданий при 24 выстрелах, если вероятность попадания при 1 выстреле равна 0,15? Ответ. 0,08831. Задача 36. Вероятность недолета при 1 выстреле равна 0,3. Определить наивероятнейшую комбинацию знаков при 16 выстрелах. Ответ. 5 недолетов и И перелетов. Задача 37. Вероятность попадания при 1 выстреле равна 0,07. Определить наивероятнейшую частость попадания при 8 выстрелах и ее вероятность. Ответ. Ноль попаданий; 0,5596. о Задача 38. Вероятность недолета при 1 выстреле равна - . Какова о вероятность получения хотя бы 1 недолета при 8 выстрелах? 6560 Ответ. -656Г- Задача 39. Определить вероятность получения хотя бы 1 попадания при 12 выстрелах, если вероятность попадания при 1 выстреле равна 0,2. Ответ. 0,9313. Задача 40. Вероятность воздушного разрыва бризантной гранаты при I выстреле равна 0,75. Какова вероятность получения хотя бы 1 клевка при 32 выстрелах? О т в е т. 0,9999. Задача 41. Вероятность попадания при первом выстреле при условии, что цель находится на обстреливаемом участке, равна 0,12. Чему равна вероятность получения хотя бы 1 попадания при 20 выстрелах, если вероятность нахождения цели на участке, куда направлен огонь, равна 0,35? Ответ. 0,3229. Задача 42. Вероятность промаха при 1 выстреле равна 0,87. Чему равна вероятность хотя бы 2 попаданий при 8 выстрелах? Ответ. 0,28. 5 - Зак. 991 fi? Задача 43. Чему равна вероятность получения хотя бы 2 попаданий при 30 выстрелах, если вероятность попадания при 1 выстреле равна 0,06? Ответ. 0,5445. Задача 44. Вероятность попадания при 1 выстреле равна 0,1. Чему равна вероятность получения хотя бы 3 попаданий при 20 выстрелах? Ответ. 0,3232. " Задача 45. Определить количество снарядов, необходимое для получения хотя бы 1 попадания, если надежность стрельбы должна быть равна 90°/0 и вероятность попадания при I выстреле равна 0,3. Ответ. 6-7 снарядов. Задача 46. Каков должен быть расход снарядов, чтобы надежность стрельбы была 0,93, если для поражения цели требуется 1 прямое попадание и вероятность попадания при 1 выстреле равна 0,15? Ответ. 16-17 снарядов. ГЛАВА 3 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ § 17. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ ПЕРЕМЕННОЙ ВЕЛИЧИНЫ. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ СУММЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ В артиллерийской практике часто приходится иметь дело с такими переменными величинами, которые при повторении аналогичного испытания принимают частные, случайные значения. Так, например, при проведении стрельб (при повторении стрельбы) в одинаковых условиях (система, установки, снаряд, заряд и пр.) расход снарядов на поражение цели есть переменная величина, так как в одних случаях поражение будет получено при первых же выстрелах, а в других - поражение будет достигнуто при значительном расходе снарядов. При этом в каждом отдельном случае число снарядов, израсходованное на поражение цели, будет величиной случайной. Так как расход снарядов на поражение цели в различных случаях будет различным, то для приблизительного расчета снарядов на проведение одной стрельбы в данных условиях нужно брать какой-то средний расход снарядов. На вопрос о среднем ожидаемом значении переменной величины отвечает математическое ожидание этой величины. Математическое ожидание расхода снарядов отвечает на вопрос о среднем ожидаемом расходе снарядов на одну стрельбу при проведении большого количества стрельб в одних и тех же условиях; математическое ожидание числа попаданий отвечает на вопрос о среднем ожидаемом числе попаданий на одну стрельбу при проведении большого числа аналогичных стрельб; математическое ожидание расхода времени отвечает на вопрос о среднем ожидаемом расходе времени на одну стрельбу и т. д. Математическим ожиданием величины называется сумма парных произведений всех возможных частных значений данной величины на соответствующие им вероятности. 5* 67 Математическое ожидание обозначается буквой а или буквами М.О. Тогда математическое ожидание величины х в общем виде будет выражено равенством M.O.(x) = a = x1p1+Xtpt + x3p9+ . . .+ 5 + *ip{+ . . . + xs0s = 2xipl, .где xltXt, x3, . . . , л:^ -частные значения величины х; Pi> Р2> 'Рз> • • • >Ps - вероятности, соответствующие этим частным значениям. Прежде чем приступить к доказательству справедливости этого выражения, необходимо остановиться на среднем значении переменной величины, полученном из опыта, - на среднем из опыта. Вывод математического выражения средней величины из опыта покажем на следующем примере. Положим, при 22 стрельбах, произведенных в совершенно одинаковых условиях, было получено при: 4 стрельбах по 5 попаданий; 7 стрельбах по 4 попадания; 5 стрельбах по 3 попадания; 3 стрельбах по 2 попадания; 1 стрельбе 1 попадание; 2 стрельбах все промахи (0 попаданий). Применив простой арифметический способ решения, найдем среднее число попаданий, приходящееся на одну стрельбу, для чего общее количество попаданий разделим на число всех стрельб: 5.4 + 4-7 + 3-5 + 2-3 + Ы +0-2 70 04 02 -----,---22--------=22==322==3И попадания. Представим полученный результат в несколько ином виде, проделав все расчеты в обратном порядке: о 2 _р 4 __ 70 __ 5.4 + 4.7 + 3.5 + 2.3+ Ы 4- 0-2 _ g _4_, 6 П~6 22~~22~~' 22 _"^°*22 + 7 -; ч 1 9 4- 4- ---4-3- -4-2- - 4- 1-------4-0- - - ^ * 22 ^ ° 22 ^ Z 22 ^ 1 22 ^ 22 ' В этом выражении числа 5, 4, 3, 2, 1 и 0 показывают количество попаданий, полученных при отдельных стрельбах, т. е. являются частными (отдельными) значениями рассматриваемой тт л 47531 нами переменной величины. Дроби же: -----. -----1 ---j > -?--- * ^2" и 2 " ., -ок- являются частостями отдельных частных значении этой же величины. 68 Произведение 5 • ---?-• показывает, что стрельб с 5 попада- 5 ниями в каждой было 4 из 22; произведение З--^- -, что стрельб с 3 попаданиями в каждой было 5 из 22; произведе- 2 ние же 0 ••----• -, что все промахи были получены в 2 случаях из 22, и т.д. Обозначив через _Ycp среднее из опыта, через xlt х^, х3, . . . , Xj, . . . ,xs -частные значения переменной величины и через гъ г2, г3, . . . , г,-, . . . , г$ - соответствующие этим значениям частости, получим: Хср = АГ-Г! + xtrt + *,rs + . . . 4- я, г- -f • • • -Ь*5 /-5. Среднее значение переменной величины (среднее из опыта) равно сумме парных произведений из частных значений этой величины на соответствующие этим значениям частости. Пример. Найти среднее число очков, получившееся при 30-кратном бросании игральной кости, если известно, что: при 7 бросаниях вышло по 6 очков , 3 . 5 . 8 " " в 4 очка .4 . , 3 . -6 , . " 2 . "2 . " 1 очку. Решение. Числа очков: 6, 5, 4, 3, 2 и 1 - частные значения этой 7 *-? Я Л. R О ' переменной величины,-а--, - , -- , ---, - и -соответствующие им оО ои оО oU o(J оО частости. Тогда по общей формуле Y fi7L^ 3., 8,0 4,о б , 1 2 115 _ -Yc0==6--^+5--o7r+4--^+3-^A +2--^Г+1-^77== СР "30 ' 30 ^ "30 ' "30 ' 30 ' 30 30 = 3 - очка. 6 Арифметическое решение приводит к такому же результату: Y 6.7 + 5.3 + 4.8 + 3.4 + 2.6+1.2 115 , 5 Л1 ^ Хср =----------------------=___ = 3-очка. На основании закона больших чисел по мере увеличения числа повторений испытания частость события по своей величине стремится приблизиться к вероятности этого же события, а при достаточно большом числе повторений испытания частости очень мало отличаются от соответствующих им вероятностей. Отсюда в выражении среднего из опыта можно частости частных значений переменной величины заменить соответствующими им вероятностями. Тогда, обозначив эти вероятности соответственно через р}, /?2, ps, . . . , р" . . . , ps, получим выражение математического ожидания, данное выше: М.О. (х) = a = Xj/?- ~\-x.j>2-}-x3ps+ . . . +х&+ . . . +xsps. 69 Если при определении математического ожидания были учтены все возможные частные значения переменной величины, то согласно следствию теоремы сложения вероятностей, А+А+Л+ - • • +Л+ • • - +Ps=l. Сравнивая выражения среднего из опыта и математического ожидания, можем заключить, что между средним из опыта некоторой переменной величины и ее математическим ожиданием существует такая же зависимость, как и между частостью и вероятностью события, т. е. по мере увеличения числа испытаний среднее значение величины будет приближаться к ее математическому ожиданию. При достаточно большом числе повторений испытания неизвестное математическое ожидание переменной величины будет весьма мало отличаться от среднего значения этой же величины, полученного из опыта. И наоборот, если математическое ожидание переменной величины известно, то при большом числе повторений испытания полученное среднее значение этой величины будет весьма мало отличаться от ее математического ожидания. В этом и заключается сущность закона больших чисел применительно к среднему из опыта и математическому ожиданию. Пример 1. При .стрельбе из пистолета по мишени, имеющей вид круга, вероятность попадания в десятку равна 0,3, в девятку - 0,35, в восьмерку - 0,2, в семерку - ОД ив шестерку - 0,05. Определить математическое ожидание числа очков при 1 выстреле. Решение. В этом примере переменной величиной является число очков, которое может быть получено при 1 выстреле. Частные значения этой величины: 10, 9, 8, 7 и 6 очков. Вероятности этих частных значений соответственно: 0,3; 0,35; 0,2; 0,05 и 0,1. Прежде чем перейти к определению математического ожидания числа очков, проверим, полностью ли учтены в условиях примера все возможные частные значения рассматриваемой переменной величины, для этого сложим вероятности этих значений: 0,3 + 0,35 + 0,2 + 0,05 + 0,1 = 1. f*tTfr* это показывает, что все частные значения в условиях примера учтены и что при стрельбе исключается возможность попадания пули за пределами черного круга мишени. Убедившись в этом, подставим численные значения х-г и p-t в общую формулу: М.О. (*) = <- =10-0,3 + 9.0,35 + 8-0,2 + 7.0,05 + 6.0,1 - 8,7 очка. |т' Это означает, что при проведении большого числа аналогичных стрельб на каждый выстрел надо ожидать получение 8,7 очка в среднем. Пример 2. Цель находится в пределах района, разбитого на участки А, Б, В, Г и Д. При условии нахождения цели на участке А на пристрелку расходуется 13 снарядов, на участке Б-11 снарядов, на участке В-8 снарядов, на участке Г-10 снарядов и на участке Д -12 снарядов. Найти математическое ожидание расхода снарядов на пристрелку, если вероятности нахождения цели на участках А, Б, В, Г и Д соответственно равны: 0,05, 0,15, 0,45, 0,25 и 0,1 (рис. 20). 70 Район возможных положений цели Г-" ------- ! л I Лд 5 /: * , Г .'_> f ! i >• • . . . 1 0,05 13 с". 0,75 /Ген. ОЛ5 беи. 0,25 WCH. 0,70 12 СИ. Рис. 20 Решение. Здесь переменная величина - количество снарядов, расходуемое на пристрелку. Частные значения этой величины 13, И, 8, 10 и 12. По условию расход снарядов на пристрелку определяется нахождением цели на том или ином участке района,возможных положений цели. Отсюда вероятности нахождения цели на различных участках этого района являются вместе с тем и вероятностями соответствующих частных значений расхода снарядов, и сумма этих вероятностей, если учтены все возможные положения цели, должна быть равна единице. И действительно: РА + Ръ + Рв + Рг + РД = °>05 + °>15 + °'45 + °'25 + °'1 = 1-Тогда М.О.-(дг) = а - 13-0,05+ 11-0,15 + 8-0,45 + 10-0,25 + 12-0,1=9,6 снаряда. Пример 3. Найти математическое ожидание суммы очков, которая может быть получена при одновременном и однократном бросании 2 игральных костей. Решение. Переменная величина - сумма очков. Частные значения этой суммы xi и соответствующие этим частным значениям вероятности Р-г даны в таблице. хг 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 Pi 36 36 36 3~6 36 36 36 36 36 36 36 Сумма очков, равная 3, может быть получена как (2+ 1) или как (1+2), а вероятность этой суммы независимо от того, на какой кости будет получено 2 очка и на какой 1 очко: Р = 1 1+1 1 = _2_ а 6 ' 6 6*6 36 ' Сумма'очков, равная 7, может быть получена как (6 + 1), или (5 + 2), (4 + 3), или (3 +• 4), или (2 + 5), или (1 + 6). Вероятность этой суммы или 1 1 Рп - + *1 - -^ -^~ ^ 1 1+-! 1+L 1 + 1 1.4-1 1 = А 6 б ' e'e^s "66*66*66*6 зб' Сумма вероятностей всех возможных частных значений суммы очков 3.4.5,6.5,4,3,2,1 p.-_L+JL + Jl+JL + JL+ 6 +JL+ 4 + ° +." + Л = 1 збЗбтзб^збЗбЖзбЖзё>збЗб _ 36_ . ~~ 36 ~ 1' Тогда М.О. (х) = а = 2 . + 8.JL+9- 36 _1_ 36 _4_ "36 + 3. + 10, -1+4, 36 т + 11 ^_ 36 _2_ 36 + 5. 36 + 6.4-Ч-7 36 _6_ 36 + +12 * =7 очков, об 71 Разобранные примеры показывают, что математическое ожидание переменной величины выражается любым дробным или целым именованным числом. В этих примерах математические вероятности были выражены положительными числами, но они могут быть выражены и отрицательными числами, если отрицательны частные значения переменной величины. Мы разобрали случай, когда в условиях данного испытания были частные значения одной переменной величины. Нередко конечный результат испытания определяется совокупностью частных значений нескольких таких величин. Например, имея билеты нескольких лотерей, мы по окончании всех тиражей получим какой-то суммарный выигрыш, слагающийся из выигрышей на билеты различных лотерей, причем выигрыш в одной лотерее не зависит от выигрыша в другой. На вопрос о математическом ожидании такого суммарного выигрыша отвечает математическое ожидание суммы нескольких независимых переменных величин. Выведем математическое ожидание суммы сначала только для двух таких переменных величин. Положим, что имеются две независимые переменные величины х и у, частным значениям которых: х^ х2, х%, . . . ,х$ соответствуют вероятности/?1} р2,Ра, • - • ,ps> ьунУ^Уь • • • > vs - вероятности qlt qz, qs, . . . ,gs. Любое частное значение величины х может совпасть с любым частным значением величины у. Такие совпадения и дадут частные значения суммы: XI+У! *1+.У2 .... x^+ys x^ + Vi ХЪ+УЪ .... x2+ys Xs+Vi Xs-\-yz .... xs + ys Сумма (xl+y1) может быть получена только тогда, когда величина х примет значение xl и величина у - значение yl> а так как вероятность значения х^ по условию равна /?- и вероятность значения у1 равна qlt то по теореме умножения вероятность такой суммы будет равна р-&\. Точно так же вероятность суммы (xz + yj будет равна /?- q^ суммы (хя +у*} - р.Дь И Т. Д. Подставив частные значения суммы и соответствующие им вероятности в общую формулу математического ожидания, жолучим: М.О. (х +" - (А:- +у^р& Ч- (^i +Уг)Р& + • • • + + (xs+ys)psqs. 72 Раскроем скобки и произведем сравнительно несложные преобразования, используя равенства Х\Р\ + х*Ръ + • • • +*sps -M.O. (х) = а, *i?i +-Vatfz-Ь • • • +ysqs = M.O.(y) = b и помня, что Pl+P*+ • • • -Т-/>5=1, tfi + <72+ • • • + 05=1, после чего получим М.О. (х +у) = а + Ъ = М.О. (х) + М.О. (у), т. е. математическое ожидание суммы двух независимых переменных величин равно сумме математических ожиданий этих величин. Этот вывод будет справедлив и для любого числа независимых переменных величин, так как легко представить сумму нескольких величин сначала в виде суммы только двух величин и затем решить задачу последовательно. Например, если имеются три независимые переменные величины х, у и г, математические ожидания которых соответственно равны а, Ъ и с, то М.О. (х + у + z) = М.О. (х + у) + М.О. (г) = М.О. (*) + -|- М.О. (у) + М.О. (г) = а + Ь + с. Математическое ожидание суммы нескольких независимых переменных величин равно сумме математических ожиданий этих величин. Пример. Стрельба ведется на трех установках прицела: 80, 81 и 82. Определить математическое ожидание числа попаданий, если вероятности попадания при одном выстреле соответственно прицелам 80, 81 и 82 равны: 0,05, 0,15 и 0,1 и на прицелах 80 и 82 намечено произвести по 8 выстрелов,, а на прицеле 81-12 выстрелов. Решение. Математические ожидания числа попаданий при стрельбе: на прицеле 80 - а± = 8-0,05 = 0,4 попадания, на прицеле 81 - а2 = 12-0,15= 1,8 попадания, на прицеле 82 - а3 •=. 8-0,1 =0,8 попадания. Тогда сумма этих математических ожиданий а\ + я2 + "з - 0,4 -{- 1,8 + 0,8 - 3*попадания, что и отвечает на вопрос о математическом ожидании числа попаданий всей стрельбы. Если частные значения нескольких независимых переменных величин не суммируются, а перемножаются, то можно говорить о математическом ожидании произведения этих величин. Математическое ожидание произведения нескольких независимых переменных величин равно произведению математических ожиданий этих величин М.О. (х -у- ?) = М.О. (х) X М.О. (у) х М.О. (г). 73 § 18. ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ В том случае, когда переменная величина при одном испытании может принимать только два частных значения: хг = 1 и лг2 = О, эти два значения соответствуют противоположным событиям (например, недолет и перелет, попадание и промах). Выражение математического ожидания такой переменной величины может быть значительно упрощено. Выведем это упрощенное выражение применительно к наиболее важному для артиллериста случаю-математическому ожиданию числа попаданий. Заметим, что речь будет итти только о прямых попаданиях и только при ударной стрельбе. При одном выстреле может быть получено или попадание, или промах, т. е. частные значения числа попаданий: xv - 1 (попадание) и лг2 = 0 (промах). Обозначим вероятность попадания при 1 выстреле через р и вероятность промаха через q, т. е. вероятности указанных выше частных значений: pi=p и р^ - д. Тогда по общей формуле М.О.(л;) - аа^=х1р1 -f -х2/?2= !•/? + Q-q = p попаданиям. Следовательно, при 1 выстреле математическое ожидание числа попаданий численно равно вероятности попадания при 1 выстреле. Это равенство только численное, потому что вероятность попадания величина отвлеченная, а математическое ожидание - именованная. Пример. Найти математическое ожидание числа попаданий при 1 выстреле, если вероятность попадания при 1 выстреле р - 0,15. Ре шение: р = 0,15; а = 0,15 попадания. Такое численное равенство справедливо только для 1 выстрела. Для 2 и более выстрелов этого равенства уже нет. Действительно, вероятность получения всех попаданий, например, при 3 выстрелах равна р-р-р - ръ, т. е. меньше, чем при одном выстреле (р342 4 0 s*s + А*4 = = з-/?3 + 2-3/72? + - -ЪрФ + о-^3 - з/?3 ч- б/?2^ + з^а = = 3/? (р2 + 2pq + q*) = 3p(p + qf = 3p-l = 3p попаданий, т. е. математическое ожидание числа попаданий при 3 выстрелах численно равно утроенной вероятности попадания при 1 выстреле. Сопоставив результаты наших расчетов: я- = р попаданий; й2 - 2р попаданий; а3 =-: З/? попаданий, можем считать, что и для любого 6" числа выстрелов математическое ожидание числа попаданий М.О. (х) •=• as - Sp попаданий. Пример 1. Найти математическое ожидание числа попаданий при 16 выстрелах, если вероятность попадания при 1 выстреле равна 0,15. Решение. М.О. (х) = а16 = S-p - 16-0,15 = 2,4 попадания. Это означает, что при проведении большого количества ^стрельб в условиях нашего примера среднее ожидаемое число попаданий на одну стрельбу равно 2,4 попадания, хотя отдельные стрельбы дадут разное число попаданий-от 0 до 16. Пример 2. Вероятность нахождения цели на обстреливаемом участке равна ОД Определить математическое ожидание числа попаданий при 12 выстрелах, если вероятность попадания при 1 выстреле и при условии, что цель находится на участке, куда направлен огонь, равна 0,08. 75 Решение. Вероятность попадания при 1 выстреле с учетом вероятности нахождения цели Р = Рц • р - 0,3-0,08 = 0,024. Тогда М.О. (х) - а12 = 12-0,024 = 0,288 попадания. Задаваясь определенным математическим ожиданием числа попаданий, можно рассчитать средний расход снарядов, необходимый для решения поставленной огневой задачи. a = S-p, тогда с_ а Л"Т- Пример. Определить средний расход снарядов, если для поражения цели требуется 3 прямых попадания и вероятность попадания при 1 выстреле равна 0,05. Решение. а 3 S = - = Q-дет = 60 снарядов. Это означает, что при проведении большого числа стрельб при условиях этого примера для получения 3 попаданий необходимо на 1 стрельбу расходовать в среднем 60 снарядов. § 19. ЭКОНОМИЧНОСТЬ СТРЕЛЬБЫ Каждая стрельба должна быть достаточно надежной, но одной надежностью еще не исчерпываются все требования, предъявляемые к стрельбе; стрельба должна быть экономичной, т. е. огневая задача должна решаться с наименьшим расходом снарядов и времени. Если при двух различных методах стрельбы математическое ожидание числа попаданий при первом методе больше, чем при втором, то первый метод стрельбы более выгоден, более экономичен, чем второй. Положим, что при проведении стрельбы первым методом математическое ожидание числа попаданий равно 2, а при проведении стрельбы вторым методом- 1, и для решения огневой задачи требуется только 1 прямое попадание. Очевидно, что при том же расходе снарядов, проводя стрельбу первым методом, можно решить 2 такие огневые задачи, так как на каждую стрельбу расход снарядов будет в 2 раза меньше. Следовательно, математическое ожидание числа попаданий характеризует экономичность артиллерийской стрельбы. Устанавливая те или иные положения (правила) артиллерийской стрельбы, отыскивая наиболее выгодные во всех отношениях методы ее проведения, необходимо одновременно с на- 7в дежностью стрельбы учитывать и ее экономичность. Только сопоставление надежности с экономичностью стрельбы позволяет притти к правильным выводам. Пример 1. Найти надежность и экономичность стрельбы при 40 выстрелах, если вероятность попадания при 1 выстреле равна 0,1 и для раз-рушения цели требуется 2 прямых попадания. Решение. Надежность стрельбы определим как вероятность хотя бы двух попаданий. Рп = 1 - (Spqs~l + qs) == 1 - (40-0.1-0,939 + 0,9*0) = 1 - 0,0805 и 920/0> т. е. при данном расходе снарядов на 1 стрельбу огневая задача будет решена в 92 случаях из 100, в остальных 8 случаях потребуется увеличить расход снарядов. Экономичность стрельбы найдем как математическое ожидание числа попаданий: а = ?•/> = 40 • 0,1 =4 попадания, т. е. на каждую стрельбу можно ожидать получения 4 попаданий в среднем. Здесь мы натолкнулись, повидимому, на явное противоречие-требуется 2 попадания, а на 1 стрельбу можно ожидать получения 4 попаданий. Если для уравнения математического ожидания числа попаданий с требуемым по условию количеством попаданий уменьшить расход снарядов вдвое, т. е. расходовать только 20 снарядов в среднем на стрельбу, то надежность стрельбы понизится. Действительно, Рп = (1 - 20.0,1.0,9-- -0,9") = 1 -0,3917 = 0,6093 ж 6l<>/0, что явно недостаточно. Пример 2. Определить надежность и экономичность стрельбы при 30 выстрелах, если вероятность попадания при 1 выстреле равна 0,2 и для поражения цели требуется 1 прямое попадание. Решение. Надежность стрельбы PI = 1 - 0,8-" = 0,9988. Экономичность стрельбы а - 30-0,2 = 6 попаданий. Очевидно, что надежность стрельбы слишком велика и может быть снижена; снижение надежности, в свою очередь, повлечет уменьшение расхода снарядов на стрельбу. Например, при надежности стрельбы, равной 960/0, lg(l - 0,96) lgO,04 2,60206 -1,39794 5 =--------r= ---- г- г:-----г -------• = 15 снарядам, lg (1-0,2) lgO,8 1,90309 -0,09691 v а экономичность стрельбы а - 15-0,2 = 3 попаданиям. Если условия стрельбы допускают меньшую надежность, например 900/0, то IgO.l -1,00000 5 = Т^ОГ8 = -0,09691 = U снаРяЛам'> а- 11-0,2 - 2,2 попадания. Таким образом, для выполнения указанной огневой задачи можно ограничиться расходом 15 снарядов на 1 стрельбу в среднем. Дальнейшее сокращение расхода снарядов на стрельбу нецелесообразно, так как полученная экономия в снарядах очень незначительна (15-И =4 снаряда), а надежность стрельбы снизилась сразу на 6%. 77 § 20. ЗАДАЧИ НА МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ Задача 47. По группе мишеней было дано 40 выстрелов, в результате чего было поражено: - при б выстрелах по 3 мишени; - при 13 выстрелах по 4 мишени; - при 12 выстрелах по 5 мишеней; - при 9 выстрелах по б мишеней. Определить среднее число пораженных мишеней на 1 выстрел. Ответ. 4,6 мишени. Задача 48. При стрельбе осколочной гранатой вероятность получения воронки глубиной 30 см равна 0,2, глубиной 40 см - 0,4, глубиной 50 см- 0,3 и глубиной 60 см - 0,1. Чему равно математическое ожидание числа пораженных мишеней на 1 выстрел, если известно, что при получении воронки глубиной 30, 40, 50 и 60 см в среднем поражается соответственно 8, 7, 5 и 3 мишени. Ответ. 6,2 мишени. ^Задача 49. Определить математическое ожидание суммы очков для одной, взятой наудачу кости домино? Ответ. 6 очков. Задача 50. Чему равно математическое ожидание числа прямых попаданий при 36 выстрелах, если вероятность попадания при 1 выстреле равна 0,07? Ответ. 2,52 попадайия. Задача 51. Вероятность нахождения цели на участке, куда направлен огонь, равна 0,6. Определить математическое ожидание числа попаданий при 16 выстрелах, если вероятность попадания при 1 выстреле при условии нахождения цели на обстреливаемом участке равна 0,15. Ответ. 1,5 попадания. Задача 52. Определить средний расход снарядов на стрельбу, если вероятность попадания при 1 выстреле равна 0,04 и для поражения цели требуется 2 прямых попадания. Ответ. 50 снарядов. Задача 53. При стрельбе из пистолета по мишени, имеющей вид круга, вероятность попадания в десятку равна 0,2, в девятку - 0,3, в восьмерку- 0,25, в семерку - 0,15 и в шестерку - 0,1. Чему равно математическое ожидание числа очков при 5 выстрелах? Ответ. 41,75 очка. Задача 54. Определить надежность и экономичность стрельбы при 16 выстрелах, если вероятность попадания при 1 выстреле равна 0,12 и для поражения цели требуется 1 прямое попадание. Ответ. 0,871; 1,92 попадания. Задача 55. Определить средний расход снарядов на одну стрельбу и надежность стрельбы при этом расходе снарядов, если вероятность попадания при 1 выстреле равна 0,25 и для поражения цели требуется 2 прямых попадания. Ответ. 8 снарядов; 0,633. § 21. О ВЕРОЯТНОСТЯХ ГИПОТЕЗ При исследовании некоторых явлений нередко приходится иметь дело с событиями, вероятности которых могут принимать различные численные значения, в зависимости от того, в каких условиях (какой обстановке) эти события происходят. Иначе говоря, в зависимости от этих условий (этой обстановки) одному и тому же событию могут соответствовать различные вероятности. В качестве очень наглядного и притом часто встречающегося -в артиллерийской практике примера можно указать на вероятности недолета и перелета при ударной стрельбе. Эти вероятности, как мы знаем, имеют различные численные значения в зависимости от того, где проходит средняя траектория д Е ж з и | 0,25 ! 0,16 I 0,07 ' 0,02 6 в \Г | 0,02 ! 0,0?! 0,16 Вероятность недолета 0 0,02 0,09 0,25 0,50 0,75 0,91 0,98 1.0 Вероятность перелета 1,0 0,98 0,91 0,75 0,50 0,25 0,09 0,02 0 Рис. 21 относительно цели. Так, если цель находится в точке А (рис. 21), вероятность недолета равна 0, а вероятность перелета-1,0; при нахождении цели в точке Б вероятность недолета равна 0,02 и вероятность перелета 0,98; при нахождении цели в точки В вероятности недолета и перелета соответственно равны 0,09 и 0,91 и т. д. Зная условия, в которых происходит интересующее нас событие, мы можем найти частное значение вероятности этого события, т. е. если положение цели относительно средней 79 траектории известно, то мы можем найти частное значение вероятности недолета или перелета. Но вопрос может быть поставлен и иначе: по частному значению вероятности события мы можем определить конкретные условия, в которых оно происходит; так, по частному значению вероятности недолета или перелета мы можем судить о действительном положении цели относительно средней траектории. Такая постановка вопроса имеет особо важное значение, так как знание положения цели относительно средней траектории позволяет нам рассчитать поправки для совмещения средней траектории с целью и этим решить основную задачу артиллерийской стрельбы. Если бы представилось возможным произвести на одних и тех же установках достаточно большое число выстрелов- 100, 200, 300, решение этой задачи было бы очень простым. Рассчитав по результатам такой стрельбы частость недолета или перелета и приравняв на основании закона больших чисел (используя теорему, обратную теореме Якова Бернулли) найденное численное значение частости соответствующей ей вероятности, мы по этой вероятности определяем интересующее нас положение цели относительно средней траектории. В действительности о таком числе выстрелов на одних и тех же установках не может быть и речи. Как правило, стреляющему приходится судить о положении цели относительно средней траектории и принимать соответствующее решение о корректуре установок по очень небольшому числу наблюдений, зачастую даже по одному. Вследствие неизбежности рассеивания при стрельбе данному положению (знаку) отдельного случайного разрыва или группы разрывов могут отвечать различные положения цели относительно средней траектории или различные положения •я* ^ ^т^^^ ^=хж^ (^EEIEE^ Рис. 22 средней траектории относительно цели. Так, если на некоторой установке прицела были получены недолет и три перелета, то средняя траектория может при этом проходить за целью, перед целью и даже через цель (рис. 22). Прежде чем принять решение убавить, прибавить или оставить ту же установку прицела, у стреляющего, естественно, возникает вопрос: какова же вероятность каждого из этих 80 положений, какое из этих положений является наиболее вероятным? На этот вопрос отвечает теорема гипотез. Сущность этой теоремы применительно к стрельбе по наблюдению знаков разрывов заключается в следующем. Зная, что цель относительно средней траектории может занимать различные положения, мы еще до выстрела задаемся рядом предположений (гипотез) об этих положениях цели. Каждая такая гипотеза оценивается своей вероятностью. Численные значения этих вероятностей вытекают из условий подготовки исходных данных. Произведя выстрел и получив то или иное наблюдение (знак или знаки), мы по вероятностям гипотез о положении цели до выстрела и по вероятностям получения наблюденного знака (знаков) при различных положениях цели находим уже новые вероятности гипотез о положении цели после вы-стрела. Далее, основываясь на наивероятнейшей после выстрела гипотезе, мы и принимаем соответствующее решение о корректуре установок. Чтобы показать, как результат испытания изменяет суждение о вероятностя-х гипотез, воспользуемся следующим примером. В 2 закрытых ящиках находятся шары, различающиеся только цветом: в первом ящике-3 белых и 2 черных шара и во втором-только белые шары. Из первого ящика во второй, не глядя, перекладывают один шар. О том, какой шар был переложен, мы можем сделать два предположения, две гипотезы: - переложен белый шар-вероятность этой гипотезы 3 равна -ц-; - переложен черный шар-вероятность этой гипотезы 2 равна -g-. Предположим, что после этого из второго ящика вынимают, не глядя, один шар, и этот шар оказался черным. Совершенно очевидно, что это могло произойти только в том случае, если из первого ящика во второй был переложен черный шар. Вероятность второй гипотезы до испытания была рав-2 на -V-, а после испытания стала равной единице. Вероятность з первой гипотезы вместо -^ стала равной нулю. Результат испытания в корне изменил суждение о вероятностях гипотез. Вернемся к вероятности гипотез о положении цели. Рассчитав вероятности всех сделанных нами гипотез о положении цели относительно средней траектории, мы получим ряд (совокупность) возможных положений цели, каждому из которых б - Зак. 991 gj соответствует своя вероятность, т. е. получим, как это называется в теории стрельбы, -распределение цели. Особенность теоремы гипотез по сравнению с другими теоремами, которые применялись до сих пор, заключается в том, что теорема гипотез не дает вполне определенного ответа на вопрос о вероятности события. Она дает ряд ответов^ ряд вероятностей или распределение вероятностей этого события. Анализируя этот ряд, сравнивая вероятности гипотез, мы приходим к наиболее целесообразному решению. При этом необходимо особо подчеркнуть, что это решение будет справедливым только в условиях данной обстановки, только для данного результата испытания, при стрельбе - только для данного наблюдения (знака). Получив первое наблюдение, изменив установки и продолжая стрельбу, мы будем получать новые наблюдения. Каждое такое новое наблюдение будет менять распределение цели. С каждым новым наблюдением будет уменьшаться число гипотез (распределение цели будет сужаться) и вместе с тем будут возрастать вероятности наивероятнейших гипотез. В конечном счете при сравнительно небольшом расходе снарядов мы определим положение цели относительно средней траектории с точностью, вполне обеспечивающей как надежность,, •так и экономичность стрельбы на поражение. В отличие от закона больших чисел теорема гипотез дает основание для суждения о вероятности рассматриваемого события по результатам небольшого числа испытаний. Этим обусловливается особенно широкое применение этой теоремы в теории артиллерийской стрельбы. § 22. ТЕОРЕМА ГИПОТЕЗ Для вывода численного выражения (общей формулы) вероятности гипотезы воспользуемся следующим частным примером. Положим, что имеется 3 группы совершенно одинаковых по виду, весу и форме закрытых ящиков. В ящиках находятся шары, отличающиеся друг от друга только окраской. Ящиков первой группы - 3, в каждом из них по 2 белых и по 4 черных шара. Ящиков второй группы - 2, в каждом из них по 4 белых и по 3 черных шара. Ящиков третьей группы - 4, в каждом из них по 3 белых и по 5 черных шаров. Ящики различных групп расположены вперемежку; из них наудачу берут один ящик, из которого, не глядя, вынимают шар, и оказывается, что этот шар белого цвета. Определим, какова вероятность того, что этот шар был вынут из первой группы ящиков? 82 До испытания белые шары имелись во всех ящиках. Следовательно, белый шар мы могли вынуть из ящика первой, или второй, или третьей группы. Следовательно, можно сделать три предположения, сделать три гипотезы относительно того, из ящика какой группы был вынут белый шар. Появление белого шара из ящика первой группы в тех условиях, при которых проходило наше испытание, есть событие сложное, так как оно состоит из совпадения выбора ящика первой группы с появлением белого шара из этого ящика. 'Ш> Всех ящиков 9, из них ящиков первой группы 3. Поэтому вероятность выбора ящика первой группы, т. е. вероятность первой гипотезы до испытания, Р-=? *i g ' В каждом ящике первой группы по 2 белых и 4 черных шара. Отсюда вероятность появления белого шара из ящика первой группы, считая, что ящик именно этой группы уже выбран, т. е. вероятность события по первой гипотезе 2 Pi = "б ' По теореме умножения вероятность появления белого шара из ящика первой группы, как вероятность совпадения появления ящика первой группы с появлением белого шара из этого ящика будет равна г> 32 PlP^-Q'-Q' Путем аналогичных рассуждений найдем, что вероятность появления белого шара из ящика второй группы равна Р - JL ± -2 Рч, - 9*7' вероятность появления белого шара из ящика третьей группы равна Р v -l-l ^зРа- 98* Откуда по теореме сложения вероятность появления белого шара из ящика любой группы H=PlPl + P2/72 + P3/78 = ! • |+ | - ~+ 1 • ?. Приведём правую часть этого равенства к общему знаменателю, умышленно не делая никаких сокращений, и закончим вычисления: п_3-2-7-8 2.4-6.8 . 4-3-6-7 336 + 384 + 504_1224 ~~9-6.7-8 + 9-6-7-8^~9-6-7.8 3024 ~~3024' Полученный результат позволяет сделать заключение/* что появлению белого шара из ящика любой группы до испытания -благоприятствовало 1224 случая из 3 024 всех равновоз-можных случаев. 6* 83 [ о 1224 Следует подчеркнуть, что^щ не есть отношение числа всех белых шаров к общему количеству шаров, а отношение случаев, благоприятствующих появлению белого шара, к числу всех равновозможных случаев. Во всех 9 ящиках белых шаров по условию примера 26, а всех шаров белого и черного цвета - 64. Определяя вероятность появления белого шара из любой группы ящиков 26 1224 и взяв отношение -г--, что не равно ------- > мы поступили бы неправильно, потому что число шаров в ящиках неодинаковое. Предположим теперь, что соотношение между белыми и черными шарами в ящиках осталось тем же, а число шаров в каждом ящике одинаковое, а именно по 6-7-8, - всего по 336 шаров. Тогда в каждом ящике первой группы должно быть по 2-7-8 =-112 белых шаров, в каждом ящике второй группы по 4-6-8 = 192 белых шара и в каждом ящике третьей группы по 3-6-7 = 126 белых шаров, что и даст нам те же численные значения вероятностей появления белого шара: __Н2___2_. -1Ю_±. _ 126 _ 3 Pi ~~ 336 ~~ 6 ' "z ~ 336 ~~ 7 ' ^з - 336 ~ 8 ' Учитывая общее число ящиков и число ящиков в каждой группе, получим число всех равновозможных для появления шара случаев: п = 336- 9 = 3024, а число случаев, благоприятствующих появлению белого шара, /71 = 112-3+ 192-2 + 126.4 = 336 + 384 + 504 = 1224, т. е. получим то численное значение вероятности появления белого шара до испытания, которое мы вывели выше. Вероятность появления белого шара до испытания из любой группы ящиков (без указания, какой именно) называется полной или средней, вероятностью появления белого шара. В общем виде полная вероятность события выражается формулой П = Р,рг + Р2/>2 + -°зРз + . - •. +РЛ + • • -Psps = s = 2 Pip i, где Pt - вероятности гипотез до испытания; pi - вероятности событий по этим гипотезам. Испытание было произведено-появился белый шар. Очевидно, имел место один из 1224 случаев, благоприятствовавших до испытания появлению белого шара. 84 Выше мы установили, что из этих 1 224 случаев 336 случаев благоприятствовало появлению белого шара из ящика первой группы, 384 случая - из ящика второй группы и 504 случая - из ящика третьей группы. Определим вероятность появления белого шара из ящика именно первой группы после того, как белый шар был уже вынут, т. е. вероятность первой гипотезы после испытания. Так как появлению белого шара из ящика первой группы благоприятствовало 336 случаев из всех равновозможных для появления белого шара 1 224 случаев, то вероятность появления белого шара из ящика именно первой группы или вероятность того, что после появления белого шара имеет место именно первая наша гипотеза, _33б Vl ~~ 1224' Чтобы перейти от этого частного решения к общему выводу, вспомним, как были получены числа 336, 384, 504 и 1224: 336 = 3-2.7.8; 384 = 2.4-6-8; 504 = 4-3.6-7; 1224 = 336+ 384+ 504---=3.2-7.8+ 2-4.6-8+ 4-3-6.7. Тогда п________3.2.7-8______ V* ""3-2.7.8 + 2-4-6.8 + 4-3-6-7* В правой части этого равенства мы имеем только случаи, благоприятствовавшие появлению белого шара. Для общего вывода нам необходимо учесть и все равновозможные случаи. Поэтому разделим числитель и знаменатель правой части равенства на произведение 9-6"7-8 = 3024, т. е. на произведение всех равновозможных случаев, после чего сделаем необходимые сокращения: 3.2-7.8 _з_ 2^ Л 9-6-7-8 9 ' 6 Qi = 3-2-7-8 2-4.6-8 4-3-6-7 ~_3_ _2 2_ ? _4 _3 ' 9-6-7-8+ 9-6.7-8+ 9-6-7-8 9 ' б" + 9 ' 7 + 9 * 8 Проанализируем полученный результат, разберем, что представляют собой все эти дроби. 32 4 Дроби -д-, -д и д- > по доказанному выше, являются вероятностями выбора ящика той или иной группы, т. е. вероятностями гипотез до испытания (до появления белого шара): Plt Я2 и Р3. 243 Дроби же -Q , у и -g являются вероятностями выхода белого шара из ящика определенной группы, иначе говоря, вероятностями события по вышеприведенным гипотезам: />,, рг и рг. 85 Тогда, сохранив эти обозначения, получим: QI--р*1- Р\Р\ + РчРч + РзРз' Таким образом, вероятность того, что белый шар появился из первой группы ящиков, т. е. вероятность того, что после испытания имеет место первая гипотеза, равна произведению вероятности выбора ящика первой группы до появления белого шара (вероятности первой гипотезы до испытания) на вероятность появления белого шара именно из такого ящика (на вероятность события по данной гипотезе), деленному на сумму таких произведений для всех групп (для всех гипотез). Распространяя этот вывод на любое событие и любое число гипотез, мы можем сформулировать теорему гипотез. Вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности этой гипотезы до испытания на вероятность события по этой гипотезе, подобного происшедшему при испытании, деленному на сумму таких произведений для всех возможных гипотез. Или в общем виде для S гипотез 0 _._________PI Pi__________pt PJ <* PiPi+PzP2+P3p3+...+Pi Pi +...+PsPs |p^_ При этом сумма Я1+Яа+Яа+... + Я, +...+Я.у=1, т. е. при определении вероятности гипотезы после испытания необходимо учесть все гипотезы, которые имеют место до испытания, что и подтверждается условиями нашего примера, где р1+Р2+я3=4-+-2-+4=i. Применительно к артиллерийской стрельбе теорему гипотез можно сформулировать так. Вероятность данного положения цели относительно средней траектории после выстрела, давшего наблюдение определенного знака, равна произведению вероятности этого положения цели до выстрела на вероятность полученного наблюдения при данном положении цели, деленному на сумму таких произведений для всех возможных положений цели. Вывод теоремы гипотез мы могли бы сделать и не пользуясь частным численным примером. Положим, что относительно появления события А можно сделать 4 гипотезы, вероятности которых до испытания D __ _?! . D __S-. р __ §8 . Р __ ^4 -1 - 5 , *2 ~ 5 " *8 - 5 ' ** - S ' Вероятности появления события А при условии, что имеют место именно эти гипотезы, т', е. вероятности событий по гипотезам р _т\ . р _Ш2 . р_тз " р _ т4 Л 1 -- - " -I О "~ "•• ""'"" "" * * о •- - Л л j ---. -- 1 "! ' 2 Я2 ' 3 ПВ * nt Тогда полная вероятность появления события А до испытания (по всем гипотезам) P = *Vi + Р&ъ + Р<,/78 + Р4Р4 = __ Si Щ . S% frfe . $з Щ , S± jn± ~~S'n1"1~5'n2"t"5*"3"hS'"4' или, после приведения к общему знаменателю Q__^•/Уг1-Я2'Лз'^4+'^2'/я2'?г1'/гЗ'я44"'-'3'/йЗ'лГя2'га4+'^4'т4'я1'я2'яЗ S-ni-П^'П^-П^ Испытание произведено - событие А появилось. Рассуждаем так же, как и ранее при решении частного примера. Число всех равновозможных случаев до испытания было 3'П^'Щ*п^'П^. Число всех равновозможных случаев после испытания стало Зг • т^пг> nt • n±-\-Sz • /7-2 • #1 • я8 • n^Sa • т§*п^ • ftz • п±-\- +Si-m^nl-nz-n^t причем из всех этих равновозможных случаев появлению события А после испытания по первой гипотезе благоприятствует 51-/711'Л2'Л3"л4 случаев, по второй гипотезе S^m^-n^n^n^ случаев, по третьей гипотезе-S^-т^'П^п^-п^ случаев и, наконец,, по четвертой гипотезе-S^-m^n^-n^n^ случаев. Тогда вероятность первой гипотезы после испытания Q________________^гтгл2'Л3>я4______________ ^1 6>-'^1'Я2'Яз'п4Н~>^2'/и2'лГяЗфЛ4+>^8*/я8'лГя2'я4+'^4'/и4'и1 'П^'П& ' Разделив числитель и знаменатель правой части этого равенства на число всех равновозможных случаев до испытания, т. е. на произведение S-n^n^-n^n^ и произведя сокращения, получим: §1. . EL п =_________s ni_________- 1 ^i т\ 1 ^2 щ , ^з щ . ^4 т± S ' щ ~i~ 5 ' п2 "*" 5 ' ns ~*~ S ' л4 ________Р\Р\ PiPi+PzPz+PsPB+PtPi ' 87 Таким образом, мы пришли к тому же выводу, что и на численном примере. Выше мы указали, что теорема гипотез дает нам возможность сравнивать вероятности гипотез после испытания. Покажем это на нашем примере, определив по теореме гипотез вероятности появления белого шара из ящика второй группы и из ящика третьей группы, т. е. вероятности второй и третьей гипотез после испытания. Подставив в выведенную нами общую формулу соответствующие численные значения вероятностей, получим: &= 384 Q3= 3 2, _2 ' _4 , _4 3 9*69*7 9 ' "8 .1 i _______9 ' 8_____ А 2. 4- - 1 -4-1 9*69*79*' 336+384 -f 503 504 384 1224 504 336+384+504 ~~~ 1224 Нетрудно заметить, что достаточно рассчитать вероятность только одной из всех сделанных гипотез. Вероятности остальных гипотез будут отличаться только числителем, который представляет собой число благоприятствующих случаев для появления данного события по каждой из всех остальных гипотез. Сравнивая Qt, Q2 и Q3, мы видим, что вероятнее всего то, что белый шар был вынут из ящика третьей группы, так как после испытания третья гипотеза оказалась наивероятнейшей. При этом Qi+Q2+Q3 336 384 504 1224 ~*~ 1224 + 1224 1Д что и подтверждает правильность рассуждений и правильность всех сделанных расчетов. Пример 1. Установлено, что в районе возможных положений цели вероятности нахождения цели на отдельных участках этого района таковы: Участки РВПЦ А Б В г Д Е ж 3, И Вероятности нахождения цели . . . 0 0,02 0,10 0,23 0,30 0,23 0,10 0,02 0 Каждому участку района возможных положений цели (РВПЦ) соответствует некоторая установка прицела. Если на установке прицела, соответствующей участку Д, произвести 1 выстрел, то вероятности получения недолета (перелета) при условии нахождения цели на различных участках РВПЦ будут следующие. Участки РВПЦ А Б В г Д Е ж 3 и Вероятность недолета . 0 0,02 0,09 0,25 0,50 0,75 0,91 0,98 1 Вероятность перелета . 1,0 0,98 0,91 0.75 0,50 0,25 0,09 0,02 0 Найдем вероятность нахождения цели на участке В после того, как на прицеле, соответствующем участку Д, произвели 2 выорела и получили недолет и перелет. Решение. Проверим, прежде всего, все ли возможные положения цели учтены условием примера. Для этого сложим заданные вероятности нахождения цели: 0-1-0,02+0,10+0,23+0,30+0,23+0,10+0,02+0=1,0. Сумма вероятностей равна единице, что подтверждает полный учет возможных положений цели. Так как по условию примера цель может занимать в РВПЦ одно из 9 положений, то можно сделать 9 гипотез о положении цели. Вероятности каждой из девяти гипотез до испытания приведены в первой таблице данного примера. Каждому положению цели, т. е. каждой гипотезе при одном выстреле на прицеле участка Д, соответствует определенная вероятность получения недолета (перелета), отсюда и вероятность получения недолета и перелета при 2 выстрелах, т. е. вероятность события по гипотезе, подобного происшедшему при испытании. Обозначив вероятность недолета через р и вероятность перелета через #, представим вероятность события по гипотезе в общем виде: Р-=Р- Ч, I Г1 М* Подставив численные значения р и -10-0-8иО 6 QJI- 36'Q^- 36>(?"~ 36" Qo== 36 ' JL • _L 22. JL JL_i --"Pi - 36 "*" ЗК + 3fi + Ж ~Ь .4fi - *' Пример 2. В закрытом ящике имеется б шаров, эти шары могут быть только белого и черного цвета. Соотношение между белыми и черными шарами неизвестно. Какова вероятность, что в ящике белых и черных шаров поровну, если один за другим из ящика были вынуты 2 белых шара, причем белый шар, вынутый первым, в ящик возвращен не был. Решение. О составе шаров в ящике до испытания можно сделать 7 гипотез: 1. В ящике только белые шары. 2. В ящике 5 белых и 1 черный шар. 3. В ящике 4 белых и 2 черных шара. 4. В ящике 3 белых и 3 черных шара. 5. В ящике 2 белых и 4 черных шара. 6. В ящике 1 белый и 5 черных шаров. 7. В ящике только черные шары. Все эти гипотезы до испытания равновероятны. Вероятность появления двух белых шаров по этим гипотезам: __ 6 J5 _ J30 3 2 6 pi - ~6 ' 5 - 30 " Р* ~ 6 * 5 - 30 ; _5 4,__20 ^2_ I___2_ р* - 6 ' 5 = 30 ' р5 = 6 ' 5 ~~ 30 ' j4 3 12 1 О ^з= е ' 5" = 30 ' -*" = в • s />7 = 0. Тогда искомая вероятность _6_ _____________30____________________6________ Q- - _30 20_ 12^ б_ J2_ ~ 30 + 20 + 12 + 6 + 2 -~ 30 + 30 + 30 + 30 + 30 + ° + ° = JQ= 0,0857. Пример 3. Условия те же, что и в примере 2, но белый шар, вынутый первым, был^положен в ящик обратно. *"" Решение. Гипотезы о количестве белых и черных шаров до испытания те же, но вероятности события по этим гипотезам иные, так как изменились условия испытания: _1 Ё _ - __ - -__!L pi ~ 6 ' 6 = 36 ' -7-== 6 ' 6 - 36 ' _1 5. _ 2Ё. _2.Е _! Р* = "б ' б" - "36 ; рь = Т' б ^ 36 ; _А 1_1Ё _!!__L ^ - 6 ' 6 ~~ 36 ' Р& ~ 6 ' 6 - 36 ' Рт = 0-Отсюда _______9_______ 9 ^-^ 36 4- 25 + 16 +9 + 4+1 = 9i ~ °'°989- "^Изменились условия испытания, изменилась и вероятность гипотезы после 'испытания. Это еще раз подтверждает, что суждение о вероятности события по результатам испытания справедливо только для условий данной обстановки. 93 § 23. ТЕОРЕМА БУДУЩИХ СОБЫТИЙ Произведя испытание, мы по его результату можем, пользуясь теоремой гипотез, определить вероятности всех сделанных нами гипотез и принять соответствующее решение. Так, при стрельбе мы определяем вероятности нахождения цели на различных участках района возможных положений цели (РВПЦ), чтобы выбрать установку прицела для очередной команды. Продолжая испытания в тех же условиях, мы, естественно, задаемся вопросом, что же мы можем получить в дальнейшем, т. е. возникает вопрос о вероятности так называемого будущего события - события, ожидаемого после испытания, давшего определенный результат. При стрельбе, например, может возникнуть вопрос о вероятности получения недолета или перелета при следующем очередном выстреле. На такой вопрос отвечает теорема будущих событий. Для вывода общей формулы теоремы будущих событий воспользуемся тем же частным примером, что и при доказательстве теоремы гипотез. Имеются 3 группы совершенно одинаковых ящиков: в первой группе 3 ящика, во второй - 2 и в третьей - 4. В каждом ящике первой группы по 2 белых и 4 черных шара, второй группы - по 4 белых и 3 черных шара и третьей группы-по 3 белых и 5 черных шаров. Шары различаются только цветом. Из случайно взятого ящика был вынут вслепую один шар, и он оказался белым. Какова вероятность, что в следующий раз из того же ящика будет вынут черный шар, если белый шар был возвращен в этот же ящик? Обращаем особое внимание на постановку вопроса - очередной шар вынимается из того же ящика, из которого перед этим был вынут белый шар, ибо только при такой постановке вопроса мы имеем право использовать результат предшествовавшего испытания для определения вероятности результата последующего (будущего). К какой группе принадлежит этот ящик, мы не знаем, так как мы его не вскрывали и состав шаров в нем не известен. Если бы это был ящик первой группы, то вероятность появления из него черного шара "--*. п - 336 - 14 Vl~~ 1224 ~~ 51 ' 94 Отсюда вероятность появления черного шара из данного ящика, как ящика первой группы, т. е. вероятность совпадения принадлежности данного ящика к ящикам первой группы с появлением черного шара из такого ящика, как вероятность сложного события л " - 14- 4 V-Vft -ЗГ'б- Вероятность появления черного шара из данного ящика, как ящика второй группы, л _ 384 3__ 16 з^ Ч.Ч' ?з - 1224 " 7 ~~ 51 ' 7 ' л - 504 А - И 5 Уз"?з -1224 ' 8 ~~ 51 ' 8 * Нам безразлично, к какой группе ящиков относится взятый нами ящик. Поэтому вероятность появления черного шара независимо от принадлежности данного ящика к той или иной группе ящиков, т. е. вероятность нашего будущего события, по деореме сложения /7, = Q1?1 + Qrf- + Qrfi--3T*4+-sr-7 + 21 5__4925__0f. , ~*~ЗТ 8"~ 8568-~и"0/0' Для проверки наших расчетов найдем вероятность появления белого шара после испытания, вероятность вторичного появления белого шара из того же ящика: П - -. ! Д. i-l 1 J. -?! 1 - 3643 - О 49^ /Уб ~~ 51 ' 6 + 51 ' 7 "*" 51 ' 8 "" 8568 ~~ и>^°- Сложив вероятности ;обоих будущих событий, получим: 4925 3643 _ 8568 1 8568 + 8568 ~ 8568 ' что и должно быть, так как появления после испытания белого и черного шаров - события противоположные. Таким образом, вероятность появления черного шара после того, как уже появился белый шар, равна сумме парных произведений из вероятностей гипотез после испытания на вероятности появления черного шара по всем гипотезам. 95 Распространяя этот вывод на любое будущее событие при любом числе гипотез, можем дать следующую формулировку теоремы будущих событий. Вероятность будущего события после испытания, давшего определенный результат, равна сумме парных произведений из вероятностей гипотез после испытания на вероятности интересующего нас будущего события, взятых для всех гипотез. Или в общем виде: Я= Q-fr -f Q2<72 + ... + Q,ft + ... + Qs4s = 2 QM. Эту же формулу можно дать и в развернутом виде, исходя из общей формулы теоремы гипотез: Qi= р<"< Ptfi + PzPt + --- + PlPi + ..- + PsPs ' Тогда вероятность будущего события _ Ptftfi + Рургдг + ... + Pipiqi + ... + Pspsqs PiPi + PzPz + .-. + P^i + .-.+PsPs Как мы видим, теорема будущих событий непосредственно вытекает из теоремы гипотез, является логическим ее продолжением. Вместе с тем между этими двумя теоремами имеется принципиальная разница. Теорема гипотез дает ряд вероятностей - распределение вероятностей; теорема гипотез помогает нам принять наиболее целесообразное решение в условиях данной обстановки. Теорема будущих событий дает вполне определенную вероятность - вероятность будущего события; теорема будущих событий отвечает на вопрос, что можно ожидать от решения, принятого по теореме гипотез. ^ Вернемся к нашему примеру и посмотрим, как меняется вероятность ожидаемого события в зависимости от результата испытания. ^ До испытания вероятность появления черного шара независимо от того, из ящика какой группы он может быть вынут, равна р _ 1800 _^5 "059гг. И* ~~ 3024 ~~ 42 и'°У° ' после испытания вероятность появления черного шара стала равной Яч " 0,575. Как мы видим, выход при испытании белого шара уменьшил вероятность появления черного шара, Логически так и должно быть. Очевидно, после получения при первом выстреле недолета вероятность получения перелета при втором выстреле на .той же установке прицела должна быть меньше. 96 В то же время вероятность появления белого шара, которая до испытания была равна А. _ ^?1-11*0405 6 ~~ 3024 ~~ 42 и"чио> после испытания стала равной Пб ~ 0,425. Вероятность ожидаемого события после испытания увеличивается для события, аналогичного тому, которое произошло при этом испытании. Поэтому каждое новое испытание будет давать новое численное значение вероятности будущего события. ' " аЦ Пример 1. Имеется 2 "закрытых ящика с шарами, различающимися только цветом: в первом ящике - 2 белых и 3 черных шара и во втором ящике - 4 белых и 2 черных шара. Из первого ящика во второй вслепую был переложен один шар, после чего из второго ящика был вынут один шар, который оказался черным. Какова вероятность того, что после этого будет вынут из второго ящ жа белый шар, если вынутый перед этим черный шар был положен в ящик обратно? Решение. В этом примере будущим событием является появление белого шара из второго ящика после того, как из этого ящика был вынут черный шар. Перед появлением черного шара из второго ящика один шар, неизвестного нам цвета, был переложен из первого ящика во второй. О том, какой шар был переложен из первого ящика во второй, можно сделать две гипотезы: 1. Бьи переложен белый шар; вероятность такого предположения, т. е. вероятность первой гипотезы до испытания, _*-§• 2. Был переложен чёрный шар; вероятность такого предположения, т. е. вероятность второй гипотезы до испытания, *-!• Если из первого ящика во второй был переложен белый шар, то во втором ящике будет 5 белых и 2 черных шара, и вероятность появления из второго ящика черного шара в этом случае, т. е. вероятность события по первой гипотезе, 2 Pl= 7 ' а вероятность появления из этого ящика белого шара, т. е. вероятность будущего события, 5 ft = Т • Если из первого яшика во второй был переложен черный шар, то во втором ящике будет 4 белых и 3 черных ш.чра, и тогда вероятность появления черного шара из второго ящика, т. е. вероятность события по второй гипотезе, _J3 Pz == у ' .а вероятность появления белого шара 4 *2 = Т. 7 - Зак. 991 97 Испытание произведено - появился черный шар. Тогда вероятмость. первой гипотезы после испытания по теореме гипотез 2_ 2^ О - 5 ' 7 А Vl- 2 _ 2 3 ? 5 ' 7 + * ' 7 13 5 7 а вероятность второй гипотезы после испытания -L 1 О - 5 ' ? 9 V2 = _ _ I __ 5 ' 7 + 5 ' 7 13 Отсюда вероятность будущего события, т. е. вероятность появления белого шара из второго ящика после того, как из этого ящика был вынут черный шар, и независимо от того, какой шар до этого был переложен, по общей формуле теоремы будущих событий 459 лб = Qili + Qz t> Н ЕС _ S о ь К И 1- -> Ч ^ 0 " и С и - " " № гипотез Содержание гипотез ш SSS О ._ О) "5м (- S V О 3 о piPi 0 я я SSe SSS о ? 0 s i-!nj§ §^§s >з 5 СРЮО s 1 Из 1-го ящика во 2-й был переложен белый шар 2 ~5~ 2 7 4 "35" 4 13 5 7 20 91 2 Из 1-го ящика во 2-й был переложен черный шар 3 3 7 9 9 4 36 5 35 13 7 91 Сумма . . . 5 13 13 13 56 91 5 35 56 8 91 ~ 13 98 Пример 2. При тех же условиях, что и в предыдущем примере, определим вероятность появления черного шара, "ели вынутый до этого черный шар не был возвращен в свой ящик. Решение. № гипотез Содержание гипотез PI Pi Pi Pi Qi 9i Qi m 1 Был переложен белый шар . . 2 2 4 4 1 . 4 5 7 35 13 6 78 2 Был переложен черный шар . . 3 Т 3 7 9 Ж 9 13 2 6 18 78 " Сумма . . . 5 5 13 35 ГЭ Тз~ 22 78 п - 22 = u 4 ~~ 78 39 ' Пример З. Цель находится в пределах одного из восьми данных участков РВПЦ. Вероятности нахождения цели на участках РВПЦ указаны на рис. 23. На прицеле 80, соответствующем границе между участками Г т Д, были получены 1 недолет и 1 перелет. Какова вероятность того, что при последующих трех выстрелах на том же прицеле будет получено 2 недолета и 1 перелет, если вероятности получения недолета и перелета при 1 выстреле на прицеле 80 при условии нахождения цели на указанных участках РВПЦ таковы, как это приведено на рис. 23. Решение. № 1 гипотез] Содержание гипотез Pi Р^РЧ) РЛ <>" 04(3р^) л:0, и ошибки отрицательные, если приближенное значение измеряемой величины меньше ее истинного значения, т. е. если xi < *0. Например, если истинное значение измеряемого расстояния равно 3000 м, а отдельные результаты измерения х5 = 3100 м и л;, -2850 м, то ошибки этих результатов: А3 - 3100-3000=+100 м (ошибка положительная) и А7 = 2850-3000=-150 м (ошибка отрицательная). Величина и знак ошибки - основные ее характеристики. Неизбежность ошибок при измерениях обусловливается тем, что любое измерение, несмотря на всю его тщательность, точность применяемых приборов и учет влияния различных факторов, всегда производится при наличии бесконечно большого числа источников ошибок. Назовем некоторые из этих источников. Несовершенство конструкции измерительных приборов - неточность шкал (цена их делений), эксцентриситеты лимбов, мертвые хода, неустойчивость треног и т. д. Несовершенство наших органов чувств, например, зрения при снятии отсчетов со шкал, совмещении указателей с делениями на шкалах, совмещении перекрестий с точками наведения, горизонтировании при помощи уровня и т. д., слуха при звуковых засечках и пр. Метеорологические условия - облачность, ветер, температура воздуха, конвекционные токи и т. д. Каждый источник ошибок дает при измерении свою так называемую элементарную ошибку. Сумма же всех таких 1 Здесь речь идет о точности отдельного результата, а не о точности способа измерения. 105 элементарных ошибок и даст в конечном счете ошибку данного результата измерения. Существуют особые группы источников ошибок, дающих при измерении элементарные ошибки, постоянные по величине и по знаку. Очевидно, что и суммарная ошибка этой группы источников ошибок будет также постоянна по величине и по знаку. Несложными приемами можно определить заранее величину и знак такой постоянной, или, как ее иначе называют, систематической ошибки. Зная величину и знак систематической ошибки, можно ее учесть и исключить из данного результата измерения, введя соответствующую поправку. Пример 1. При проверке гири весом в 1 кг оказалось, что ее действительный вес равен 992 г. Чтобы устранить найденную ошибку, необходимо при пользовании этой гирей на к шдый килограмм прибавлять по X г. Пример 2. При проверке 20-метровой мерной ленты оказалось, что истинная ее длина равна 20,1 м. Тогда систематическая ошибка этой ленты, распределяясь на всю ее длину, будет равна 20~20>1 "-0,005 или -0,5%. При пользовании этой лентой поправку следует брать в большую сторону на 0,5% от полученного результата измерения. Пример 3. В результате проверки стереотрубы был составлен график ее постоянных ошибок в зависимости от величины отсчета (ряс. 24). Пользуясь этим графиком, мы можем исключить ошибку данной стереотрубы + 0-03 + 0-02 -0-01 О -0-01 -0-02 -о-оз О 5-00 10-00 15-00 20-00 25-00 30-00 35-00 40-00 45-00 50-00 55--QO 50-00 Рис. 24 из полученного отсчета. Так, если отсчет оказался равным 25-09, то,| учитывая по графику поправку - 0-02, следует принять отсчет 25-09-0-02=25-07; получив отсчет 54-87, исправляем его на + 0-01: 54-87+0-01=54-88 и т. д. Систематическая ошибка может получиться и вследствие различных округлений и допусков при вычислениях, связанных с измерениями. Пример 4. Углу в 0-01 соответствует дуга, равная 1/955 дальности. При переводе линейных величин в деления угломера для облегчения расчетов 1/955 округляется до 1/100Э и тем самым допускается постоянная ошибка в большую сторону примерно на 5% вычисленного угла. 106 В приведенных примерах даны типичные случаи происхождения и учета систематических ошибок. Таких источников, дающих постоянные по величине и знаку элементарные ошибки, сравнительно немного. Подавляющее большинство источников ошибок дает в условиях данного измерения непостоянные по величине и по знаку элементарные ошибки, которые имеют случайный характер. Случайный характер таких элементарных ошибок, естественно, определяет и случайный характер ошибок отдельных результатов измерения, как ошибок суммарных. Вполне понятно, что комбинация (совокупность) случайных элементарных ошибок даст случайную суммарную ошибку, которая и будет ошибкой нашего измерения. Повторив измерение, мы получим другую комбинацию случайных элементарных ошибок и другую суммарную ошибку. Случайными называются такие ошибки, которые, являясь результатом взаимодействия очень большого числа источников ошибок, при каждом новом измерении получают новые, случайные значения. Величину и знак случайной ошибки заранее определить нельзя, а поэтому и нельзя заблаговременно исключить ее из данного результата измерения, введя соответствующую поправку. К случайным относятся ошибки, возникающие при измерениях дальностей различными способами, углов различными приборами, барометрического давления, температур, весов и пр. К случайным ошибкам относятся также такие величины случайного характера, как отклонения, неточности, отступления. Так, если истинная дальность Д=5200 м, а при измерении получилась дальность Д- = 5 050 м, то говорят, что имеется отклонение, равное Д.-Д-= 5 050-5 200 =--=;--150 м. Если снаряд должен иметь длину /0=1010 мм, а в действительности его длина /- = 1012 мм, то говорят, что отступление или неточность в размерах равна /! -/0 = 1 012 -1010 = + 2 мм. Из определения случайной ошибки видно, что ее можно рассматривать как случайный результат некоторого явления. Это означает, что к случайным ошибкам можно применить все те выводы, которые были сделаны в разделе "Основы теории вероятностей", и, в первую очередь, вывод о закономерностях конечных случайных результатов явлений. Раздел теории вероятностей, изучающий случайные ошибки и закономерности, которым следуют эти ошибки, называется meovueu случайных ошибок или просто теорией ошибок. 107 Теория ошибок устанавливает закономерности, которым следуют случайные ошибки, и, исходя из этих закономерностей,, вырабатывает правила, при систематическом применении которых можно получать наилучшие результаты измерений. Ошибки, которые характеризуются только величиной и знаками, называются линейными или не зависящими от направления, в отличие от ошибок, которые характеризуются не только величиной и знаками, но и направлением (ошибки на плоскости и в пространстве). § 26. ЗАКОНЫ СЛУЧАЙНЫХ ОШИБОК Условия возникновения случайной ошибки не позволяют определить заранее ее величину и знак, а отсюда и исправить полученный результат измерения. Но это отнюдь не означает,, что случайные ошибки вообще не подлежат учету. Наоборот, учет этих ошибок необходим, иначе невозможно использовать, результаты измерений. Надо лишь установить, в чем заключается и к чему сводится этот учет. Представим, что требуется открыть огонь по цели, расположенной в непосредственной близости от своих передовых частей. Измерили дальность до этой цели. Так как ошибка при этом неизбежна и неустранима, то, открыв огонь на прицеле, соответствующем измеренной дальности, мы можем поразить свои войска. Но если нам будет известна величина той предельной случайной ошибки, которая практически допустима при данном способе измерения дальности, то, увеличив прицел на эту величину, мы гарантируем безопасность своих войск. Другой пример. Цель не наблюдается. Пристрелка невозможна. Координаты цели сняты с аэрофотоснимка. Произведя необходимые измерения и расчеты, определили установки для открытия огня. Неизбежность и неустранимость ошибок заставляют нас вести огонь по цели на нескольких установках - огонь по площади. Возникает вопрос о размерах этой площади. Обстреливать площадь соответственно предельным ошибкам невыгодно - слишком велик расход снарядов, слишком много времени потребуется на выполнение огневой задачи. Следовательно, необходимо ограничиться обстрелом только тех участков района возможных положений цели (РВПЦ), где вероятности нахождения цели значительны, а для этого мы должны знать вероятности получения различных по величине и знаку ошибок при определении установок для открытия огня. Приведенные примеры показывают, что учет случайных ошибок не только возможен, но и необходим, ибо без него невозможно правильно решать важнейшие практические задачи. Для этого учета необходимо знать, какая при данном способе измерения существует зависимость между величиной и знаком 108 •случайной ошибки и вероятностью ее получения. Эта зависимость выражается соответствующими законами случайных ошибок. Зависимость между абсолютной величиной и знаком случайной ошибки и вероятностью ее получения называется законом случайных ошибок. Законов случайных ошибок много. Каждый из них выражает определенную закономерность случайных ошибок, вытекающую из условий возникновения этих ошибок. Например, закон равной вероятности выражает закономерность случайных ошибок, возникающих при округлениях при снятии отсчетов со шкал приборов. Закон арксинуса выражает закономерность случайных ошибок, возникающих вследствие эксцентриситетов углоизмерительных приборов, и т. д. Закономерности случайных ошибок можно найти двояко: 1. Опытным путем. Для этого производится большое число измерений величины, истинное значение которой заранее известно. Определяется для каждого отдельного результата его ошибка. После распределения полученных ошибок по их величинам и знакам устанавливается зависимость между пределами ошибок и частостями получения ошибок в этих пределах. И, наконец, исходя из закона больших чисел, принимаются эти частости равными соответствующим вероятностям. 2. Аналитическим путем - из анализа условий, в которых возникают случайные ошибки рассматриваемого закона. Установленные в результате таких исследований закономерности могут быть выражены аналитически и графически. Аналитически закон случайных ошибок в общем виде выражается равенством /? = /ЧД), где А - величина ошибки; р - вероятность ее получения; F (функция) - обозначение зависимости, связывающей Д с р, например р = у А2. Если вид функции /ЧД) известен, закон ошибок может быть выражен и графически. Закон ошибок выражается графически и тогда, когда он был выведен по результатам большого числа измерений1. В практике артиллерийских измерений в подавляющем большинстве случаев нам приходится иметь дело со следующими двумя законами случайных ошибок: законом Гаусса и законом равной вероятности. Из этих двух законов наибольший интерес представляет для нас закон Гаусса2. Достаточно сказать, что закону Гаусса 1 О графическом выражении закона ошибок подробно сказано в § 27. 2 Часто закон Гаусса называют нормальным законом случайных ошибок. 109 следуют рассеивание снарядов и ошибки таких измерений, как измерения дальностей глазомерным способом, по карте и дальномером, измерения азимутов, измерения температур,, весов и пр. § 27. ВЫВОД ЗАКОНА СЛУЧАЙНЫХ ОШИБОК ГАУССА Уже было указано, что к выводу закона случайных ошибок можно подойти двумя путями - опытным и аналитическим. Найдем основные положения закона случайных ошибок Гаусса сначала опытным путем, обработав результаты достаточно большого числа измерений, случайные ошибки которых следуют именно этому закону. Воспользуемся для этого таким примером. 170 одинаково обученных разведчиков при производстве одной и той же маршрутной глазомерной съемки промерили шагами расстояние между одними и теми же точками на местности и перевели результаты своих промеров в метры. Таким образом было получено 170 приближенных значений величины этого расстояния. Это же расстояние было промерено приборами с такой точностью, что по сравнению со способом промера шагами полученный результат без особых погрешностей может быть принят за истинное значение величины данного расстояния. Этот результат оказался равным 3000 м. Пользуясь этим точным результатом, определим ошибки отдельных результатов промера шагами и сведем все наши расчеты в следующую таблицу (табл. 4). Таблица 4 "• xi 4i / xi Ч i *l 4, / *i *i / xt 4i 1 2883 -117 12 3021 +21 23 3001 + 1 34 2942 -58 45 3047 +47 2 2904 -96 13 2955 -45 24 2982 -18 35 3025 +25 46 2974 -26 3 3119 + 119 14 3093 +93 25 2915 -85 36 2996 -4 47 2931 -69 4 2859 -141 15 3188 + 188 26 3002 +2 37 2884 -116 48 2878 -122 5 ЗОЮ + 10 16 3041 +41 27 3140 + 140 38 28*4 -186 49 3099 +99 6 3062 +62 17 2991 -9 28 3014 + 14 39 3030 +30 50 3147 + 147 7 3135 + 135 18 2Q68 --32 29 2960 -40 40 2982 -18 51 2989 -11 8 2986 -14 19 3065 +65 .30 3051 + 51 41 2947 -53 52 2923 -77 9 3078 +78 20 2998 _ 2 31 3236 +236 42 2930 -70 53 3053 +53 10 3107 + 107 21 2944 -56 32 3124 + 124 43 3022 +22 54 3083 +83 i 11 2999 -1 22 21 2925 -75 33 2964 -36 44 3159 + 159 55 2994 -6 110 i •*/ Ч i *i 4. 1 *i Н I •*/ Д/ i Ч А. 56 2902 I -98 79 2990 -10 102 3044 +44 125 2921 -79 148 2980 -20 57 3034 +34 80 3019 + 19 103 2873 -127 126 3118 + 118 149 3057 +57 58 2940 -60 81 3005 +5 104 2832 -168 127 2996 -4 150 3137 + 137 59 2889 -111 82 2900 -100 105 2977 -23 128 2971 -29 151 3030 +30 60 3054 +54 83 3032 ,+32 106 3095 +95 129 3064 +64 152 2993 "-"--.Т 61 3128 + 128 84 3121 + 121 107 2967 _ gj 130 2954 -46 153 3126 + 126 62 2981 -19 85 2959 -41 108 3109 + 109 131 3015 + 15 154 3039 +39 63 2937 -63 86 3130 + 130 109 3196 + 196 132 2941 -59 155 3018 + 18 64 2851 -149 87 3059 +59 ПО 3033 +33 133 2919 -81 156 2965 ^^ - - ои 65 3045 +45 88 2896 -104 111 2979 _ 2 134 2807 - 193 157 2903 -97 66 3095 +95 89 2776 -224 112 2844 -156 135 3004 +4 158 3072 +72 67 3025 +25 90 2951 _ 4( ИЗ 3007 +7 136 3085 +85 159 2908 -92 68 3164 + 164 91 3115 + 115 114 3021 +21 137 3178 + 178 160 3067 +67 69 2984 -16 92 3150 + 150 115 2755 -245 138 3103 + 103 161 2948 -52 70 2880 -120 93 2929 _ у 116 2976 -24 139 2910 -90 162 2869 -131 71 3017 + 17 94 2999 - 117 3133 + 133 140 2962 -38 163 2920 -80 72 2909 -91 95 3028 +28 118 3016 + 16 141 3003 +3 164 3042 +42 73 2952 -48 96 3076 +76 119 2898 -102 142 3049 +49 165 3012 + 12 74 3037 +37 97 2969 -31 120 2927 _ 7? 143 2987 -13 166 3088 +88 75 3050 +50 98 3055 +55 121 3067 +67 144 2936 -64 167 2871 -129 76 3001 + 1 99 2913 -87 122 3144 + 144 145 3060 + 60 168 3045 +45 77 2934 -66 100 2866 -134 123 3074 +74 146 3036 +36 169 2762 -238 78 2947 -53 101 ЗОН + 11 124 2939 -61 147 3089 +89 170 2862 -138 Чтобы установить зависимость между величиной и знаком случайной ошибки и частостью ее получения, разобьем ошибки ряда измерений на группы через каждые 50 м по их величине и знаку. Так, в 1-ю группу сведем все отрицательные ошибки величиной от 201 м до 250 м, во 2-ю группу - отрицательные ошибки величиной от 151 м до 200 м и т. д. Определим количество ошибок в каждой такой группе и найдем соответствующие частости их получения (табл. 5). 111 ' Таблица 5 Группы 1-я 2-я 3-я 4-я 5-я 6-я 7-я 8-я 9-я 10-я Величина ошибок от . . .до -250 -201 -200 -151 -150 -101 -100 -51 -50 0 0 +50 +51 + 100 + 101 + 150 +151 +200 +201 +250 Количество ошибок 3 4 14 29 34 38 24 18 5 1 Частость получения ошибок в % 1,8 2,3 8,2 17,1 20,0 22,4 14,1 10,6 2,9 0,6 По данным этой таблицы видно, как часто были получены ^случайные ошибки в определенных по величине и знаку пределах. Следует при этом отметить, что при разбивке ошибок на группы именно через 50 м мы исходим только из соображений удобства такой разбивки - предельная по величине ошибка равна около 250 м, а 250 без остатка делится на 5. Для большей наглядности представим зависимости, дачные в табл. 5, в виде графика. Для этого по оси ОХ в обе стороны от точки О отложим пределы ошибок через 50 м в условном масштабе, а по оси О Y - в другом условном масштабе частости получения ошибок в этих пределах (рис. 25). 8,2 IV 20,0122,41 Щ 10,6 •*~Х -230 -200 -150 -100 -50 0 +50 +700 +150+200 +250 Рис. 25 На этом графике площадь каждого прямоугольника в отдельности выражает частость получения случайной ошибки в определенных по величине и знаку пределах, а площадь всего графика - сумму частостей получения всех случайных ошибок. 112 Прежде чем перейти к общим выводам, воспользуемся опытными данными еще одного ряда многократных измерений - 580 результатами измерения одной и той же дальности дальномером (табл. 6) и построим для этого ряда график частостей (рис. 26). Таблица 6 Ошибки отрица- Ошибки поло- Пределы ошибок в % тельные жительные дальности коли- частости коли- частости чество В °/0 чество В °/о От 0 до ± 0,25 76 13,10 78 13,45 " ±0,25 до -гО,50 70 12,07 66 11,38 , ±0,50 " -0,75 54 9,31 52 8,97 - ±0,75 IE: 1,00 40 6,89 38 6,55 " ±1,00 ±1,25 21 3,62 23 3,96 . ±1,25 ±1,50 19 - 3,28 18 3,11 , ±1,50 rtl,75 6 1,04 6 1,04 - ±1,75 ±2,00 4 0,69 5 0,86 " ±2,00 +2,25 1 0,17 1 0,17 . ±2,25 ±2,50 1 0,17 1 0,17 Всего . . . 292 50,34 288 49,66 Г -X - 2,50 \-2,00 ;-7,50 ;-1,00 ;-0,501 О ?0,50<+1,00 *1,50 "2.00 j"2,50 -2,25 -J,75 -1,25 -0,75 -0,25*0,25 *0,75 425 +7,75+2,25 Рис. 26 Мы построили два графика по результатам большого и вместе с тем различного числа измерений, произведенных разными способами. Нетрудно заметить, сравнив эти графики, что они очень схожи по своему виду. Это позволяет сделать вывод, что зависимость между величиной и знаком ошибки, с одной 8 - Зак. 991 113 стороны, и частостью получения ошибки, с другой стороны, во всех тех случаях, когда случайные ошибки измерений следуют закону Гаусса, устанавливается по одному и тому же .общему правилу: 1. Чем больше ошибка, тем меньше частость ее получения- высоты прямоугольников обоих графиков убывают по мере увеличения величины ошибки. , 2. Частости ошибок отрицательных и частости ошибок положительных, заключенных в равных по величине пределах, примерно равны между собой-прямоугольники, равноудаленные от оси ОУ, имеют примерно одни и те же высоты, т. е. прямоугольники относительно оси ОY располагаются по высоте примерно симметрично. Сравнив второй график с первым, замечаем, что при большем числе измерений график получился более симметричным. Исходя из этого, мы можем допустить, что график, построенный по результатам очень (бесконечно) большого числа измерений, должен быть совершенно симметричным, т. е. частости равных п" абсолютной величине и разных по знаку ошибок должны быть равны между собой (рис. 27). У В Г .* "с I*. *-! "53 d 7* ^ *-• ./. 7* $' ь_ tf ъ -5 Мий И? С i "Я Г р* -^ГШ 1 lrh^w,+. А е f 0 о Ь С Рис. 27 3. Для каждого способа измерения существует свой предел ошибок - оба графика не имеют разрывов, и прямоугольники, соответствующие частостям предельных по величине ошибок, стремятся слиться с осью ОХ (особенно это заметно на втором графике). Эти три положения и определяют закон случайных, ошибок Гаусса, выведенный на основании обработки ^эпытных данных. Использовав закон больших чисел, мы можем сделанные нами выводы применить к зависимости между величиной и знаком ошибки и вероятностью ее получения, т. е. полагать, что: - с увеличением ошибки вероятность ее уменьшается, чем меньше ошибка, тем больше ее вероятность; 114 - равные по абсолютной величине, но разные по знаку ошибки равновероятны - вероятность получения ошибки положительной равна вероятности получения ошибки отрицательной, равной первой по абсолютной величине; - для каждого способа измерения существует свой предел ошибок; ошибки, превышающие по своей величине этот предел, имеют настолько малую вероятность получения, что практически эту вероятность принимают весьма близкой к нулю и такими ошибками пренебрегают. Короче эти три положения можно сформулировать так: ошибки распределяются неравномерно, симметрично и небеспредельно. Это и есть выражение закона Га)сса в общем виде. Если соединить середины верхних оснований прямоугольников общей кривой (см. рис. 27), то эта кривая, носящая название палатки Эйлера, будет графически выражать те же три основных положения закона Гаусса. Вероятность получения ошибки в заданных пределах выражается отношением площади, ограниченной частью кривой, заключенной между соответствующими ординатами, к площади, ограниченной всей кривой. М Так, вероятность получения положительной ошибки в пределах от а до b (см. рис. 27) выражается отношением площади abed к площади ABC; вероятность получения отрицательной ошибки в пределах от /до е - отношением площади efkl к площади ABC и т. д. * Обозначив площади, соответствующие пределам ошибок, через s-, 52, s3,..., ss и сложив эти площади, получим: 5- + s- + s3 -f ... + s* -- S, где S-площадь, ограниченная всей кривой. Разделим левую и правую части этого равенства на S, и тогда s\ _]_ S2 t SS i I Ss __ J~_ __ 1 s~~t~"5~i~~5r~t~---~t~T~: s - K Это значит, что сумма вероятностей всех возможных в условиях данного ряда измерений случайных ошибок равна единице, что и должно быть согласно следствию теоремы сложения вероятностей. Так как площадь, ограниченная всей кривой, выражает сумму вероятностей, равную единице, то можно принять эту площадь также равной единице. Тогда элементарные площадки будут численно равны вероятностям, которые они выражают. Из выражения вероятности получения ошибки площадью, •граниченной ординатами, соответствующими заданным преде- "* 115 дам, следует, что вероятность получения определенной по величине и знаку ошибки равна нулю, так как в этом случае ординаты, ограничивающие площадь, сольются и такая вероятность будет выражена одной ординатой-линией. Поэтому можно говорить о вероятности получения ошибки только в некоторых пределах, как бы эти пределы ни были малы, например, о вероятности получения ошибки в пределах от 4,99999 и до 5,00001 л" и т. п. Y j и /•%\ к I, I I, I 1.1 I, • ••1-/Ц-*- -"1-;И- "Н-гК -Н-з*"- Рис. 28 Кривая закона Гаусса очень наглядно подтверждает все уже известные нам основные положения этого закона. Положим, что разности пределов ошибок, вероятности получения которых выражены площадями s-, s2, s3 и s4, равны между собой (рис. 28): / _/ _/ _/ _/ *1 - *2--*8--*Ч--*•• Тогда: - чем меньше ошибка, тем больше вероятность ее получения: s- > s, и s2 > s3; - ошибки положительные и ошибки отрицательные, заключенные в одинаковых по абсолютной величине пределах, равновероятны: 52 "~~i 54', - вероятность получения ошибки, превышающей по своей величине некоторый предел (- ОА или + ОС), равна нулю, так как кривая ЛВС на некотором удалении от оси OF -в точках А и С - сливается с осью ОХ. Для различных способов (рядов) измерения кривые закона Гаусса будут также различны. Но так как установленная в общем виде зависимость между пределами ошибок и вероятностями их получения в этих пределах выражается одними и теми же положениями, то и кривые всегда сохраняют свой характер. Для того чтобы иметь возможность сравнивать вероятности получения ошибок в заданных пределах для различных рядов измерений, необходимо строить соответствующие этим рядам кривые так, чтобы площади, ограниченные каждой из этих кривых, были равновелики. Это требование, естественно, вытекает из того, что такие площади во всех случаях принимаются равными единице. Для соблюдения этого требования кривые должны быть построены в одном и том же масштабе по оси ОХ, а по оси OF в масштабе, измененном во столько раз, во сколько раз основание одной кривой больше (меньше) основания другой, т. е. необходимо соблюсти примерно тот принцип построения, который ранее был применен при построении графиков вероятностей комбинаций. *-х Рис. 29 На рис. 29 показаны кривые закона Гаусса для двух различных способов (рядов) измерения. Этот рисунок позволяет нам сделать следующие заключения: 1. Каждая из этих кривых полностью подтверждает положения закона Гаусса. 2. Вероятности получения ошибки в определенных по величине и знаку пределах, например от а до Ь, для каждого способа измерения свои, так как площади abed ф abef. 3. Способ измерения, закон ошибок которого выражен кривой А1В^С1, более точен, чем способ, закон ошибок которого выражен кривой ABC, так как первому способу свойственны меньшие предельные ошибки, чем второму: ОА1 < О А и ОС- < ОС. 4. По условиям построения обеих кривых ограниченные ими площади равновелики. Отсюда чем меньше основание кривой (чем меньше ошибки), тем больше ее наивысшая ордината, т. е. тем точнее способ измерения. Следовательно, 117 по наивысшей ординате данного закона Гаусса можно судить о точности способа измерений, сравнивать ее с точностью другого способа, если, конечно, при построениях выдержаны масштабы. Очень наглядное представление о законе случайных ошибок Гаусса дает так называемый прибор Гальтона (рис. 30). В воронку А бросают большое количество дробинок (шариков). Эти дробинки, падая по наклонной плоскости дна ящика Б, встречают на своем пути ряд тонких стержней (булавок или иголок, вбитых в дно ящика). Ударясь об эти стержни, играющие в приборе роль источников ошибок (отклонений), дробинки, меняя при каждом таком ударе направление своего движения, попадают в различные ячейки В. Так как удары дробинок о стержни и связанные с этими ударами изменения движения каждой дробинки носят, несомненно, случайный характер, то в результате получается распределение дробинок по ячейкам, весьма схожее с распределением случайных ошибок при измерениях в том случае, если эти ошибки следуют закону Гаусса. На рис. 30 показано такое распределение пунктирной кривой. Мы вывели основные положения закона случайных ошибок Гаусса путем обработки и анализа опытных данных. К тем же выводам мы придем, проанализировав условия возникновения случайных ошибок этого закона. Допустим, что в условиях данного ряда измерений имеется восемь источников ошибок. Каждый из этих источников при каждом отдельном измерении дает элементарные ошибки: aj = + - или "2 = - 1, т. е. элементарные ошибки, равные по абсолютной величине и отличающиеся только знаками. Допустим также, что вероятности получения положительной и отрицательной ошибок равны между собой: Ръ=Ръ = Т- Здесь было допущено две условности: взято небольшое число источников бшибок и сделано предположение, что все эти источники дают одну и ту же по абсолютной величине элементарную ошибку. Поэтому величина элементарной ошибки ш-нтгнгц Рис. 30 118 умышленно не выражена в принятых единицах измерения. Далее будет видно, что эти условности не отразились на правильности выводов. Любой из восьми источников ошибок при каждом отдельном измерении может дать как положительную ошибку, так и ошибку отрицательную. В результате совместного действия всех восьми источников ошибок может быть получена одна из следующих суммарных ошибок: А! -=+8; А2=г+6; АЗ ==+4; Д4-=+2; A5 = 0; А6-=-2; А7 = -4; А8 = -6; Д9 = -8; Суммарная ошибка A±=:+8 будет получена, если все восемь источников ошибок дадут только положительные элементарные ошибки: Д. = +1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = +8. Суммарная ошибка Д2 -+6 будет получена в том случае, когда семь источников ошибок дадут положительные элементарные ошибки и один источник - отрицательную: д, = + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1_1 = +6. Суммарная ошибка А3 = +4 будет получена, если шесть источников ошибок дадут положительные, а два источника ошибок-отрицательные элементарные ошибки: А3-= + 1 + 1 + 1 + i + 1 + i - 1 - 1 = +4 и т. д. Так как элементарные ошибки всех наших источников ошибок отличаются только знаками, то и любую из перечисленных выше суммарных ошибок .можно рассматривать как комбинацию из двух противоположных по знаку элементарных ошибок при восьмикратном повторении действия одного и того же источника ошибок. Отсюда при определении вероятностей получения этих -суммарных ошибок можно воспользоваться формулой вероятности получения комбинации из двух противоположных событий при восьмикратном повторении испытания при условии, что р = q = -у : л s\ " " 8! / 1 \т[ I \п 8! / 1 \8 LJ --- ,______ nttlfl" --- ______ ___ I I___I -- ---. I ___ 1 ~ ~~ mini Р Ч ~ mini { 2 ) \ 2 ) ~~ mini \ 2 ) ' где т - количество источников, давших положительные элементарные ошибки; п-количество источников, давших отрицательные элементарные ошибки. 119 Например, вероятность получения суммарной ошибки Д3 = -f 4 будет равна .-, 8! / 1 \8 28 п 1ПП, Рз-=-б!2г(т)=2ТбГ::0'1094' вероятность получения суммарной ошибки Де = -fl - 1 - 1-1-1 - 1) -2(+1 + 1 + Я 8! 3!5! 1 \ 8 56 А О 1 О О Т) ""256""0'2188 И Т' Д> Рассчитаем вероятности получения всех возможных в условиях нашего примера суммарных ошибок и сведем эти расчеты в таблицу (.табл. 7). Таблица 7 •>/ pi л. Pi ±i Pi -1-8 4-6 +4 0,0039 0,0312 0,1094 +2 0 _ 2 0,2188 0,2734 0,2188 -4 -6 -8 0,1094 0,0312 0,0039 Сложив эти вероятности, получим: 2л=1, 1 что свидетельствует, во-первых, о полном учете всех возможных по величине и знаку суммарных ошибок и, во-вторых, о правильности расчетов. Данные этой таблицы показывают, что: - с увеличением ошибки вероятность ее получения. уменьшается; - ошибки, равные по абсолютной величине и разные по знаку, равновероятны; - ошибки по своей величине не выходят за пределы _±8. А это значит, что мы пришли к тем же трем положениям закона случайных ошибок Гаусса, которые ранее установили опытным путем, - неравномерность, симметричность и небеспредельность. Более наглядно эти же д^ три положения выражает -в -6 -ь -г о +2 *и +6 +s график, построенный по дан- Рис. 31 ным табл. 7 (рис. 31). AKi . ~ 1 - 1 -• '"' ta - 1 г.. 120 В приведенном выводе положений закона случайных ошибок Гаусса было сделано два допущения: 1. Число источников ошибок ограничено (8). 2. Все источники ошибок дают одни и те же по абсолютной величине элементарные ошибки: аг = +1 и а2=-- 1. Выясним, не повлияют ли эти два допущения на правильность только что сделанных выводов. Для этого прежде всего установим зависимость между величиной и знаком ошибки и вероятностью ее получения в том случае, если число источников ошибок станет увеличиваться. Представим, что в условиях данного измерения действуют не восемь, а шестнадцать источников ошибок, причем каждый из них дает одинаковые по абсолютной величине элементарные ошибки: 04-=+1 и <х.2 =-1. Рассчитаем все возможные в данных условиях суммарные ошибки и вероятности их получения. Расчеты эти представим, в виде графика (рис. 32). 1 - - 1 - tl Ji - - - 1 -ь &t [д. -is -1Ь -12 -ю -8 • S •и -2 (. ) *2 +и 'б '8 *ш *!2 "14 *Гб k i со о о о <-\ -" 3 сэ е-> гэ оо 5 о ю ю "о о о Г--г-г~ <м о w-. <о <0 <0 о 05 "Ч) см to 10 >" t"- 0 о U с 0 •з э Г) to >0 <} f*. 05 CSJ fvo <0 -э (0 "3 сэ г-с^. с^ СЧ1 о <п W-. -0 сз о <*> 00 5 Сз ооо?.ь CSJ --" Q " § О* 0 "J 1 CD сэ 0 0 о о о о с D сэ 0 О о о о СЗ о w Рис. 32 Этот график еще полнее выражает положения закона' Гаусса. Так при восьми источниках ошибок вероятность получения предельной по величине ошибки (±8) нельзя еще считать пренебрежимо малой (0,0039), при шестнадцати же источниках вероятности получения ошибок ±16 (0,00002), +14 (0,00024) и даже ±12(0,00183) настолько малы, что такими ошибками; можно уже пренебречь. Несомненно, что при дальнейшем увеличении числа источников ошибок выведенные нами положения закона Гаусса будут только подтверждаться, и в построении графиков для большего числа источников ошибок нет надобности. Сравнивая графики рис. 31 и 32, построенные в одних и. тех же масштабах, "мы можем заметить, что с увеличением числа источников ошибок "ступенчатость" графика начинает 121 сглаживаться. Очевидно, что эта "ступенчатость" будет тем меньше, чем больше источников ошибок, и при бесконечно большом числе источников ошибок эта "ступенчатость" должна исчезнуть - верхние основания прямоугольников графиков должны образовать плавную кривую, которая была получена при обработке опытных данных (см. рис. 27). Такой же вид приняла бы кривая распределения вероятностей комбинаций при бесконечно большом числе повторений испытания. Поэтому тогда мы и назвали такую кривую кривой Гаусса1. Итак, мы установили основные положения закона Гаусса, допустив ограниченное число источников ошибок, и это допущение не отразилось на правильности наших выводов. Теперь посмотрим, как повлияет на эти выводы наличие в условиях данного измерения нескольких групп источников ошибок, отличающихся величинами своих элементарных ошибок. Допустим, что в условиях данного измерения имеется три группы источников ошибок: - первая группа из восьми источников ошибок с элементарными ошибками: ъ\ = -)- 1 и а'2 - - 1; - вторая группа из шести источников ошибок, элементарные ошибки которых: а"- = + 2 и а"2 - -- 2; - третья группа из пяти источников ошибок с элементарными ошибками: а""- = + 3 и а'"2 =-: - 3. Суммарные ошибки первой группы источников ошибок и соответствующие этим ошибкам вероятности были нами уже найдены (см. табл. 7). При действии источников ошибок только второй группы могут быть следующие суммарные ошибки: Д'^ -+12, Д"2 = +8, Д"3=+4, Д*4 = 0, Д'- = -4, Д% = -8 и Д", = -12. Вероятности этих ошибок, как вероятности комбинаций из двух противоположных событий при шестикратном повторении испытания, равны: Р'' ___ _ - pV ___ 6 ^ ру __ 15 р; ___ 20^ ту, ___ 15 Р" __ _ 1 64 ' 2 64 ' 3 ~~ 64' 4 ~~ 64 ' 5 64 ' 6 64 и р" __. V И i 7 --- с л • 1 64 При действии источников ошибок только третьей группы •суммарные ошибки таковы: Д'"1 = +1о, Д"/2=-Ь9, Д";3 = +3, Д'"4 = - 3, Д"/5 = -9 и Aff/6 = -15, а их вероятности: Р"' ___- 1 pi!' ___ 5 jyit ___ -0 Ту" ___ -0 pttf ___ 5 р", __ 1 ]~ 32 > 2 "~ 32 ' 'з - 32 " 4 ~~ 32 ' ^5 ~ 32 6 ~~ 32 ' При совместном действии всех трех групп источников ошибок может быть любое совпадение суммарных ошибок этих групп. Каждое такое случайное совпадение даст случайную же результирующую ошибку, равную сумме суммарных ошибок. 1 См. § 12, рис. 19. 122 Например, если первая группа источников ошибок даст ошибку Д'3 = +4, вторая группа -А"6 = -8 и третья группа- А"'-= +15, то результирующая для всех трех групп ошибка Д = Д'8 + Д"в + Диг1-= + 4 - 8+ 15 = + 11; > другие совпадения дадут другие по величине и знаку результирующие ошибки. Предельная по величине результирующая ошибка будет получена при совпадении предельных по величине суммарных ошибок: Д'- + А"! + А'"! = + 8 + 12 -f 15 = + 35 и Д'9 + Д"7 + Д1"-= - 8- 12- 15 = - 35. Остальные результирующие ошибки, которые могут быть при совместном действии трех групп источников ошибок, естественно, не выйдут из этих пределов: +35, +33, +31, ... +5, +3, +1, -1, -3, -5, . . . -31, -33, -35. Что результирующие ошибки будут именно таковы, в этом можно легко убедиться, если сложение отдельных суммарных ошибок производить в определенной системе по следующей схеме (табл. 8). Результирующая ошибка, получающаяся при совместном действии нескольких групп источников ошибок, есть событие сложное. Поэтому и вероятность получения такой результирующей ошибки, как вероятность сложного события, равна произведению вероятностей суммарных ошибок ее составляющих. Так, вероятность результирующей ошибки +35 равна произведению вероятностей составляющих суммарных ошибок: Д^-Р/ • /У - />,- = 4 • зд • -Ё = -5ШГ =0,000002. Рассматривая табл. 8, можем заметить, что подавляющее большинство результирующих ошибок имеет несколько вариантов. Так, например, результирующая ошибка +29 получилась в двух вариантах: + 2+ 12+15 = + 29 и +8 +12+ 9= +29, а результирующая ошибка +23 получилась в трех вариантах: - 4+12+15 = + 23; + 2-J-12 + 9 = +23 и + 8+ 12 + 3 =+23 и т. д. t i 4^ Т а б л и ц, а 8 Л' Л" \'" .1 у У Л'" Л У Л'' у" Л у У Л"' Л У Л:/ У" Л +8 + 12 + 15 +35 +8 + 12 +9 +29 +8 + 12 + 3 +23 +8 + 12 о + 17 +8 + 12 __ g + 11 + 6 + 12 + 15 +33 +6 + 12 +9 +27 +6 + 12 +3 +21 +6 + 12 _ 3 + 15 +6 + 12 __ q + 9 +4 + 12 + 15 +31 +4 +12 +9 +25 +4 +12 +3 +19 +4 + 12 _ 3 + 13 +4 + 12- -9 + 7 + 2 + 12 + 15 +29 +2 + 12 +9 +23 +2 +12 +з + 17 +2 + 12 _ з + 11 +2 + 12 _ g + 5 0 + 12 + 15 +27 0 + 12 + 9 + 21 0 + 12 +3 + 15 0 + 12 -3 + 9 0 + 12 -9 + 3 _ 2 + 12 + 15 +25 -2 + 12 +9 + 19 _ 2 + 12 + з + 13 _ 2 + 12 -3 + 7 -2 + 12 -" + 1 -4 + 12 + 15 +23 -4 + 12 +9 + 17 -4 + 12 f3 + 11 _ 4 + 12 -3 + 5 _ 4 + 12 -9 _ 1 -6 + 12 + 15 +21 -6 + 12 +9 + 15 -6 + 12 +з. -t- 9 -6 + 12 -3 + 3 -6 + 12 -9 - 3 -8 + 12 + 1'5 + 19 -8 +12 +9 + 13 -8 + 12 +з + 7 -8 + 12 -3 + 1 -8 + 12 -9 - 5 и т. д. 1 Отсюда следует, что при определении вероятности получения результирующей ошибки необходимо учитывать все ее варианты, применяя теорему сложения вероятностей. Табл. 8 не закончена, так как в ней только показан метод определения величин результирующих ошибок. В полной таблице результирующая ошибка +29 имеет еще один вариант: + 6 + 8+15 =+29. Таким образом, вероятность ее получения: 56 1 +29 256 64 _L 32 _1_ 256 _1_ 64 _5_ _8_ _6_ 32 + 256 ' 64 J^_ 32 109 524288 0,000208. Результирующая ошибка -J-27 имеет уже четыре варианта: 1. +8 + 4+ 15= + 27 . 2. +6 + 12+ 9 =+ 27 . 3. +4+8+ 15= +27 . 4. О+12+15=+ 27. откуда вероятность результирующей ошибки 15 + 40 + 168 + 70 293 р _ 1 256 ' 8 15 1 15 *1 - р _ 64 1 64 6 32 5 ~ 524288 40 /"2 - р _ 256 ' 28 256 ' 70 32 1 ~~ 524288 168 "з - р _ 64 1 32 1 ~ 524288 70 *4 -- 256 ' 64 32 ~ 524288 Р+27 = 524288 524288 = 0,000559 и т. д. Для систематизации таких расчетов можно рекомендовать в табл. 8 добавить вертикальные графы для вероятностей *pi _ р ••• - -] _ ^_, *1 Т CJ т 0> е^ i ? ? 1 + ? ю 4 t^ •" ? "•" V v" 7 jo у Гх У о> •f ? 5 ? t*b V ? ? V § S* 1 ад 1 сЗ | "5" § i 0) 1 5 2 5 1 | CVJ i "" 1 о о" 1 о 0) о см сч| 0 сч оо VS S с" со *" <0 CVJ § 05*577 1 <о " о i ? о "о ^ -" <п о Sj i о N О § 0 <0 "5 i 9 "0 S § 1! 5 CS Гч (X К> •" ч" § 1 о- i s о о- i ^ 1 § "5 g О СЗ "ч i СЗ cj о> С\) 1 с> g 1 с? S 2 5 с> "в 1 "э OD 0 Гх) | С) •0 "о о о с" о 0 12 5 еэ о с> | 0,000002 о^ а? И О с> 0 3 0 0 о о о о о о о 0 0 сэ о Рис. 33 125 вариантов результирующих ошибок, после чего останется только сложить вероятности одинаковых по величине и знаку вариантов. Все такие расчеты для нашего примера, представлены на рис. 33. Рассматривая этот график, можно видеть, что и при действии нескольких групп источников ошибок установленные три основных положения закона случайных ошибок Гаусса остаются в силе. § 28. ЧИСЛЕННОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ЗАКОНА ГАУССА (ШКАЛА ОШИБОК) Для практического использования выведенных трех положений закона случайных ошибок Гаусса необходимо установить численное выражение этих положений, т. е. необходимо-установить, какая существует численная зависимость между заданными пределами ошибок и вероятностью получения ошибок в этих пределах. Положения закона Гаусса едины для всех способов (рядов) измерений, случайные ошибки которых следуют именно этому закону. Очевидно, что численное выражение этих положений должно- быть также единым. Это значит, что пределы, относительно которых опре'Де'ляют вероятности получения ошибки,, должны выражаться в каких-то единых мерах, общих для всех рядов измерений, независимо от метрической величины оши-. бок (способа измерения и характера измеряемой величины). Только при этом возможно оценить как точность отдельных результатов независимо от способа измерения, так и точность самих способов. Точность данного способа измерений характеризуется величинами возникающих при этом способе ошибок, - чем точнее способ, тем меньше ошибки, тем больше вероятность получения таких ошибок. Поэтому за общую, единую меру, выражающую пределы ошибки для всех способов измерения,, а отсюда и за меру точности любого способа измерения, следует принять величину какой-то ошибки. Допустим, что два способа измерения одной и той же величины дали следующие два ряда ошибок: 1-й способ: Н-5, - 7, - 2, +4, +8, - 3 и + 9; 2-й способ: -12, -6, +18, +1, -9, +12 и -10. Очевидно, что первый способ по сравнению со 2-м является более точным, так как он дал меньшие по величине ошибки. Если за меру точности брать отдельные случайные ошибки из этих двух рядов, то выводы будут самые противоречивые. Так, по ошибкам первых результатов измерения (+5 и -12) можно заключить, что 1-й способ точнее 2-го; ошибка же вторых результатов (-7 и -6) приводит к противоположному выводу. Нельзя также брать и наименьшие ошибки (-2 и +1), так 126 как в этом случае 2-й способ окажется точнее 1-го, что явнс* не соответствует действительности. Отсюда следует вывод, что за меру точности данного способа измерения отдельную случайную ошибку брать нельзя. При необходимости дать характеристику ряду (совокупности) различных величин (предметов) обычно берется какая-та средняя величина. Например, имея партию из 17 яблок различной величины и желая одним яблоком, не показывая всех, дать хотя бы приблизительное представление о величине яблок всей партии, мы, естественно, выберем среднее по величине яблоко. Аналогично этому при оценке точности данного ряда измерений за меру точности, характеризующей этот ряд, берется средняя ошибка. Средних ошибок, как это будет видно дальше, несколько: из всех средних ошибок в артиллерийской практике за меру точности принято брать так называемую срединную ошибку. Такое название этой ошибки объясняется тем, что она находится в середине ряда ошибок, расположенных по своим абсолютным величинам в возрастающем или убывающем порядке. • Вернемся к двум рядам ошибок и расположим эти ошибки по их абсолютным величинам в возрастающем порядке: 1-й способ: 2, 3, 4, 5s 7, 8, 9; 2-й способ: 1, б, 9, К), 12, 14, 18. В первом ряду ошибка, занимающая срединное место,, равна 5, во втором ряду-10. Из сравнения этих двух срединных ошибок видно, что 1-й способ действительно точнее 2-го. Для оценки партии яблок было взято среднее по величине яблоко. При расположении всех яблок в ряд в возрастающем по их величине порядке (рис. 34) таким средним (срединным) оказалось девятое яблоко. ГТ^^ГГГГ^СХХ^^ооо 1 2 3 Ь 5 6 7 8 S 10 11 12 13 1Ь 15 16 17 Рис. 34 Занимая срединное место, это яблоко по своей величине больше каждого из яблок одной (правой) половины и меньше каждого из яблок другой (левой) половины всей партии яблок. По аналогии, этим же свойством характеризуется и срединная ошибка. Срединной ошибкой называется такая ошибка, которая по своей абсолютной величине больше каждой из ошибок одной половины и меньше каждой из ошибок другой половины всех ошибок, расположенных в ряд в возрастающем пли убывающем порядке. 127 Т а б л я ц и У № Л Л? 4 № 4 № 4 № 4 № 4 № 4 № \ № 4 № 4 1 _ 1 18 -И 35 +21 52 +32 69 -48 103 +76 120 +95 137 - 120 154 + 144 |86 +60| 2 _ 1 19 +11 36 +21 53 -35 70 -49 87 -61 104 -77 121 -96 138 + 121 155 + 147 3 + 1 20 +12 37 + 22 54 -36 71 +49 88 +62 105 +78 122 -97 139 -122 156 -149 4 4-1 21 -13 38 -23 55 +36 72 +50 89 -63 106 -79 123 -98 140 + 124 157 +150 5 _ 2 22 -14 39 -24 56 + 37 73 +51 90 -64 107 -80 124 +99 141 + 126 158 -156 6 + 2 23 + 14 40 +25 57 -38 74 -52 91 464 108 -81 125 -100 142 -127 159 + 159 7 + 3 24 + 15 41 +25 58 +39 75 -53 92 +65 109 +83 126 - 102 143 + 128 160 + 164 8 -4 25 -16 42 -26 59 -40 76 -53 93 -66 ПО -85 127 + 103 144 -129 161 - 168 9 _ 4 26 +16 43 +28 60 -41 77 + 53 94 +67 111 +85 128 -104 145 + 130 162 + 178 10 +4 27 + 17 44 -29 61 +41 78 +54 95 +67 112 -87 129 +107 146 -131 163 -186 11 4-5 28 -18 45 +30 62 +42 79 + 55 96 -69 113 + 88 130 + 109 147 + 133 164 +188 12 -6 29 -18 46 +30 63 + 44 80 -56 97 -70 114 + 89 131 -111 148 -134 165 -193 13 -7 30 + 18 47 -31 64 -45 81 +57 98 -71 115 -90 132 + 115 149 + 135 166 + 196 14 + 7 31 -19 48 -32 65 +45 82 -58 99 + 72 116 -91 133 -116 150 + 137 167 -224 15 __ g 32 +19 49 +32 66 +45 83 -59 100 -73 117 -92 134 -117 151 -138 168 +236 16 - 10 33 -20 50 -33 67 -46 84 +59 101 +74 118 +93 135 + 118 152 + 140 169 -238 17 + 10 34 -21 51 +33 68 +47 |85 -60| 102 i -75 119 +95 136 + 119 153 -141 170 -245 Исходя из этого определения, можно опытным путем найти величину срединной ошибки, характеризующей точность данного ряда (способа) измерений. Из определения срединной ошибки следует, что вероятность получения ошибки, которая по абсолютному значению больше (или меньше) срединной ошибки, равна половине.. Так, если срединная ошибка способа измерений равна '2Ъм, то вероятность получения ошибки больше 25 м (или меньше 25 м) равна половине. Эти свойства срединной ошибки и обусловливают ее как, меру точности, а отсюда и меру, посредством которой выражается численная зависимость между пределами ошибки и вероятностями ее получения в этих пределах. Для отыскания такой численной зависимости применимы те же методы, что и при выводе положений закона Гаусса. Прежде всего, найдем такую зависимость путем обработки опытных данных, использовав численные примеры, приведенные в § 27. В первом из этих примеров было 170 результатов промера расстояния шагами (см. табл. 4). Расположим в возрастающем порядке абсолютные величины ошибок этих 170 промеров (табл. 9) и найдем срединную ошибку этого ряда измерений, исходя из определения срединной ошибки. При 170 измерениях срединная ошибка в ряде ошибок должна занимать место между 85-й и 86-й 'ошибками. Абсолютная величина и 85-й и 86-й ошибок равна 60 м, следовательно, срединная ошибка рассматриваемого ряда измерений также равна 60 м. Чтобы определить частости получения ошибки в пределах, выраженных в срединных ошибках, разобьем все ошибки на группы через каждые 60 м (табл. 10), обозначив при этом величину срединной ошибки буквой Е. Таблица 10 в метрах -300 -240 -180 -120 -60 0 + 61 + 121 + 181 + 240 Ошибки от ... до -241 -181 -121 -61 0 +60 + 120 + 180 +240 +300 в величине срединной ошибки ~-5? -4Е - ЗЕ - 2Е __ ?• 0 +Е +2Е +ЗЕ +4? от . . .до - 4? -ЗЕ - 2? -Е 0 +Е + 2? + 3J5 +4? + 5? Количество ошибок 1 4 10 28 41 45 23 15 3 0 Частости ошибок в% 0,59 2,35 5,88 16,48 24,12 26,47 13,53 8,82 1.76 0 9 - Зак. 991 129 Используем теперь данные второго примера, в котором были приведены 580 результатов измерения дальности с помощью дальномера (см. табл. 6 и рис. 26). Для этого ряда измерений срединная ошибка равна 0,5% дальности, так как именно такая ошибка занимает место между 290-й и 291-й ошибками. В этом легко убедиться, если сложить количества всех положительных и отрицательных ошибок,, полученных в пределах от 0 до+ 0,5% дальности: 76 + 78 -j- 70 + 66 = 290. Разобьем ошибки этого ряда на группы через каждые 0,5% дальности и определим для этого случая частости получения ошибки в пределах, выраженных в срединных ошибках (табл. 11). Таблица П Ошибки в процентах дальности от.. . . до -2,5 -2,0 -2,0 -1,5 -1,5 -1,0 -1,0 -0,5 -0,5 0 0 +0,5 +0,5 +1,0 +1,0 + 1,5 + 1,5 +2,0 + 2,0 +2,5 в величине срединной ошибки от . . .до -5Е -4Е - 4? - 3? - 3? -2Е - 2? - Е _ р 0 0 +Е +Е +2Я +2Е + ЗЕ +3? +4? +4? +5Е Количество ошибок 2 10 40 94 146 144 90 41 11 2 Частости ошибок в % 0,34 1,73 6,90 16,20 25,17 24,83 15,52 7,07 1,90 t 0,34 Сравнив нижние строчки табл. 10 и И, можем заметить, что частости получения ошибок в одних и тех же пределах, выраженных в срединных ошибках, примерно равны между собой. СЭ са sja Ю" ^ см <о" ч" см 5- С-) .. "п ^ у -~ . -=г < ^° -/ \" й" - X - 1. гч > о >8 ^ С\) г^ 1 \ *ч ^ ^5 - 0^ ^> ^0 0^ ~ о о ? °°. "г> { Ч"0 Q 3- -> V "О гп ^ •i - °~> С> о сГ ^ >*~ 0" С5 -6Е-5Е-М-ЗЕ-2Е -? 0 *? *?f +3E+M +5E+6L Рис. 35 130 Взяв средние значения частостей, допустим, что при очень большом числе измерений частости получения равных по абсолютной величине и разных по знаку ошибок равны между собой. Тогда, применив закон больших чисел, можем численную зависимость между пределами ошибок, выраженными в срединных ошибках, и вероятностями получения ошибок в этих пределах представить графиком, изображенным на рис. 35. Источников ошибок, получаемых в условиях любого измерения, бесконечно много. Не исключена возможность, что источники ошибок дадут при отдельном измерении или только положительные, или только отрицательные элементарные ошибки. В этих случаях, несмотря на то, что элементарные ошибки по своей величине бесконечно малы, суммарная ошибка может быть сколь угодно большой - теоретически от - ос до + оо. Вероятности получения таких ошибок ничтожно малы, и ими можно пренебречь. Поэтому основание кривой Гаусса ограничено пределами 4- б Е (см. рис. 35). Но и вероятности получения ошибок в пределах от - 6Е до - 4Е и от + 4Е до + 6Е также очень невелики: 0,0004 + 0,0031 -Ь 0,0031 + 0,0004 = 0,007 = 0,7%. Практически [такими ошибками можно также пренебречь, и тогда численно закон Гаусса с некоторыми округлениями может быть выражен шкалой, изображенной на рис. 36. - "? - 3Е -21 -? О +Е + Zt + ЗЕ +ЬЕ 0,02 0,07 0,16 0,25 0,25 0,16 0,07 0,0?. Рис. 36 Эта шкала называется шкалой ошибок. Такой шкалой ошибок, как правило, пользуются при расчетах, связанных с теоретическими обоснованиями артиллерийской стрельбы. По шкале ошибок можно видеть подтверждение основных положений закона Гаусса. Действительно: 1. С увеличением ошибки уменьшается вероятность ее получения (0,25 - 0,16 - 0,07 - 0,02). 2. Вероятности получения ошибок отрицательных и ошибок положительных, заключенных в одних и тех же пределах, равны между собой (0,25 и 0,25; 0,16 и 0,16 и т. д). 3. Практическим пределом ошибки для любого способа (ряда) измерений является предел ±4/:. К такой же шкале ошибок можно притти и другим путем- путем анализа возникновения случайных ошибок, следующих закону Гаусса. 9:; 131 На рис. 33 § 27 даны вероятности получения случайных ошибок при совместном действии трех групп источников ошибок. Найдем для этого ряда ошибок такой предел, относительно которого вероятности получения большей и меньшей по величине ошибки равны между собой, т. е. равны половине. Сложив вероятности получения ошибок: - 5, -3, -1, -{-1, +3 и + 5, получим: 2 (0,088421 + 0,084316 + 0,076605) = 0,498684. Результат сложения очень близок к 0,5, следовательно, искомый нами предел лежит между 5 и 7, т. е. равен 6. Приняв величину срединной ошибки равной 6, разобьем все ошибки на группы через каждые 6 (единиц) и определим вероятности получения ошибки для каждой такой группы (табл. 12). Т а б л и ц а 12 Пределы ошибок -6? - 5? •-5Е -4Е -4Е -ЗЕ -ЗЕ ~2Е - 2? _ ? __ ?• 0 0 +Е +Е +2Е 4-2Я +ЗЕ +ЗЕ +4Е +4Е +5? +5Е +6Е Вероятность получения "м оо о о оо ю о 04 ю 00 t- о S см оо <У> ю СО <м 55 05 <м 55-Оз СП ю со го о CN ОО "D ОО S ос "D О сч <м § о ошибок в O/Q о О --* ю СО rf <М -* ся ю !О •"* . о" о Отбросив вероятности получения ошибки в пределах от ±:4? до :±6/Г и произведя окр\тления до целых процентов, получим те же: 2%, 7°/., 16%, 25°/0, 25°/0, 16°/0, 7°/0 и 2°/0. Пределы приведенной выше шкалы ошибок выражены в целых Е. При расчетах, требующих большей точности, следует пользоваться шкалой, пределы ошибок которой выражены в долях Я: 0,5/5 или 0,25? (табл. 13). Эта таблица показывает, что закон Гаусса графически действительно может быть выражен кривой, так как по мере уменьшения пределов ошибок вероятности их получения все меньше и меньше отличаются друг от друга по своей величине и график, построенный в очень небольших долях Е, несомненно, будет иметь вид кривой. Шкала ошибок может быть построена и несколько иначе (рис. 37). Нетрудно заметить, что числа 0,50, 0,82, 0,96 и 1,00 показывают вероятности получения ошибки в пределах от 0 до ± Е, от 0 до + 2? и т. д. Вполне понятно, что такую шкалу можно составить с любой точностью -в любых долях Е. Шкала ошибок, составленная по этому принципу в сотых долях Е (с точностью до 132 Ст> - -* -|" ю т- 1 о soo'o см о 0 f-00'O о ю 900 '0 И о 800 '0 + СО 0 ПО'О t-^ о frlO'O 0 -* о 610'0 -Ч <м + о t~-о Ш)'0 ico'o •-D о ZRO'O О О о ^о'о -Ч 0 ISO'O + <м 990 '0 Ю о 190 '0 о' СО 990 '0 О _ о Z90'0 СО Z90'0 N ю о 990 '0 о <м I90'0 ьц - о 950 '0 о СГ> о о 190*0 ^O'O о 1--о zeo'o -Ч °" ieo'0 J Tf о frSO'O t-~ о о eio'o 0 со о tio'o ~ч о IIO'O со ~ 1 ю 800 '0 сч о о 0 cOO'o о ю о frOO'O -Ч о о" /,00 '0 1 0,01 Я), имеет вид таблицы [см. приложение 1, таблица значений Ф((-)]. Этой таблицей пользуются при расчетах, требующих особой точности. Кроме того, эта таблица по сравнению с обычной шкалой ошибок в некоторых случаях упрощает технику расчетов. -*f -Э? -2? -? О +Е -"2? +3? *4? 0.02 0,07 | 0,16 | 0,Z5 0,25 [ 0,16 \ 0,07 -0,02 l b"- 0,50 -"H ' i 1 l 1 c*- ----- 0,82 ---- *н , L- ......... ._.__ 0 55 •-•> f pn Puc. 57 Шкала ошибок, какой бы вид она ни имела, дает возможность решить следующие две основные задачи: 1. Определить вероятность получения ошибки в заданных пределах. 2. Оценить точность данного результата измерения, зная его срединную ошибку. Покажем это на примерах. Начнем с определения вероятности получения ошибки в заданных пределах. Допустим, что дальность до цели стреляющим определена в 4000 м, а срединная ошибка данного способа измерения равна 80 м. Найдем, прежде всего, какие ошибки мог при этом допустить стреляющий и каковы вероятности этих ошибок. *;< Построим для этого шкалу ошибок, выраженную в величинах срединной ошибки (рис. 38). г о C4J 03 3 О •J (\) г 0 <О -! 0 -0 $ сэ 00 ? о ^? г о -3> СМ СЭ CVJ с-1 " •+ •f * ы -л •21 -[ 0 *Г *2? + 3? + 4? 0,02 0.07 0,16 0,25 0,25 0,16 0.07 0,02 Рис. 38 При рассмотрении этой шкалы можно сделать следующие выводы. 133 1. Наибольшая ошибка, которую практически мог допустить стреляющий, не должна превышать 320 м как в большую, так и в меньшую сторону (±4Е), т. е. истинное значение величины измеренной дальности заключено в пределах: 4 000 м ± 320 м, от 3 680 до 4 320 м. 2. Вероятность того, что стреляющий ошибся в меньшую сторону не более чем на 80 м, т. е. вероятность того, что истинное значение величины измеренной дальности заключено в пределах от 4000 м до 4080 м, равна 0,25-=25%. Вероятность же того, что была допущена ошибка в большую сторону от 160 м до 240 м, т. е. вероятность того, что истинное значение величины измеренной дальности заключено в пределах от 3760 м до 3840 м, равна 0,07 = 7% и т. д. НИЗ. Вероятность получения ошибки, не превышающей 80 м, независимо от ее знака, т. е. вероятность того, что истинное значение величины измеренной дальности заключено в пределах 4 000 м ± 80 м (от 3 920 м до 4 080 м), равна 0,25 + -f- 0,25 = 0,50 = 50°/0. Вероятность же ошибки, не превышающей 160 м в обе стороны (+- 2Z?), т. е. вероятность того, что истинное значение величины измеренной дальности заключено в пределах от 3840 м до 4160 м, равна 0,16 + 0,25 + 0,25 + + 0,16-=0,82 = 82°/0 и т. д. По этой же шкале мы можем определить вероятность получения ошибки в любых заданных пределах, т. е. пределах, не совпадающих с целыми Е. Найдем, например, вероятность получения ошибки в пределах от - 50 м до - 100 м. Как мы видим, такая ошибка частично захватывает два предела (рис. 39). -160"" '10 -2Е Ом -80м -5 -? Ом 0 20м \ 30м -" ul" i i Юм ------ "и V U. ---- If Рис. 39 Допустив, что в пределах каждой Е ошибки распределяются равномерно, мы можем составить следующие пропорции: 80 м - 0,25 и 80 м - ОД 6 30 м - р} 20 м-рг Откуда 30-0,25 г> лпо7с 20-0,16 АГ1. Pi = 80 = 0,09375 и pt =- - 8Q = 0,04. Искомая же вероятность Р=/>1+/7, = 0|09375 +0,04 =-0,13375^13,4%. 134 Несколько более точный ответ будет получен, если взять шкалу ошибок, выраженную в долях Е, например в 0,5?" <рис. 40). 30-0,12 ПАО 20-0,09 пгмк. "г = -40- = °>09; Л = -40 - = °'045' р = 0,09 + 0,045 = 0,135 = 13,5%. -"бОм -120м -ВПм - иОм О : 0,07 i о.оэ ; 0,12 ; 0,13: -20м-"--JO м-*- I 'г.-- 50М -"и U------- /00м ------"J Рис. 40 И, наконец, наиболее точный ответ даст таблица значений Ф((3). В этой таблице приведены вероятности в пределах от О до ± (., причем эти пределы выражены в сотых долях Е (через 0,01?). Ход решения при пользовании таблицей значений Ф((3) таков (рис. 41): -1.2SE - 0,625 Е -100м -50м i i 0 + 0,625 Е + 50м + r,2J5 +-WC - i '^0,13709 I i i "1 и --- -0,32665 \*- 0,13709+* --- м | Рис. 41 1. Выразим пределы нашей ошибки в долях Е, разделив каждый из них на 80 м: 50:80==0,625? и 100:80- 1,25Е. 2. Найдем по таблице значений Ф(@) вероятности получения ошибки в пределах от 0 до -+-0,625Е и от 0 до--Ы,-.5?: /?-= 0,32419+ 0,00246 = 0,32665 и /?2 = 0,60083. 3. Вычтем из большей вероятности меньшую, т.е. найдем вероятность получения ошибки в пределах от zt 50 м до +-100 м (независимо от знака): 0,60083 - 0,32665 = 0,27418. 4. Определим искомую вероятность, разделив полученный результат на 2, так как ошибки отрицательные и положительные, заключенные в одинаковых пределах, равновероятны: р = °-2(tm)1* = 0,13709 к 13,7° (1. 135 Наибольшая точность решения по таблице значений Ф((3) обусловливается тем, что допущение равномерности распределения ошибок в пределах, выраженных в сотых долях Е, сказывается очень незначительно, так как малы сами пределы. Зная величину срединной ошибки данного способа измерения, а также величину ошибки отдельного- результата, пользуясь шкалой ошибок, можно оценить точность этого результата. Допустим, что действительная дальность до цели равна 6000 м. Стреляющий, применив способ, срединная ошибка которого равна 10% измеряемой дальности, определил дальность до цели в 5 500 м, т. е. допустил ошибку, равную 500 м. При рассмотрении шкалы ошибок, построенной по данной срединной ошибке (рис. 42), можно сделать следующее заключение. г С) о -s-CM i 1 " + 4 * t bt -ЗЕ -2? -? 0 +L +2Е -Jf + 4? 0,02 0,07 0,16 0,25 0.25 0,16 0,07 0,02 Рис. 42 Ошибка стреляющего не выходит за пределы -+; 600 м, т. е, за пределы zb E. Вероятность получения ошибки в этих пределах равна 0,50, т. е. ошибка, не выходящая за эти пределы, может быть получена в среднем'в 50 случаях из 100, а поэтому можно считать, что определение дальности стреляющим было произведено с достаточной точностью. Если же дальность до цели стреляющим была определена в 4500 м, т. е. с ошибкой -1500 м, то такой результат для данного способа измерения следует считать мало точным, так как вероятность получения ошибки в пределах от ±1200 м до 4; 1 800 равна всего 0,14, т.-е. такая ошибка может быть получена только в 14 случаях из 100 в среднем. Определение дальности в 3500 м, т. е. с ошибкой, превышающей 4/?, свидетельствует (за редким исключением) о том, что стреляющий данным способом измерения не владеет. Заметим, что такие рассуждения положены в основу оценки точности подготовки исходных данных при выполнении артиллерийских стрельб. § 29. СРЕДНЯЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧЕСКАЯ ОШИБКИ И ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ НИМИ И СРЕДИННОЙ ОШИБКОЙ Определение величины срединной ошибки по ее месту в ряде абсолютных значений ошибок (обозначается Ерр) при небольшом числе измерений не обеспечивает нужной точности. 136 При таких условиях не исключена возможность того, что даже одно добавочное измерение может в значительной степени изменить суждение о величине срединной ошибки, а отсюда и о точности данного способа измерения. Предположим, что в результате 11 измерений одной и той же величины некоторым способом получили ряд ошибок и расположили абсолютные значения этих ошибок в возрастающем порядке: 1, 2, 3, 3, 4, 6, 8, 10, 14, 17, 20; срединная ошибка этого ряда Ерр ==• 6. Допустим, что произведено еще одно измерение-- 12-е.. Это измерение, очевидно, может дать ошибку, которая по-своему абсолютному значению будет меньше или больше срединной ошибки. Если 12-е измерение даст ошибку, меньшую срединной ошибки, например 2, то срединная ошибка нового ряда (1, 2, 2, 3, 3, 4, 6, 8, 10, 14, 17, 20) р _4 + 6 С-рр -- --- -- О. Если же 12-е измерение даст ошибку, большую срединной ошибки, например 13, то срединная ошибка такого ряда (1, 2, 3, 3, 4, 6, 8, 10, 13, 14, 17, 20) _ 6 + 8 С'РР - 2 - '' Способ измерения оставался один и тот же, а срединная ошибка в зависимости от результата только одного добавочного измерения приняла значения вместо 6: или 5, или 7. Разница, как видим, весьма существенная. Поэтому при определении величины срединной ошибки по-небольшому числу результатов измерений, - а с таким числом, как правило, и приходится иметь дело на практике, - необходимо учитывать численные значения всех ошибок данного ряда измерений, т. е. применить, вместо расположения ошибок в ряд, метод расчета. Тогда результаты отдельных измерений не скажутся так значительно на величине срединной ошибки, как это было в приведенном выше примере. При определении величины срединной ошибки по результатам измерений методом расчета пользуются, как правило, величинами средних ошибок: средней арифметической и средней квадратинеской. Как производятся эти расчеты, подробно будет разобрано-дальше - в главе "Обработка результатов измерений". Здесь только установим, какие численные зависимости существуют 137 <в законе Гаусса (свойственны этому закону) между средней арифметической и средней квацратической ошибками и срединной ошибкой как общепринятой в артиллерийской стрельбе мерой точности. Средней арифметической ошибкой (ZT-) называется мате-.матическое ожидание абсолютного значения ошибки. Или в общем виде: ?-=М.О.{ Д1} = |Д1|-Л + |Д_|-А + |Д"1-_"8 + • • • + + | Да !•/>_? = 2 |Д,|./?" где Ег - средняя арифметическая ошибка; | Д41 - абсолютные значения ошибок; Pi - соответствующие вероятности этих ошибок. Исходя из этого определения, найдем зависимость между средней арифметической ошибкой Ег и срединной ошибкой Е. Для упрощения вывода сделаем допущение, что в пределах, выраженных в целых Е, ошибки по своей величине рас-.пределяются равномерно, т. е. для этих пределов можно взять •средние значения ошибки (рис. 43), выраженные в долях Е. -^ -Ф --§? "It 'I- 0|Е *2-;?'-35f -*? |-ЗЕ !-2E 1-Е ! О < "E >*2? '*3? i*4? 0,02 0,07 0,76 0,25 0,25 0,16 0,07 0,02 • Рис. 43 Так, для пределов от 0 дог-тЯ такое среднее значение ошибки может быть принято равным ±-^- Е, для пределов от dr E .до ±2Е - может быть принято равным zb 1 -^-Е и т. д. Вероятности таких абсолютных средних значений ошибки согласно шкале ошибок: р = о,25 + 0,25 = 0,50; . р =0,16+ 0,16 = 0,32 и т.д. ±ф Тогда средняя арифметическая ошибка, как математическое ожидание абсолютного значения ошибки: Е! = ~ Я-0,50 И- 1-1- ?.0,32 + 2~?-0,14 + 3-~ Е-0,04 -= - 50 + 96 + 70 + 28 =•_ ^44 с- _ 122 п-^ _б_ F ~~~ 200 200 ~~ "100 ^ 5 Откуда f__?- F /:- б с-. 138 Если допустить равномерность распределения величин ошибок в пределах, выраженных не в целых Е, а в долях ?, результат получился бы более точным. Использовав таблицу значений Ф(|3), получим наиболее точный результат: Е = 0,84535 Е- х -\ ?-. Покажем справедливость установленной зависимости между Е и E-i на численном примере. На рис. 33 § 27 даны величины ошибок и вероятности их получения при действии трех групп источников ошибок. Найдем математическое ожидание абсолютного значения ошибки, учтя, что ошибки, равные по абсолютной величине и разные по знаку, равновероятны, т. е. удвоим вероятности получения ошибок: Е1 = 1 -0,088421 -2 + 3-0,084316-2 4-5-0,076605-2 + 4-7-0,066296.2+9.0,054577-2+ 11-0,042646-2+ 13.0,031582-2 + + 15-0,022091-2+ 17-0,014530.2 + 19-0,008953-2+ + 21.0,005129-2 + 23-0,002704-2 + 25-0,001301-2 + + 27-0,000559-2 + 29-0,000208-2 + 31 -0,000065-2 + + 33-0,000015-2 + 35.0,000002-2 = 7,067888. Откуда ? = 0,84535 • 7,067888^5,975. Ранее (см. стр. 132) было установлено, что срединная ошибка этого ряда может быть принята равной 6. Пример 1. Определить величину срединной ошибки способа измерений, если средняя арифметическая ошибка равна 30 м. Решение. Е- 0,84535-30 = 25,3605 м, или Е = -g- 30 = 25 м. Пример 2. Определить величину средней арифметической ошибки, если срединная ошибка способа измерения равна 20 делениям угломера. Решение. ?- = ?0":0,84535 = 23,651 деления угломера, или Ег:--fc 5 = 20: -g- = 24 делениям угломера. Перейдем теперь к средней квадратической ошибке, которую принято обозначать через Е%. За среднюю квадратическую ошибку принимают величину, равную корню квадратному из математического ожидания квадрата ошибки. Е, = J/V/>i + Д22/72 + Л32/73 + 77Т+'Д^>7=|/ Pi'/7* ' откуда ?,2 = Дг2 Pl + Vp2 + V/?3 + - - - + b?ps == | A,2p(, 139 Исходя из этого последнего равенства, установим зависимость между средней квадратической и срединной ошибками. Возьмем для этого средние значения ошибок, выразив их в долях Е, аналогично тому, как это было сделано выше при выводе зависимости между Е1 и Е (см. рис. 43). Произведя соответствующие подстановки в общей формуле ?32, получим: Яо^Г-^У*0'50^ l4-?V-0,32+ (/2-^?1V.0314 + \ * J \ * J \. z / + ( 3~?У-0,04 = -]- -0,50-?2 + -|- .0,32./? + ! 25 014 F2 , 49 50 + 288+3504-196 pz __ 221_ " ~г~4~ •и-^-'-с т -4- -и,и*-.е -----4оо-с - 100 п . Извлечем квадратный корень из обеих частей равенства: ?2 = 1,48661 Е^ 1,5?-=-|?, откуда Е = - Е с. з ^2' Более точные расчеты по таблице значений Ф((3) дадут: ? - 0,67449 ?," -|-?а. • Покажем справедливость этой зависимости, воспользовавшись тем же численным примером, что и для Е{ Е? = I2 -0,176842 + З2.0,168632 + 52-0,153210 + 72-0,132592 + + 92.0,Ю9154+ П2-0,085292+ 132-0,063164 + 152-0,044182+ + 172-0,02906+ 192-0,017906 + 212- 0,010258 + 232- 0,005408 + -f 252-0,002602 + 272-0,001118 + 292-0,000416 + 312-0,000130 -f -Ь ЗЗ2 • 0,000030 -f 352 • 0,000004 = 76,999904. Откуда ?2 = V 76,999904 = 8,775. Тогда Е = 0,67449 ?2 = 0,67449 • 8,775 = 5,91864985 " 5,92. Как видно, результат очень близок к тому, который был получен при определении Е по Ег и разложением в ряд. Пример 3. Определить величину срединной ошибки способа измерения, если средняя квадратическая ошибка равна 3JO м. 9 Решение Е = 0,67449-300 = 202,347 м, или Е = -,- -300 -= 200 м. Пример 4. Срединная ошибка равна 0-04. Найти величину средней квадратической ошибки. Решение. ?2 = 4:0,67449 ^ 5,9301 деления угломера, или F, = 2 - 4: -х- = 6 делениям угломера. Между средней арифметической и средней квадратической ошибками можно легко установить зависимость через срединную ошибку: р___?_ F __ F С- 3 С2 - -6--3-, откуда ?- = -l?2, или ?,= --?" точнее Я- = 0,79787?2 и ?2 = 1.25334Е-. Пример 5. Средняя арифметическая ошибка способа измерения равна 0-24. Найти величину средней квадратической ошибки. 5 Решение. Е2 - -?- -24 = 0-30. Следует заметить, что средняя арифметическая и средняя квадратическая ошибки могут быть использованы и используются (в особенности последняя) как параметры, характеризующие точность способа измерения. § 30. ЗАКОН РАВНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ В практике артиллерийских измерений постоянно приходится сталкиваться с необходимостью округлять результаты измерений, что, естественно, влечет за собой ошибки - ошибки округления. Такие ошибки возникают, прежде всего, в тех случаях, когда мы, снимая отсчеты со шкал измерительных приборов, вынуждены по тем или иным соображениям брать эти отсчеты в целых делениях этих шкал, т. е. не можем или не хотим брать на-глаз дробные части делений. Например, измеряя дальность с помощью дальномера, деления на шкале которого нанесены через 100 м, и округляя результаты до сотен метров, мы будем допускать ошибки, различные по величине и знаку в зависимости от того, какое положение в момент снятия отсчета будет занимать указатель относительно промежутка между двумя соседними делениями шкалы. Так, если указатель окажется в положении nb* (рис. 44) и будет принята дальность равной 2 100 м, то будет допущена ошибка в меньшую сторону примерно на 25 м. Если же указатель в момент снятия отсчета займет положение "du, дальность будет определена в 2 200 м, то будет допущена ошибка в большую сторону на те же 25 м. При положении 141 указателя "си дальность может быть округлена как до 2100л*. так и до 2 200 м - ошибки округления в этом случае будут равны: либо - 50 м, либо -f 50 м. И, наконец, если указатель окажется в положении либо "а", либо "еи, отсчеты будут сняты без округлений, т. е. ошибки будут равны нулю. Этот пример показывает, что ошибки округлений могут быть как отрицательными, так и положительными, и что по своей величине эти ошибки не могут превысить некоторого вполне определенного предела - предела, равного половине цены деления шкалы прибора (± - } • ?- 2000 2100 2200 -2300 N----- Рис. 44 Г1 \ ; / С d D 1 v.JL Ъ~21 \ ~Д,* "*--"2" Щ %?4 т где Ер - срединная ошибка закона равной вероятности, и подставив эти значения Л, и Д2 в общую формулу, получим: 1 __ +Ер - ( - ЕР) _ 2Е? __ ЕР 2 ~ '21 ~ '21 ~ I ' откуда Е" = rP__L 2 Обычно для суждения о точности закона равной вероятности пользуются другой его характеристикой - средней ква-дратшеской ошибкой Е$. Средняя квадратическая ошибка равна корню квадратному из математического ожидания квадрата ошибки: --:?= /" ---iX + Л-/>2 +.-.•+ bsps • Так как для закона равной вероятности p1~p2=pz = . . . =ps=p=z--^, то рр - л/ Тл* -4-72T~~ ~Г&?\~Г~ i /" Д. + А"+' • -+^ bi - у (--ч + .Д2 + • • . + &s) -ji = I/ ------т/------ Выразим ошибки Д-, Д2" • • • As в долях /. Разобьем для этого одно деление шкалы (21) на 8 равных частей - пре- 7, 5, 3, Г, Г. 3, 5. 7. К---I **• - / """ - [ -"ч" - / •*<• - I •••**--/ •-**•- i "-""•- ? •чч i8!8"ai5li8 'S'S - в i -!' U. -- -!' -!' -i' 0 - У1 ^ *ii *f" *i< -.j PMC. 46 делов (рис. 46) и возьмем для каждого такого предела среднее значение величины ошибки. Так, для предела от 0 до zt -7 / такое среднее значение 41 = (o±i/):2-=±^; 144 I 2 для предела от 4- --- / до ± --• / A2-=(^±l/-f±:-|-^:2 = dr|/HT. д. Вероятности получения ошибки в каждом из этих пределов равны между собой, а так как пределов по условию 8, то и вероятность получения ошибки - _L- I Р ~ 2/ ~~ 8 * Заменив в приведенной выше формуле Д1( Д- . . . и т. д. соответствующими средними значениями и подставив вместо Р = -%, получим: ?5 = /[2(1/)8 + 2{|/)Ч2(|/)Ч2(1/)г]1 - = /^1 В этом выражении коэфициент 2 показывает, что каждая из ошибок может быть как положительной, так и отрицательной. 21 1 При округлении ------ до -т была допущена ошибка: 1 21 64 - 63 1 3 64 1У2 192 ' Если бы отрезок 2/ был разделен не на 8, а на 16 равных частей, то -" -.//о (1 4-9 + 25 4-49+ 81 + 121 + 169-h 225) 2 1 2 = У/ -------------т-----------•----w = -,//Т~Г__L. У 1 "з - %/а ' \/з 85 1 В этом случае округление -----т до -j даст уже ошибку: J.___85__ 256 - 255 _ 1 3 256 ~ 768 ~~ 768 * При делении отрезка 2/ на бесконечно большое число равных частей мы получим точную зависимость: ?? = -4-. 1/з 10 - Зак.991 145 Пример. Определить срединную и среднюю квадратическую ошибки при снятии отсчетов с угломерного кольца стереотрубы. Решение. 11 - 0-01; / = 0-00,5 = 0,5 деления угломера. Тогда / 05 Ер= х- - -у- =0,25 деления угломера; Zi ? 0,5 ]/3 ~ |/з Е% == г- = ^г~ ж 0,29 ж 0,3 деления угломера. § 31. ЗАДАЧИ НА ЛИНЕЙНЫЕ ОШИБКИ Задача 68. Найдены следующие величины ошибок отдельных результатов измерения одного и того же угла: + 0-10, -0-05, +0-07, -0-03, -0-01, + (М)4, +0-06, -0-02, +0-01, 0-00 и + 0-02- Определить величину срединной: ошибки по ее месту в ряде ошибок. Ответ. 0-03. Задача 69. При измерении одного и того же расстояния ошибки отдельных результатов оказались равными: - 20 м, + 40 м, + 10 м, - 15 м, + 5 м, + 20 м, - 5 м и + 25 м. Определить величину срединной ошибки по ее месту в ряде ошибок. Ответ. 17,5 м. Задача 70. Срединная ошибка способа измерения дальности равна 100 м. Чему равна вероятность того, что при определении дальности этим способом "будет допущена ошибка: а) не более 100 м; б) не более 200 м', в) не более 50 м\ г) не меньше 100 м и не больше 200 м; д) не меньше 25 м и не больше 75 м; е) не больше 50 м в меньшую сторону и не больше 100 м в большую сторону? Ответы, а) 0,5 (50%)-; б) 0,82226 (82%); в) 0,26407 (26%); г) 0,32266 (32%); л) 0,25314 (25,4<>/0); е) 0,38204 (380/0). Задача 71. Срединная ошибка способа определения установки угломера равна 0-05. Какова вероятность, что, определяя угломер этим способом, будет допущена ошибка: а) не более 0-02; б) не более 0-08; в) в пределах от ± 0-03 до ± 0-10; г) в пределах от -0-04 до-0-12; д) в пределах от - 0-06 до + 0-03. Ответы, а) 0,21268 (21-/0); б) 0,71949 (710/-); в) 0,50836 (51°'-); г) 0,24199 (240/0); д) 0,44800 (44%). Задача 72. Найти величину срединной ошибки, если средняя арифметическая ошибка этого способа измерения равна 180 м. * Ответ. 152,163 м. Задача 73. Чему равна вероятность получения ошибки, не превосходящей 0-J5, если средняя арифм.;тическая способа измерения равна 0-12? Ответ. ?=10,1442 деления угломера; Р = 0,68141 (67,2%). Задача. 74. Определить среднюю арифметическую ошибку данного способа измерения, если его срединная ошибка равна 30 м. Ответ. 35,5 м. Задача 75. Найти величину срединной ошибки, если средняя квадра-тическая ошибка этого способа измерения равна 40 делениям угломера. Ответ. Около 27 делений угломера. 1 В этой и последующих задачах ответы даны по таблице Ф (Р); в скобках - по шкале ошибок. 146 Задача 76. Какова вероятность получить ошибку в пределах от - 20 м до - 50 м, если средняя квадратическая ошибка способа измерения равна 49 м? Ответ. Е = 33,05 м~33 м; Р = 0,18794 (18,2-/0). Задача 77. Срединная ошибка равна 150 м. Чему равна средняя ква-драти^еская ошибка того же способа измерения? Ответ. Я2 ~ 222>4 м- Задача 78. Средняя арифметическая ошибка способа измерения равна 0-07. Чему равна средняя квадратическая ошибка того же способа?. Ответ. ?2 ~ 8,77 деления угломера. Задача 79. Средняя квадратическая ошибка способа измерения равна 53 м. Определить величину средней арифметической ошибки того же способа. О т в е т. Е1 к 42,3 м,. Задача 80. Какова вероятность того, что в установке уровня будет допущена ошибка не более 5 м, если одно деление уровня равно 20 м~> Ответ. 0,5. Задача 81. Деления на компасе нанесены чергз 1-00. Какова вероят-* ность, что при считывании азимута ошибка не будет превышать 0-30? Ответ. 0,6. Задача 82. При тех же условиях, что и в задаче 81, определить вероятность получения ошибки в пределах от - 0-20 до + 0-50. Ответ. 0,7. Задача 83. Определить срединную и среднюю квадратическую ошибки в установке прицела, если ЬХ = 60 м. Ответ. Ер = \5 м-, EZ = 17,3 м. ГЛАВА 6 СЛОЖЕНИЕ ЗАКОНОВ СЛУЧАЙНЫХ ОШИБОК Если при измерении возникают ошибки от нескольких "езависимых друг от друга источников ошибок, то ошибки измерения, как результат взаимодействия этих источников, будут ошибками суммарными. Такие суммарные ошибки, очевидно, будут следовать какому-то новому, суммарному (сложному) закону ошибок. Также очевидно, что этот новый закон ошибок должен отличаться от каждого из законов, которым следуют ошибки отдельных источников (групп источников) ошибок. Возникает вопрос, как найти этот новый закон, зная взаимодействующие законы, т. е. возникает вопрос о сложении этих взаимодействующих законов. Любой закон случайных ошибок характеризуется, во-первых, определенной зависимостью между величиной ошибки и вероятностью ее получения, что выражается соответствующим графиком, и, во-вторых, величиной срединной ошибки как меры точности этого закона. Следовательно, и для нового, суммарного закона необходимо найти эту зависимость и его срединную ошибку. Установим вид закона, получающегося при сложении нескольких законов Гаусса. Вспомним численный пример, в котором было установлено, что при взаимодействии трех групп источников ошибок результирующие ошибки следуют закону Гаусса, т. е. тому же закону, которому следовали ошибки этих групп в отдельности (§ 27, рис. 33). В дальнейшем (§ 29) этот вывод нашел подтверждение в том, что для ряда таких результирующих ошибок численные зависимости между Е, Е1 и Я, оказались такими, какие свойственны именно закону Гаусса. Можно Считать законы, которым следуют ошибки различных групп 148 источников, независимыми друг от друга законами Гаусса, а поэтому и сделать вывод, что при сложении нескольких законов Гаусса новый закон ошибок является также законом Гаусса. Остается для этого нового закона найти его срединную ошибку. Найдем для нового закона Гаусса сначала его среднюю квадратическую ошибку ?*-, а по ней - его срединную ошибку Е, исходя из того, что в законе Гаусса между срединной и средней квадратической ошибками существует зависимость: Е = -г Я2 или ?"-, = ~2 -?. Допустим, что в условиях данного измерения имеют место два закона Гаусса, средние квадратические ошибки которых, выраженные через математические ожидания квадратов, соответствующих этим законам ошибок Д' и Д% равны: ?7 = М.О.(Д'2) и я/^м.СЦД1'*). Каждая результирующая ошибка Д нового закона равна сумме ошибок взаимодействующих законов: Д-=Д'+Д", поэтому и средняя квадратическая ошибка Е может быть выражена через математическое ожидание квадрата этой суммы: ?22 = М.О. (Д2) = М.О. [(Д' + А")2] = М.О. [Д'2 -|- 2 Д'Д" + Д"2). Применив теорему сложения математических ожиданий., получим: ?22 -= м.О. [Д/2 Ч- 2 Д'Д" + Д'2] = М.О. (Д'2) + + М.О. (2 Д'Д") + М.О. (Д"2). В этом выражении М.О. (Д/2) и М.О. (Д"2) нам известны по условию: M.O.(A/2) = ?Y и М.О.(Д"2) = /5<2"2. По теореме умножения математических ожиданий М.О.(2 Д'Д") == 2-М.О. (Д')-М.О. (Д"). Но закон Гаусса симметричен - одинаковые по величине положительные и отрицательные ошибки равновероятны. Поэтому и математическое ожидание первой степени ошибки (с учетом ее знака) этого закона равно нулю, т. е. 2-М.О.(Д/)-М.О.(Д") = 2-0-0 = 0. 149 Я,*--=М.О. (Д'2) + М.О. (2>'Дг) + М.О.(Д''2) = ?'22 + 0-г-?У'2 = - Р' - _L F " 2 ---- 2 Т ^2 з откуда Ez = |/?'22 + ?"22-з f 3 3 Заменив в этом выражении Е2 = ^Е, ?'2 =-9-?' и ?V2== = -х-Е", получим: f *=> '(!*-)'+(.*• после сокращения Е = VE'z -f ?"2. Для трех законов Гаусса, применив тот же метод расчета, получим: Е= ]/?/2 4- -?" 2 + -5'"2, сложив сначала два закона Гаусса и затем сложив полученный результат с третьим законом Гаусса. Очевидно, тот же вывод мы получим и для любого числа взаимодействующих законов Гаусса: ?•=1/ 2?'а. 1 /7/ш сложении нескольких независимых друг от друга законов Гаусса срединная ошибка нового, сложного закона Гаусса равна корню квадратному из суммы квадратов срединных ошибок складываемых законов. Проверим этот вывод, воспользовавшись тем же численным примером получения случайных ошибок при взаимодействии трех групп источников ошибок (см. § 27, рис. 33). Там было три закона Гаусса, различающихся своими ошибками и вероятностями их получения. Определим для каждого закона в отдельности его среднюю квадратическую ошибку. Первая группа. Возможные ошибки: -8, -6, -4, -2, О, +2, +4, +6, и +8; соответствующие этим ошибкам вероятности .их получения: _L_ 8 28 _5б_ 70 56 28 _8 1 '256" ' "ШГ ' "256 ' 256 ' "256~' 256 ' 256~ • 256 И ~25~6~ ' Тогда средняя.квадратическая ошибка этого закона Г2 = J/^^Г^бТ^ . 2+16.-^ - 2+4-^6.2+оГ|6= -^/"2048 -/-5-= У "25Т =- * 8 ' 150 Вторая группа. Возможные ошибки: - 12, - $-, -4, О, +4, +8, +12; вероятности их получения соответственно: 1 б 15 20 15 6 1 ~ "64" • "64 ' 64 ' 64 ' 64 ' бТ и 64 • Средняя квадратическая ошибка этого закона ?",= /1^.2+64.^.2+16.^.2 + 0-1 = = /^=/24. Третья группа. Возможные ошибки: -15, -9, -3, -f-3, +9 и +15; соответственные вероятности: -^ " "32 ' "~32~ ' 32"' 32 и "32" • Тогда_______________ ^'2-/225..^.2+8l4-2 + 9.-|.2 = /iii0=l/45. Подставив квадраты найденных средних квадратических ошибок в общую формулу, получим: Ег = VE'l + Evl+E"l = К84-24 + 45 = 1/77 = 8,775. При определении величины средней квадратической ошибки по результирующим ошибкам (§ 29, стр. 140) был получен такой же ответ: ?2 = 8,775, что подтверждает правильность выведенной нами формулы, ибо если справедливо равенство E* = VE'\l+E*\ + E"\, то, на основании зависимости Ег - ^Е, будет справедливо и равенство __________ Е= У'Е'* + Е"г + Е"\ Пример 1. Имеем два закона Гаусса, срединные ошибки которых: ?' =200 м и ?"=50 м.. Чему равна срединная ошибка суммарного закона Гаусса? Решение. Здесь взаимодействуют два закона Гаусса, сргдинные ошибки которых по условию: Е' =200 м и Е" =60 м. Подставив эти численные значения в общую формулу, получим срединную ошибку нового, сложного закона Гаусса: Е = }/?'- + ?"2 = y"2W+60-^~ j/43600 к 209 м. Пример 2. При определении исчисленной дальности срединные ошибки законов Гаусса равны: при учете метеорологических, условий стрельбы -0,5"/о дальности, при учете балистических условий стрельбы - 0,3°/0 и при определении топографической дальности - 0,8%. Определить величину суммарной срединной ошибки. Решение. Подставив численные значения срединных ошибок взаимодействующих законов Гаусса в общую формулу, получим: Е = YE'2 + ?"2 + Е"'Ъ = У 0,52 +о,32+0,8- == |/0,25 + 0,09 + 0,64 = = |/03""1% дальности. 151 § 33. СЛОЖЕНИЕ ЗАКОНА ГАУССА И ЗАКОНА РАВНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ Чаще всего при артиллерийских измерениях действуют одновременно и законы Гаусса, и законы равной вероятности. Например, при изм' рении углов стереотрубой, т. е. при наведении трубы, мы допускаем ошибки, следующие закону Гаусса, а при снятии отсчетов с шкал той же стер! отрубы - ошибки, подчиненные закону равной вероятности, и т. п. Выясним, какой вид будет иметь сложный закон ошибок, получающийся при взаимодействии этих законов. Начнем со сложения закона Гаусса с законом равной вероятности, когда I < Е. Положим, что между параметрами ? и / законов Гаусса и равной вероятности имеется следующая зависимость: /=----. Найдем результирующие ошибки, получающиеся при взаимодействии указанных выше законов. Для упрощения расчетов будем складывать средние значения ошибок для равных по величине предел ж. Среднее ошибки, следующие закону равной вероятности, выразим при этом в долях срединной Е ошибки закона Гаусса, исходя из того, что /= -^ (табл. 14). Таблица 14 ^V A Б \. Ч* -Ъ±-Е *2 ? -\LE >2 ч- + 1* 44- + 2-J---- +3-1- Я -7Е 16е 63 ~~1б? 47 Р -Гбя 31 ~~ Г 6 ? -1-5* 16е + l4f + Гб? + Ш? 49 п + Г&Е 5 Р ~~16? -^F 16 45 Е 16 -3 29 "16Е ^F 16 Л 3 + F6f + И? 35 + F6f 51 ^ + 1б? -и'* -^Е 16 с 43 ~\ЪЕ -27? 16 ^ -^? 16^ + Гбя + 2г^ 37^ + Г6? 53 + fe? 1 ~16? ^Е ~16^ 41 F ~16Л -25? 16 -^ + ii? г 23 1. + Гб? 39 + Гб? 55 --+ Г6? + 16Я 55 "~ 16 ? 39 ~16? -^Е 16е ~16? + Гб^ 25 г + 16^ :+Гб? 57 V + 16? + ЪЕ -Я* 37 _ - р 16 с -2-^? 16е 5, ~16? + 1В? i 27р + 16 Е •*-1ё? 59 с-+ 16? + ГвЕ -5^ 35 с -Гб? ^-9? 16 ? 3 - F 16 ^ 13 + Гб* 29 + Гб^ 4-45F + Гб? 61 п + 16? + Y?,E 49 F ~16? -^Е 16 ? 17 -1ь? __ - Р 16 ^ + Гб? 31 + 16 ? 47 + Т6? 63 с + Гб? В верхней горизонтальной графе А приведены средние ошибки, следующие закону Гаусса, в левой вертикальной графе Б - средние ошибки^ следующие закону равной вероятности, а на пересечении этих граф - ре-зультирукш ие (суммарные) ошибки. Рассчитаем теперь вероятности получения каждой из этих результирующих ошибок. 152 /?о Результирующая ошибка --TQ-? получается при сложении средней ошибки 1 7 закона Гаусса -З-к Е со средней ошибкой закона равной вероятности - у-г ?"- Вероятность получения ошибки - 3-2 Е равна 0,02. Вероятность получения* 7 1 ошибки--j-g-Е равна -z - 0,125. Вероятность получения суммарной ошиб- 63 ки~~Тб~ по те°Реме умножения равна 0,02X0,123 = 0,00250. 47 Вероятность получения результирующей ошибки - -гтг Е как суммы-i ( - 22? J -f ( - j^E J равна 0,07 X 0,125 = 0,00875 и т. д. Сведем все расчеты в общую таблицу (табл. 15). Таблица 15* ^S\ A Б ^\ ч-0,02 Ч-0,07 -1^-Е •2 * 0,16 -1-Е 2 0,25 +!* 0,25 Ч -0,16 +2уЕ 0,07 +^Е 0,02 7 ~~16С 0,125 0,00250 0,00875 I 0,020000,03125 0,03125 0,02000 0,00875 0,00250 -5* 16 с 0,125 0,00250 0,00875 0,020000,03125 0,03125 0,02000 0,00875 0,00250 ~\6Е 0,125 0,00250 0,00875 0,020000,03125 i 0,03125 0,02000 0,00875 0,00250 1F ""IG^ 0,125 0,00250 0,00875 0,02000 0,03125 0,03125 0,02000 1 0,008750,00250 + Гб? 0,125 0,00250 0,00875 0,02000 0,03125 0,03125 0,02000 0,00875 0,00250 + il? 0,125 0,00250 0,00875 0,02000 0,03125 0,03125 0,02000 0,00875 0,00250 + fB? 0,125 0,00250 0,00875 0,02000 0,03125 0,03125 0,02000 0,00875 0,00250 + Г6? 0,125 0,00250 0,00875 0,02000 0,03125 0,03125 0,02000 0,00875 0,00250 •ч; 0,02 0,07 0,16 0,25 0,25 0,16 0,07 0,02 Сложив в вертикальных графах вероятности получения ошибок, замечаем, что вероятность получения ошибки в пределах от - -т-г^до-у^- Е 47 33 равна 0,02; вероятность получения ошибки в пределах от - ~\^Е до--тт- Е. 153- 31 17 равна 0,07; в пределах от- -т^Е до-jg? равна 0,16 и т. д. Получаем распределение вероятностей в точном соответствии с законом Гаусса. Следо- Е вательно, в случае, когда параметр закона равной вероятности / - -у , при сложении закона Гаусса с законом равной вероятности новый, сложный закон является законом. Гаусса. Это положение практически будет справедливо и в том случае, когда параметр / закона равной вероятности равен срединной ошибке Е закона -Гаусса, т. е. когда / = ?. Произведя расчеты, аналогичные расчетам при Е ~ ~2~ ' получим график такого суммарного закона (рис. 47). Р -5Е -4Е -ЗЕ -2Е -Е О +? +2Е +ЗЕ +4Е +5Е Рис. 47 Как мы видим, распределение вероятностей получения ошибки в этом суммарном законе очень мало отличается от распределения, свойственного -закону Гаусса. Следовательно, если при сложении закона Гаусса с законом равной вероятности величина параметра закона равной вероятности / не превышает величину параметра saKOFia Гаусса Е, т. е. если /<;?, то суммарный закон может быть принят за закон Гаусса. При / > Е суммарный закон уже нг будет законом Гаусса. Так, например, при / =2/: графически суммарный закон хотя и выражается кривой, как будто бы и похожей на кривую Гаусса, но в действительности 154 этот суммарный закон не может быть принят за закон Гаусса, так как распределение вероятностей в нем далеко не соответствует распределению вероятностей в законе Гаусса (рис. 48). При большой разнице между величинами параметров / и Е, например, при / = 4Е, суммарный закон даже в графическом выражении не напоминает закон Гаусса {рис. 49). Р + О Рис. 49 -"• Л 'При сложении закона Гаусса с законом равной вероятности средняя асвадрзтическая ошибка может быть выражена как •У Я'а2 + -V2, где ?'2 - средняя квадратическая ошибка закона Гаусса; Е"2 - средняя квадратическая ошибка равной вероятности. Подставив вместо ??"2 принятое выражение для средней квадратической "ошибки закона равной вероятности ,- - , получим: V з ъ = УЕ'*+ъ- Мы установили, что при сложении закона Гаусса с законом равной вероятности в случае, когда / Е (I - 2.5?). Это означает, что суммарный закон не является законом Гаусса, и формула f^l^f'2 + 0,10167- для него не пригодна. Для этого закона можно определить только era среднюю квадратическую ошибку ^=/^+т=/(-(Ш49-)2+Т- 1/5ПЙ+Т'-"." деления угломера. * * * Сопоставив приведенные случаи сложения законов Гаусса и закона Гаусса с законом равной вероятности, мы можем сделать следующие выводы: 1. Закон Гаусса обладает устойчивостью, которая выражается в том, что при сложении нескольких законов Гаусса суммарный закон является также законом Гаусса. 2. Закон Гаусса обладает свойством поглощать другие законы ошибок, в частности закон равной вероятности. Это" свойство закона Гаусса выражается в том, что, за сравнительно редкими исключениями, при сложении закона Гаусса с законом равной вероятности суммарный закон может быть принят за закон Гаусса. Эти свойства закона Гаусса обусловливают его чрезвычайно" широкое распространение; одно время даже полагали, что, кроме закона Гаусса, никаких других законов случайных ошибок и не существует. Эти свойства закона Гаусса и позволяют принимать ошибки, возникающие в процессе артиллерийских измерений, как ошибки, следующие закону Гаусса, хотя при этих измерениях помимо закона Гаусса имеют место и другие законы ошибок. § 34. ЗАДАЧИ НА СЛОЖЕНИЕ ЗАКОНОВ ОШИБОК Задача 84. Определить характеристики закона ошибок, получившегося в результате сложения трех законов Гаусса, срединные ошибки которых 4, б и 12 м. Ответ. Е=Н м: Е^ = 16,6 м; Е2 = 20,8 м. 156 Задача 85. Определить характеристики Закона ошибок, получающегося я результате сложения законов Гаусса, срединные ошибки которых 5, 11, 15 и 23 м О т в е т. Е =- 30 м\ Е± = 35,5 м; ?2 == 44,5 м. Задача 86. При измерении некоторого уг ia взаимодействуют два закона Гаусса, срединные ошибки которых 0 06 и 0-08. Какова вероятность того, •что угол будет измерен; с ошибкой, не превосходящей 0-15? О т в е т. Я = 0-10; Р = 0,68833 (680/0). Задача 87. При определении исчисленной дальности сречинные ошибки таковы: в учете метео юлогических уело шй стрельбы - -30 м, в учете ба-листических условий стрельбы - 26 лив определении топографической дальности-45 м. Чечу равна вероятность того, что исчисленная дальность •будет определена с ошибкой, не превышающей 50 мЗ (c) т в е т. Е = 60 м; Р = 0,42593 (42%). Задача 8S. При данном измерении взаимодействуют два закона Гаусса, -срединная ошибка одного из которых равна 32 м. Определить величину "срединной ошибки другого закона Гаусса; если суммарная срединная ошибка •равна 40 м. О т в е т. 24 ж. Задача 89. Укачать, какой суммарный закон получится при сложении закона .Гаусса, срединная ошибка которого равна 12 м, с законом равной вероятности, параметр которого / равен 4 м. Отвхт. Закон близок к закону Гаусса: Е - 12,1 м. I JlABA 7 ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ § 35. ПОДХОДЯЩЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ИЗМЕРЯЕМОЙ ВЕЛИЧИНЫ Артиллерийская стрельба, начиная с подготовки данных для открытия огня и кончая последней командой, вся построена на использовании результатов различного рода измерений" дальностей, углов, отклонений разрывов и т. д. Ошибки при измерениях неизбежны, измерение никогда не дает истинного (абсолютно точного) значения измеряемой величины. Поэтому при обработке результатов измерений прежде всего возникает вопрос, какое значение в результате произведенных измерений следует принять за истинное значение измеряемой величины, какое значение будет более всего подходить к этому истинному значению, т. е. будет иыеть наименьшую ошибку, если его принять за истинное. К отысканию такого подходящего значения мы и приступим. Допустим, что при измерении некоторой неизвестной нам величины способом, ошибки которого следуют закону Гаусса.. были получены следующие результаты: •^li --*2> -^3> • • • > Xg-i, Xg. Обозначим истинное значение измеряемой величины через XQ. Тогда ошибки этих результатов Д-ГГЛГ.-Хо. --*2 "-"• *^2 "^0- АЗ --хъ •% AS - Х8 "^О- 158 Сложим почленно эти равенства и определим истинное значение измеримой величины. - Д- + Д2 + АЗ + • • • + AS = *i + *г + *з -Ь • • • + Х8 - SXQ, откуда __xi + лг2 + дг3 4- ... + xs At + Л2 4- Д3 + • • • + -\s д:0 _ -j <г. Закон Гаусса симметричен - при достаточно большом числе измерений 5 каждой положительной ошибке будет отвечать примерно равная ей по абсолютной величине отрицательная ошибка и при сложении всех таких ошибок алгебраическая сумма их будет близка к нулю. Если же и получится небольшой остаток, он при делении на 5 станет в 5 раз меньше. Поэтому последним членом правой части приведенного выше-равенства можно пренебречь, и тогда Х^ + Х2 -+• Х5 + .. . 4- Xs __ XQ - ? • - t. За неизвестное истинное значение измеряемой величины принимают среднее арифметическое из всех отдельных результатов измерений, т. е, средний результат. Пример. Дальность до цели измерена одним и тем же способом 10 раз. Результаты измерения в делениях прицела таковы: 125,. 128, 116, 127, 121, 118, 123, 130, 120 и 122. Определить подходящее значение измеренной дальности. Решение. Подставим численные значения полученных результатов; измерения в общую формулу: " t 125+128+116+127-4-121 + 118+1234-1304-120-1-122 • 10Ч Лср = 6-----------------ш~---------------123. Следовательно, за истинное значение измеренной дальности можно принять дальность, равную 123 делениям прицела. Принимая средний результат | за истинное значение измеряемой величины х0, мы, естественно, и ошибки отдельных результатов будем определять относительно среднего результата. Обозначая такие ошибки через X, получим Xi-^г- | - •} ._v e Л2 - л2 ^ ^з - xz i xg = *s - H Ошибки, исчисленные относительно |, в отличие от ошибок истинных, исчисленных относительно дг0, обычно называются кажущимися ошибками. 159 Алгебраическая сумма кажущихся ошибок всегда равна тулю.ф Сложим почленно приведенные выше равенства: s s , Xj == 2^ xi "??" i i шо условию 5 2*1 s •4- = Ь или 2^ = ^, 1 *и тогда действительно s s 2*/ = 2*.-^=<>. Проверим это положение. В приведенном выше примере было '10 отдельных результатов измерений, причем средний результат оказался равным 123 делениям прицела. Рассчитав кажущиеся ошибки отдельных результатов относительно среднего, .получаем: ю ^А? =- + 2+5-7+4-2-5+0+7-3-1=0. i Если истинные ошибки Аь Д2, Д3... в условиях данного "измерения следуют закону Гаусса, то и кажущиеся ошибки А!, Х2, А3... в тех же условиях должны следовать этому же .закону, как ошибки того же порядка. В численном примере на 170 результатов измерения дальности {§ 27, табл. 4) ошибки отдельных результатов были опреде-.лены относительно истинного значения величины измеренной дальности, равной 3000 м. Допустим, что это истинное значение было неизвестно и ••ошибки отдельных результатов определены относительно среднего результата: 170 5 х ? = Т70-' = Т = 3000'047*- Округлив полученный результат до 3000 м (отбросив •остаток в 47 м), получим кажущиеся ошибки по величине и по знаку, ничем не отличающиеся от соответствующих им истинных ошибок, и исследование совокупности кажущихся -ошибок приведет к тем же выводам. 160 AI + A2 + Д3 + ... Ч- --s _п 8 ' Это допущение полностью справедливо только при бесконечно большом числе измерений, так как только в этом случае каждой положительной ошибке будет соответствовать равная ей по абсолютной величине отрицательная ошибка и алгебраическая сумма всех возможных ошибок будет равна нулю. При ограниченном числе измерений, с чем приходится иметь дело на практике, принимая средний результат | за истинное значение измеряемой величины XQ, мы делаем ошибку - ошибку среднего результата % - ? - Л1 + А2 + Д3+ ••• + Д.? О ---- ? XQ ---- -f Очевидно, что эта ошибка будет тем меньше, чем больше число S. Выше мы рассчитали среднюю величину дальности по 170 отдельным результатам измерения; ошибка среднего результата в этом случае 5==?^--3000-+Г7о^+0'047 м' Такая пренебрежимо малая величина ошибки среднего результата еще раз подтверждает правильность сделанного допущения. С уменьшением числа S ошибка среднего результата приобретает все более и более существенное значение. Так, ошибка среднего результата по первым 85 результатам измерения того же примера 5 - -?^--3000=+^^ + 5,259 м, а по первым 35 результатам 5105687 0 r\r\r\ . 687 1П гпс\ = -35---3 000 - -г -35" ~ 19,629 м. Помимо числа измерений, величина ошибки среднего результата зависит и от точности самого способа измерения - чем точнее способ, тем меньше отдельные ошибки, тем меньше * 2Д; их алгебраическая сумма и тем меньше о = ---- • Принимая средний результат за истинное значение измеренной величины, необходимо учитывать ошибку среднего результата. 11 - Зак.991 161 § 36. ПОДХОДЯЩЕЕ ЗНАЧЕНИЕ СРЕДИННОЙ ОШИБКИ Выше была установлена (см. § 30) зависимость между истинными ошибками отдельных результатов измерения и средней арифметической и средней квадратической ошибками, а через них и срединной ошибкой как основной характеристикой закона Гаусса. Приняв при обработке результатов измерений за истинное значение измеренной величины средний результат, получают не истинные, а кажущиеся ошибки. Отсюда, если значение срединной ошибки данного способа измерения неизвестно, то нужно установить правила определения подходящего значения срединной ошибки по этим кажущимся ошибкам. Начнем с отыскания выражения для подходящего значения средней квадратической ошибки, а от него перейдем уже к срединной ошибке. Установим предварительно зависимость между истинной и кажущейся ошибками. Истинная и кажущаяся ошибки любого отдельного результата измерения определяются формулами: -Jj == Xt XQ И Л| = Xi -- t~, или Д4 + *о = Xt И X, + | = Х" откуда AI + *о = \ + 1> или Д. = *i + (! - *о) = *t + &, т. е. истинная ошибка равна кажущейся ошибке плюс ошибка среднего результата. Перейдем теперь к решению поставленной задачи. Положим, что имеется ряд отдельных результатов измерения одной и той же величины: Х^, Х%, Х%, . . . , Xg, ошибки которых следуют закону Гаусса. Тогда, по только что установленной зависимости, •Д-.-ПХ-+5 А2 = Х2 + 5 А3 = Х3 + 5 As = As + 5 162 Ошибки Д4, Xt и 5 могут быть как положительными, так и отрицательными. Чтобы устранить влияние знаков при них, возведем все эти равенства во вторую степень: Д2 -Af + 2X15-f 52 Д22 = А22 + 2А25 + 52 Д2 = А32 + 2А35 +5- Д| = А| + 2А85 + 62 Сложив почленно эти равенства, получим: s s s Zv = 2v + 2B2*. + -s&'. 1 1 1 Алгебраическая сумма первых степеней кажущихся ошибок, как известно, всегда равна нулю. Отсюда и средний член правой части нашего равенства 5 252 V= О, 1 и тогда 5 2А*2 =------ V + ^2. 1 1 В этом равенстве по условию нам неизвестны 2 Дг2 и 52. Чтобы избавиться от 52, воспользуемся выражением д1 + Д2 + Д8 + ... + Д5 6==--------5------- и возведем его в квадрат: _ ^А1 + Д2 + Д3 + ...+А5 у О --- I г> / • V "Ь J По общему правилу возвышения многочлена во вторую степень будем иметь: 5 S (д. + д2 + А3 +... + д5)2=2v + 22Д*Д/" 5 2Xv = 2(ДА + Д1Аа + • • • + Д1^) + 2(Д2д, + ДА + 1 + . .. + Д2Д5) + 2 (Д3Д4 + Д3Д5 + . .. + Д3Д5) + 2 (Л5_2 Д5_1 + + Д^-2 ---5 ) -р 2Д^-1 --5-И* 163 Все эти произведения как произведения случайных ошибок, следующих закону Гаусса, могут быть как со знаками "плюс", так и со знаками "минус", и при достаточно большом числе измерений их алгебраическая сумма будет очень близка к нулю. Поэтому, пренебрегая в выражении 5 5 A J-A -UA -L 0-A\2 2Аг2 22ДА-' "" / Л1 + Л2 + А3 + "-+ Л5 } 1 . 1 о =-----------; -= -^-|- ?2 I ?8 последним членом, получаем: S S IW 2V 5чЗ - 1___ _ J_____L u ~ 5- ~~ 5 5 ' Сумма квадратов ошибок, деленная на число измерений, может быть принята равной квадрату средней квадратической ошибки. Отсюда К-= ?2 JL 0 С2" S ' Вернемся к равенству s s 2V=ZV+S62; 1 1 левая часть его может быть представлена, как s 5 2--i2 2д2_ J___ С_ ?20 д. _ о - /з2о, 1 а после замены в правой ее части & = ?%•-?-, получим: 5 SEl^ У^* + Е1 1 откуда s 5 SEl-~ El= 2V, или El (5-1)= 2V. i i или, решая относительно ?2, 5 2V ^2 - 5=1 тогда Е9 = / х? + Х22 + X? + ... + Х| 2-|/----^_--- Подходящее значение средней, квадратической ошибки при обработке результатов измерения принимаете я равным 164 корню квадратному из суммы квадратов ошибок отдельных результатов, деленной на число измерений без одного, Для перехода от этой средней квадратической ошибки к срединной ошибке будем пользоваться известной зависимостью Е = 0,67449 ?2^-|~?2. При выводе выражения для средней квадратической ошибки по результатам обработки измерений было принято, что сумма о ^2Д^Л/ близка к нулю и математическое ожидание заменено 1 средним значением квадрата ошибки, что допустимо только при очень большом (правильнее - бесконечно большом) числе измерений. При ограниченном числе измерений эти допущения вызывают ошибку в определении средней квадратической ошибки, а отсюда и срединной ошибки. Поэтому обработка результатов измерений может дать только подходящее значение срединной ошибки, которое будет тем ближе к истинному, чем больше было произведено измерений. Пример 1. При измерении базы шагами были получены следующие отдельные результаты измерения в метрах: 400, 360, 390, 370, 350, 360,380, 420, 390, 400, 380, 410, 370, 340, 370 и 390. Определить подходящее значение срединной ошибки по средней квадратической ошибке. Решение. Ход решения подобных задач т?ков: сначала определяем средний результат, приняв его за истинное значение измеренной величины, затем рассчитываем кажущиеся ошибки отдельных результатов, возводим эти ошибки во вторую степень, находим среднюю квадратическую ошибку по выведенной нами формуле и, наконец, определяем величину срединной ошибки. Удобнее всего решение производить, размещая все данные в такой таблице. • Z Xi S х; X2 i 1 400 380 ! +20 ! 400 2 360 380 -20 400 3 390 380 + 10 1 100 4 370 380 -10 100 5 350 380 -30 ! 900 6 360 380 -20 400 7 380 380 0 0 8 420 380 +40 1600 9 390 380 + 10 i 100 10 400 380 +20 400 11 380 380 0 i 0 12 410 380 +30 1 900 13 370 380 -10 100 14 340 380 -40 1600 15 < 370 380 -10 100 16 390 380 + 10 100 S 6080 1 6080] 0 7200 6080 ~1б~ = 380 м. , /7200 - V ~Ts~ 21,91 м. Е = 0,67449-21,91 л 14,78 м. 165 Пример 2. При подготовке исходных данных были получены следующие исчисленные дальности до одной и той же цели в метрах: 4625, 4590 4560, 4620,4600,4655, 4635, 4610,4640, 4585, 4615, 4595, 4620,4675 и 4660. Определить число выполнивших подготовку на "отлично", "хорошо" .посредственно" и "плохо*, если срединная ошибка определения дальности выданных условиях неизвестна, а для получения отличной оценки ошибка не должна превосходить одной срединной ошибки, для получения хорошей оценки - двух срединных ошибок, для получения посредственной оценки - трех срединных ошибок и для получения плохой оценки - более трех срединных ошибок. Решение. ,2 i -Vj Е ^ Л| Оценка 1 4625 4619 + 6 36 Отлично 2 4590 4619 -29 841 Хорошо 3 4560 4619 -59 3481 Посред- ственно 4 4620 4619 +• 1 1 Отлично 5 4600 4619 -19 361 Отлично 6 4655 4619 +36 1296 Хорошо 7 4635 4619 + 16 256 Отлично 8 4610 4619 - 9 81 Отлично 9 4640 4619 +21 441 Хорошо 10 4585 4619 -34 1 156 Хорошо 11 4615 4619 - 4 16 Отлично 12 4595 4619 -24 576 i Хорошо 13 4620 4619 + 1 1 Отлично 14 4675 4619 +56 3136 Посред- ственно 15 4660 4619 +41 1681 Хорошо 2 69285 69285 0 13360 S-= 69285 = 4619 м. 15 ?> = = 30,89 м; Е = 0,67449-30,89 = 20,835 м. ? = 20,835 м; 2Я = 41,67 м; 3? = 62,505 м. Выполнение: "отлично"-7, "хорошо"-6, "посредственно" - 2. Перейдем к отысканию подходящего значения средней арифметической ошибки. Для истинных значений ошибок средняя арифметическая ошибка 5 21Д|.' Р _ i__ ^i S 166 и средняя квадратическая ошибка S При достаточно большом числе измерений кажущиеся ошибки по величине и по знаку равны соответствующим им истинным ошибкам. Исходя из этого, заменим в указанных выражениях Д, на Х" и тогда •s /~s~ 2№ /2x^2 Е' = -__• я Я" -Л/ l --:- - 5 , а ?2 - у - • Подходящее значение средней квадратической ошибки определяется формулой /2Х? Ь' Е*=\ Ь л нужно найти подходящее значение средней арифметической ошибки. Полагая, что между подходящими значениями средней .арифметической и средней квадратической ошибок имеется та же зависимость, что и между их истинными значениями, т. е. ?/ = 0,79787Я2' и ?1 = 0,79787?2 (см. стр. 141), составим пропорцию: р . р _р '. р ' *-\'1-^ -------- ---] "---2 " откуда подходящее значение средней арифметической ошибки р _р ' Ез ci - ?-1 ЕЪГ ' или, произведя соответствующие подстановки, 5 Т/ Т ' 5 2|>ч1 I/ .с^т 2|Х-| ,-- 1/fe Г|ЛЛ Г ^-i Т1^1 ,/- _41>, -,/' Cl .Г" ГТ-~~~S~ ' F S=i~t( *' ' У 5-(S-l)' V- 2 V Т" а в окончательном виде 5 2ixfi ? - --1-^1 -Т77? V5(S-1)' Пример 3. Определить при тех же условиях, что и в примере 2, подходящее значение срединной ошибки по средней арифметической. 167 Решение. Сложим абсолютные значения кажущихся ошибок отдельных результатов: , 15 2 |Х,| = 6-f29-f 59+l + 19+36-|-16-f9+21 +34+4+24+1+56+41 =356. 1 Тогда подходящее значение средней арифметической ошибки 356 356 356 ?- = |/15(15-1) = J/210 ~ Щ9Н ~ 24'5663 м> а подходящее значение срединной ошибки Е = 0,84535-24,5663 ж 20,867 м. Часто, вместо выведенного нами выражения, пользуются более простой для расчетов формулой 5 -Sity Е' - - ^ - s и тем самым получают несколько преуменьшенные подходящие значения средней арифметической, а отсюда и срединной ошибки. § 37. СРЕДИННАЯ ОШИБКА СРЕДНЕГО РЕЗУЛЬТАТА Принимая средний результат за истинное значение измеренной величины, мы допускаем ошибку среднего результата. Очень легко убедиться в том, что эта ошибка при одном и том же способе и одном и том же числе измерений для каждого отдельного среднего результата будет различной по величине и по знаку, если средний результат определять по различным отдельным результатам измерения. Воспользуемся еще раз 170 результатами промера расстояния шагами (см. § 27, табл. 4). Определив средний результат по первым 17 отдельным результатам промера (с № 1 по № 17), получим: gj ---s -TJ~~ -- о02о,оо м, откуда ошибка этого среднего результата 5. = ?. - *0 = 3025,35 - 3000 = + 25,35 л; вторая группа из следующих 17 результатов (с № 18 по № 34) даст нам: С1ПЧ1 52 = ?2 -*0=^^ - 3000=3013,59 - 3000= + 13,59 м; ошибка среднего результата третьей группы из 17 отдельных результатов (с № 35 по № 51) будет равна 53 = |3-*0 = 5-^ - 3000 = 2991,41 -3000 = -8,59 м. и т. д. 168 Каждая из рассчитанных таким методом ошибок 5Ь 52, 5S и т. д. носит, несомненно, случайный характер, ибо случайна последовательность получения отдельных результатов при многократном измерении одной и той же величины. Поэтому ни одна из этих ошибок не может быть принята как мера, характеризующая точность определения среднего результата при данном способе измерения и данном числе измерений. Очевидно, что точность среднего результата должна характеризоваться какой-то своей срединной ошибкой-срединной ошибкой среднего результата. Срединная ошибка Е данного ряда измерений определяется из совокупности ошибок отдельных результатов измерения,, образующих этот ряд. Следовательно, по аналогии можно утверждать, что и срединная ошибка среднего результата также-должна определяться из совокупности ошибок отдельных средних результатов при том условии, конечно, что способ измерения один и тот же и каждый отдельный средний результат рассчитан для одного и того же числа измерений. Найдем выражение для такой срединной ошибки. Предположим, что одна и та же величина одним и тем же способом была измерена N (например, 170) раз и все отдельные результаты измерения в порядке последовательности их получения были разбиты на К (например, 10) групп по S (по 17) результатов в каждой. Найдем для каждой из этих групп ее средний результат,. а для каждого такого среднего результата его ошибку: &i, ^з> Ь3, . . . ,Ък . В предыдущем параграфе (см. стр. 164) было установлено,, что ошибка среднего результата связана со средней квадра-тической ошибкой из квадратов ошибок отдельных результатов следующей зависимостью: 5*2 __ F - L О - ?2 5 • Ошибки отдельных средних результатов, рассчитанных для одного и того же числа, измерений, различны по своей величине. Поэтому будут различны по величине и соответствующие им средние квадратические ошибки, т. е. ч _ Я"2 -^2 1 ' 5 ц р"2 - 1-2 1 ' 5 ц __ F'"2 ^2 1 ' 5 ъ __ етс2 - ^2 1 '8 Сложим почленно эти равенства: 5;+522 + Ь2+. . .+5? = -1 (Ef + Ef + Е1;2 + . . .+??). 169 В правой части этого равенства получена сумма частных случайных значений квадрата средней квадратической ошибки. Когда мы имеем ряд частных случайных значений измеренной величины, за подходящее ее значение мы берем средний результат. Очевидно, что, имея ряд частных случайных значений квадрата средней квадратической ошибки, мы можем за подходящее его значение взять также средний результат, т. е. взять среднее значение квадрата средней квадратической юшибки: 4V?f-f?;"2+ . . . + Ер /j ._.," Я2 + Е? + Щ'2 + • • • + --if2- KE,\ 2 - К откуда ^2 ' -^2 ' -"2 i • • • i --2 Тогда сумма квадратов ошибок отдельных средних результатов §2 I 52 -4- 52 -4- 4- 52 = -?2 ui " "2 "^ из ^ • • • • "к - s 2 • Разделив обе части этого равенства на К, получим: "1 + "з + *з+ • • •+** Е\ К ~~ S' Так же, как и для ошибок отдельных результатов измерения, сумма квадратов ошибок отдельных средних результатов, деленная на число таких результатов, есть не что иное, как квадрат средней квадратической ошибки среднего результата. Обозначив эту ошибку через /?2, получим: F2 D2__ С2 Я2-_. Срединная ошибка среднего результата, обозначаемая R, •связана со средней квадратической ошибкой среднего результата той же зависимостью, что и срединная и средняя квад-ратическая ошибки Е и Е2: ?• = 0,67449 ?2 и /?=-- 0,67449 /?2. Поэтому, заменив средние квадратические ошибки соответствующими им срединными ошибками, получим: г,2_?2 * - S> или /?- Е *-уъ- Срединная ошибка среднего результата равна срединной ошибке способа измерения, деленной на корень квадратный из числа измерений. Покажем справедливость этой формулы на численном примере. Найдем для этого ошибки всех 10 средних резуль- 170 татов, о которых говорилось выше, и по этим ошибкам определим величину R всеми известными нам способами. Расчеты сведем в общую таблицу (табл. 16). Таблица 16 № группы № измерений гх1 ? 8 82 1 1-17 51431 3025,35 +25,35 642,62 2 18-34 51 123 3013,59 + 13,59 184,69 3 ОО ^ •-• 50854 2991,41 - 8,59 73,79 4 52-68 51 104 3006,12 + 6,12 37,45 5 69-85 50737 2984,51 -15,49 239,94 6 86-102 50967 2998,06 - 1,94 3,76 7 103-119 50711 2983,00 -17,00 289,00 8 120-136 50946 2996,82 - 3,18 10,11 9 137-153 51636 3037,41 +37,41 1399,51 10 154-170 50391 2964,17 -35,83 1283,79 2|5| = 164,5 и 252 = 4164,66. Срединная ошибка среднего результата по данным этой таблицы: 1. По средней арифметической ошибке: п 0,84535-164,5 лл г, ^--ушг =14>64Л- 2. По средней квадратической ошибке #Ез = 0,67449 |/ ^Ь-^ = 14,52 м. 3. По месту в ряде абсолютных значений ошибок Rfp_ .3.59 + .5.49 =14>54ж Выше (см. § 28, табл. 9) было установлено, что срединная ошибка способа измерения в условиях данного примера равна 60 м. Тогда по выведенной формуле 60 /v = ,/• ту = 14,55 м. Как видно, по своей величине все эти численные значения ошибки среднего результата очень близки между собой. Пример 1. Определить срединную ошибку среднего результата, если срединная ошибка способа измерения равна 40 м и средний результат был найден^по четырем измерениям. Решение. По условию ? = 40 и 5 = 4; подставив эти численные значения в общую формулу, получим: 40 Л=_.=20ж. 171 Пример 2. Один и тот же угол был измерен одним и тем же способом 16 раз. Найдем срединную ошибку среднего результата, если срединная ошибка способа измерения равна 0-02. Решение. ?? = 0-02 и 5=16, тогда 2 к=7ъ 0,5 деления угломера. Пример 3. При измерении одного и того же угла одним и тем же способом были получены следующие результаты: 8-69, 8-71, 8-70, 8-72, 8-66, 8-70, 8-73, 8-69, 8-68, 8-74, 8-69, 8-70, 8-72 и 8-67. Определим точность этого измерения. Решение. Найдем для этого срединную ошибку среднего значения измеренного угла (среднего результата). Срединная ошибка способа измерения не дана - определим ее по результатам (ошибкам) отдельных измерений,. а потом по величине Е найдем и /?. i XI ? Ч * 1 8-69 8-70 -0-01 1 2 8-71 8-70 +0-01 1 3 8-70 8-70 0-00 0 4 8-72 8-70 +0-02 4 5 8-66 8-70 -0-04 16 6 8-70 8-70 0-00 0 7 8-73 8-70 +0-03 9 8 8-69 8-70 -0-01 1 9 8-68 8-70 -0-02 4 10 8-74 8-70 +0-04 16 11 8-69 8-70 -0-01 1 12 8-70 8-70 0-00 0 13 [ 8-72 8-70 +0-02 4 14 8-67 8-70 -0-03 9 S*. = 121-80; < 121-80 • = 8-70; -- и S |Xf| = 0-24; ЕЕ = 0,84535- 2-L_ = 1,51 деления '' у 14-13 угломера. SX? = 0-66. I /1~с*Ъ. -|3= 1,52 деления ЕРР = угломера 0-01+0-02 1,50 деления угломера. Получено три численных значения срединной ошибки способа (точнее - ряда) измерения. Примем с округлением Е-\,Ь деления угломера, и тогда R 1,5 ]/14 0,4 деления угломера. Если срединная ошибка способа измерения Е служит для характеристики того закона Гаусса, которому следуют ошибки отдельных результатов измерения, то и срединная ошибка среднего результата R будет характеризовать также закон Гаусса, но применительно к ошибкам отдельных средних результатов. То, что ошибки отдельных средних результатов следуют именно закону Гаусса, видно из самой формулы срединной ошибки среднего результата. По этой формуле срединная ошибка среднего результата R зависит только от величины срединной ошибки способа измерения Е и числа измерений S. Если же срединная ошибка способа измерения Е является 172 параметром закона Гаусса, то и срединная ошибка среднего результата R будет параметром также закона Гаусса, но параметром в Y"S раз меньшим. Отсюда, зная величину срединной ошибки среднего результата и пользуясь шкалой ошибок или таблицей значений •<->((-•), можно рассчитать вероятности получения ошибки среднего результата в каких-то заданных пределах, или иначе говоря, вероятности того, что в этих пределах заключено истинное значение измеренной величины. Пример 4. Срединная ошибка среднего результата равна '10 м. Найдем вероятности получения ошибки среднего результата в различных по величине и знаку пределах, выраженных в целых R, или, иначе говоря, найдем вероятности того, что истинное значение измеренной величины заключено в таких-то пределах. Решение. Для большей наглядности построим шкалу ошибок, выразив ее в #-10 м (рис. 50). •UOM -ЭОм -20м -10м -МОм +20м +30м +Ь0м -4R -ЗЯ -ZR -R О +R +2Я +ЗЯ +4Я 0,02 0,07 0,16 0,25 0,25 0,16 0,07 0,02 Рис. 50 При рассмотрении этой шкалы можно сделать следующие выводы: 1. Практически предельной ошибкой среднего результата можно считать ошибку, равную-±4tR- ±40 м. Это означает, что, приняв в условиях данного примера средний результат за истинное значение измеренной величины, мы ошибемся не более чем на ±40 м. В пределах от § - 4/? до ?+4/? будет практически заключено это истинное значение. 2. Вероятность получения ошибки среднего результата в пределах от О до ± /?, т. е. от 0 до ± 10 м, равна по теореме сложения 0,25-J-0,25=0,5, Иначе говоря, 0,5 есть вероятность того, что истинное значение измеренной величины заключено в пределах от ?-10 м до 54-10 м. Вероятность того, что истинное значение измеренной величины заключено в пределах от ?-20 м до § + 20 м (вероятность ошибки от 0 до ± 2R) равна 0,16+0,25+0,254-0,16=0,82 (по таблице значений Ф(3)-0,82266) и т. д. 3. Вероятность получения ошибки среднего результата в пределах от О до + R, т. е. от 0 до + 10 м, равна 0,25; в пределах от + К до + 2/? (от +10 до +20 м) равна 0,16 и т. д.; те же значения вероятности будут для пределов от 0 до - /?, от - R до - 2R и т. д. Пример 5. При 16 измерениях дальности средний результат равен 3200 м. Найти вероятность того, что истинное значение измеренной дальности заключено в пределах: а) от 3180 м до 3220 м; б) от 3170 м до 3 230 м; в) от 3155 м до 3245 м\ г) от 3140 м до 3 160 м; д) от 3 200 м до 3 250 м; е) от 3150 м до 3225 м; если срединная ошибка способа измерения дальности равна 80 м. Решение. Найдем сначала срединную ошибку нашего среднего результата: A>:,_^=20.W. 1/16 Построим для этого значения /? шкалу ошибок (рис. 51): а) вероятность того, что истинное значение измеренной дальности заключено в пределах от 3 180 до 3220 м, равна вероятности получения "шибки от 0 до ± 20 м (от 0 до ± 1,0/?), т. е. ра -0,25 + 0,25 = 0,50; *8Пм - 60м ->-iiOM + 20М О 20м 40м ~вОм ~80М ^оТ ; о.о? ; 0,75 ; 0,25 ! о,га ! otw \ о,о? | о>02 ; II. i , 3120м 31ьОм 3160м 31вОм 3200м 3220м 32UQM 3260м 3280м Рис. 51 б) вероятность того, что истинное значение дальности находится в пределах от 3 170 до 3 230 м или вероятность получения ошибки от 0 до> ± 30 м (от 0 до ± 1,5/?) рб - 0,09 + 0,25 + 0,25 + 0,09 = 0,68; точнее, по таблице значений Ф(Р): рб = Ф (1,5) = 0,68833; в) вероятность ошибки в пределах от 0 до d:45 л/, или - в долях /? - от 0 до ± 2,25/?, равна рв = 0,024 + 0,16+0,25+0,25+0,16+ 0,024-0,868 (по шкале); рк =Ф (2,25) = 0,87088 (по таблице); г) вероятность ошибки в пределах от ±40 м до +60 м, т. е. от +2/? до -J-3/?, равна Яг-0,07, или Pt = -L [Ф (3,0,-Ф(2,0)]= 0.956^8-0.82266 _ Q^IK д) вероятность ошибки в пределах от 0 до - 50 л, или от 0 до"-2.5/?;, равна рл =0,25+0,16+0,04=0,45, или Р&=~- Ф (2,5) =0,45413; е) вероятность ошибки в пределах от -25 м до +50 м, -т. е. от -1,25/? до +2.5/?, равна рс =0,05 + 0,25+0,25+0,16+0,04-0,75, или • Л = 4-[*0.24 +ФВД! --------?-------= 0,75454. 174 До сих пор по заданной величине срединной ошибки способа измерения Е и заданному числу измерений 5 определялась величина срединной ошибки среднего результата R. Понятно, что можно задаться определенными значениями Е и R и по ним найти число S, удовлетворяющее заданному соотношению между Е и /?, т. е. можно найти такое необходимое число измерений, при котором срединная ошибка среднего результата будет иметь желаемое численное значение. JP Решим равенство R = -p= относительно S: Vs 1/"о~ Е г> / Е \- yS = ---,, или S=(-?-x Пример 6. Сколько необходимо произвести измерений, чтобы срединная ошибка среднего результата была равна 0-05, если срединная ошибка способа измерения равна 0-20? / Е \- /20\- Решение. 5 = ( -?> = -F~ =42=16 измерений. V HJ \ b J Пример 7. Срединная ошибка способа измерения дальности равна 50 м. Сколько следует произвести измерений, чтобы срединная ошибка в опреде-. лении дальности была равна 20 м! ( 50 \-Решение. S = / _ | =2,5- ж 6 измерений. \ 20 / Можно задаваться и предельной по величине ошибкой среднего результата, принимая такую ошибку, как правило, равной -± 4R. Пример 8. Срединная ошибка способа измерения равна 0-05. Сколько необходимо произвести измерений, чтобы средний результат был найден с ошибкой, не превышающей 0-10? Решение. Примем предельную ошибку среднего результата 8maz= ±4/? =±0-10, отсюда R = - =2,5 деления угломера, а искомое число измерений S= (25 =4' \^J Если бы требовалось, чюбы предельная ошибка была равна не 0-10,. а только 0-05, TQ 5 / 5 V /?=-j- = 1,25 деления угломера и 5= ( г^ ) = 16. Точность результата измерения можно повысить, повысив^ точность самого способа измерения, т. е. уменьшив его срединную ошибку или увеличив число измерений. В конкретных условиях величину срединной ошибки способа измерения изменить невозможно, так как она опреде- 175 ляется свойствами приборов измерения, качествами самого измеряющего, обстановкой, в которой производится измерение, и пр. Поэтому остается второй путь - повысить точность результата измерения за счет увеличения числа измерений. Увеличение числа измерений связано, прежде всего, с расходом времени, а при измерениях отклонений разрывов и -с расходом снарядов. Поэтому приходится ограничиваться, как правило, сравнительно небольшим числом измерений. Посмотрим, какое же увеличение числа измерений будет наиболее эффективным с точки зрения повышения точности результата измерения. Рассчитаем для этого срединные ошибки среднего результата R при различных численных значениях 5" и найдем изменения срединной ошибки среднего результата А/? в долях Е и в процентах для каждого последующего измерения (табл. 17). Таблица 17 5 R ДЯв Е ЛЯ в °/0 5 R ЛЯв? дя В °/о 1 Е 6 0,408? 0,039 8 о ,-; 2 0,707Я 0,293 29,3 7 0,378? 0,030 7,4 3 0,577? 0,130 18,4 8 0,353? 0,025 6,6 4 0,500? 0,077 13,3 9 0,333? 0,020 5,7 5 0,447 Е 0,053 10,6 10 0,31б? 0,017 5,1 Эта таблица показывает, что наиболее существенное приращение точности может быть получено только при первых измерениях. Так, при одном измерении R = E, при двух измерениях R = 0,7Q7E, что по сравнению с первым результатом уменьшило величину R на 0,293Е, или на 29,3°/0, при трех измерениях R~0,577E, что по сравнению с предыдущим результатом дало уменьшение R на 0,130/?, или на 18,4°/0, и т. д. Особенно резкое сокращение R дают второе, третье измерения. Поэтому при всякой к тому возможности измерение величины следует производить не менее 2--3 раз. После четырех измерений приращение точности резко падает. Поэтому, определяя при стрельбе по отклонениям разрывов положение средней траектории, ограничиваются четырьмя измерениями, и только в случаях, требующих особой точности, доводят число измерений до девяти. Дальнейшее увеличение числа измерений настолько незначительно способствует повышению точности результата измерения, что применяется, как правило, только при производстве измерений, носящих научно-исследовательский характер. - 176 § 38. ПОДХОДЯЩЕЕ ЗНАЧЕНИЕ СРЕДИННОЙ ОШИБКИ ПО РАЗНОСТЯМ МЕЖДУ ОТДЕЛЬНЫМИ РЕЗУЛЬТАТАМИ Подходящее значение срединной ошибки Е может быть найдено и непосредственно по результатам отдельных измерений, без предварительного определения численных значений кажущихся ошибок. Этот способ заключается в том, чго срединная ошибка определяется по разностям между соседними отдельными результатами измерения. Далее будут указаны случаи, когда такой способ является не только более выгодным, но и единственно возможным. Допустим, что имеется ряд отдельных результатов измерения одной и той же величины одним и тем же способом: •*!" -*2i -*8" • • • 1 XS' Условимся, что ошибки этих результатов следуют закону Гаусса. Рассчитаем кажущиеся ошибки этих результатов: -i = *i - * ^2 == •*_ - ' /3 = Х§ - С, Xs = xs - -• откуда *!=*, +5 *2 = Х2 + 5 *з = хз + S *S = XS + ? Возьмем разности между двумя соседними результатами, вычитая всегда предыдущий результат из последующего, и обозначим эти разности через и: *г - xi = (Х2 + 5) - (Ч + 5) = Х2 - Ч = "1 •*3 -*2 = (Х3 + 2) - (Х2 + ?) =Х3 - *2 = Н2 Xi - x3 = (Х4 + g) - (Х3 + |) = Х4 - Х8= us *5 - ^5-1 = (Х5 + -) - (\S-1 + -) = Х5 - Х5-1 = "5-1 Таким образом, разности между отдельными результатами мы заменили разностями между соответствующими им кажущимися ошибками и получили "S-1 значений таких разностей. Возведем во вторую степень эти разности: Х2 -2 X2Xj -j- Xj = ut X3 -2 X3X2 + X2 = u2 X4 -2 X4X3 -f- X3 = u3 X5 - 2XS X5_1+X5_1 = и5-1 12 - Зак. 991 177 и сложим их почленно: (*2+ *3+ Х4 +- ' • + * J) ~ 2 (^2 + ^3 + ?4 + • • • + W*5 > f + $+ll + %+... + \*_d-u*l + t% + i%+... + ul_l. Исходя из симметричности закона Гаусса, мы можем пренебречь суммой парных произведений кажущихся ошибок ^2 + ^3 + Х3Х4 + • • • + \S-1^5 ' так как она при достаточно большом числе измерений будет близка к нулю,, и тогда 5 S-1 5-1 2х2 + 2х2=2ы2 2 1 1 Посмотрим, что представляет собой левая часть этого равенства. Начнем со второго слагаемого 5-1 2*;. 1 Если бы мы имели 5 результатов измерения, а отсюда и 5 кажущихся ошибок, то по известной формуле подходящее значение средней квадрати-ческой ошибки я2 = Но у нас в выражении /?. 2-? имеется сумма квадратов не 5 кажущихся ошибок, a S без одной; при таком числе кажущихся ошибок подходящее значение средней квадратиче-ской ошибки должно быть выражено: ?2 = откуда Слагаемое также представляет собой сумму (S-1) квадратов кажущихся ошибок. Поэтому и это слагаемое мы можем заменить выражением 4(5-2), и тогда равенство /s-i ** -М /5-1 2Xf 1 (S-l)-l V ?|(5-2)i~2Xf. 1 5 2х2 2 ' S-2 ' 5 5-1 5-1 2A?V +2 Х? = 2 и? 178 примет вид 5-1 2 aj = ?22 (S - 2) + ?22 (5 - 2) = 2?-2 (5 - 2). Решая это равенство относительно ?2, получим: 5-1 ?3= ' , |"? 2 5 - 2 или В законе Гаусса срединная ошибка Е связана со средней квадратиче-ской ошибкой ?2 следующей зависимостью: Е - 0,67449 Ег. Допустив, что разности и как разности между случайными ошибками" следующими закону Гаусса (см. стр. 177), следуют также этому закону, заменим ?2 на Е и получим: Р 0,67449 - С - -:----- /2 или, после деления 0,67449 на V%, Еи = 0,47694 / Ц1- + ц-2 + и2з + . . • + H2s_i S -2 Вернемся к равенствам: Щ = ^ - h --2 - ^3 - ^2 U3 - ^4 - ^3 "5-1 - ^5 ^5-1 сложим их почленно: Hl + "2+"3+. • • + "5-l=*2 - Xl + ^3 - *2 + Х4 - *3+ • • • +Х5~Х5-1. Тогда после приведения подобных членов получим: 5-1 2 ц,- = \s - Xj rr л:5 - х\. Алгебраическая сумма разностей равна разности между последним и первым результатами измерения. Этим равенством будем пользоваться при проверке правильности расчетов отдельных разностей. 12* 179 Пример 1. При засечке батареи противника с помощью БЗР были получены следующие отдельные результаты 10 измерений в метрах: 5750, 5870, 5940, 5780, 5860, 5840, 5790, 5900, 5800 и 582J. Определить подходящее значение срединной ошибки этого ряда измерений. Решение. № Xi - xt _ ! ui •? , 5870-5750 + 120 14400 2 5940-5870 + 70 4900 3 5780-5940 -160 25600 4 5860-5780 + 80 6400 5 5840-5860 - 20 400 6 5790-5840 - 50 2500 7 5900-5790 + 110 12 100 8 5800-5900 -100 10000 9 5820-5800 + 20 400 S +70 76700 Проверка: 5820-5750=+70 м. Eu =0,47694]/ -^^-=46,31 м. Пример 2. При определении начальной скорости стрельбой были получены следующие результаты 12 отдельных изме >енкй в м\сек\ 577,9; 582,1; 580,3; 581,6; 578,7; 579,6; 580,8; 578,2; 582,0; 581,1; 578,8 и 580,5. Найти подходящее значение срединной ошибки. Решение. № *t-*i-i и. •? 1 582,1-577,9 +4,2 17,64 2 580.3 - 582,1 -1,8 3,24 3 581,6 - 580,3 + 1,3 1,69 4 578,7 - 581,6 -2,9 8,41 5 579,6 - 578,7 +0,9 0,81 6 580,8 - 579,6 + 1,2 1,44 7 578,2 - 580,8 -2,6 6,76 8 582,0 - 578,2 +3,8 14,44 9 581,1 -582,0 -0,9 0,81 10 578,8 - 581,1 -2,3 5.29 11 580,5 - 578,8 +1,7 2,89 S +2,6 63,42 Проверка: 580,5 - 577,9 = + 2,6 м\сек. Еи = 0,47694 T/63<42 =1,2 м!сек. Способом определения подходящего значения срединной ошибки по разностям между отдельными результатами рекомендуется пользоваться в тех случаях, когда условия, в которых производится измерение, непосю-янны. Такие условия, в частности, могли быть в приведенных выше двух примерах-непостоянство метеорологических условий при стрельбе с помощью БЗР и разность температур боевых зарядов при определении начальной скорости. Этии способом необходимо пользоваться тогда, когда в процессе измерения изменяется сама измеряемая величина, например при определении дальности до движущейся цели. Определение в таких условиях подходящего значения срединной ошибкл по кажущимся ошибкам приводит к неправильным выводам. 189 Покажем это на примере. Допустим, что одним и тем же способом измеряется угол между ориентиром и целью, и разберем два случая: цель неподвижна и цель движется, причем в обоих случаях одним и тем же (в порядке последовательности кх получения) результатам измерения соответствуют одинаковые по величине и по знаку ошибки. "? Измерение угла между ориентиром и неподвижной целью дало следующие результаты: 1-09, 1-03, 1-01, 1-04, 0-99, 0-95, 1-04, 1-01, 0-94, 1-03, 1-00, 1-06, 0-98, 1-04. 1-02 и 0-93. В случае, когда цель движется, для упрощения расчетов допустим, что первое измерение совпало с моментом начала движения цели и пель двигалась так, что при каждом последующем измерении истинное значение измеряемого угла увеличивалось на 0-02. Таким образом, первый результат был таким же, как и для неподвижной цели (1-09), второй результат получил приращение в 0-02 (1-03 + 0-02 = 1-05), третий результат нолучил приращение в 0-04 (1-01 + 0-04 = 1-05), четвертый - в 0-06 (1-04 + 0-06 = 1-10) и т. д. Определим подходящее значение срединной ошибки для обоих случаев всеми известными нам способами и сравним полученные результаты. Все расчеты сведем в общую таблицу (табл. 18). Таблица 18 i Цель неподвижна Цель двигалась */ \ >? tti 2 "i х . i х. t х? я. 2 2 "" 1 1-09 +8 64 -6 36 1-09 _ 7 49 -4 16 2 1-03 +2 4 -2 4 1-05 -И 121 0 0 3 1-01 0 0 +3 9 1-05 -И 121 +5 25 4 1-04 Ч-з 9 -5 25 1-10 -6 36 _ g 9 5 0-99 -2 4 -4 16 1-07 -9 81 -2 4 6 0-95 -6 36 +9 81 1-05 -И 121 + 11 121 7 1-04 +3 9 _ з 9 1-16 0 0 _ } 1 8 1-01 0 0 -7 49 1-15 _ i 1 -5 25 9 0-94 __ -г 49 +9 81 1-10 -6 36 +11 121 10 1-03 +2 4 -3 9 1-21 +5 25 -1 1 И 1-00 _ j 1 +6 36 1-20 +4 16 +8 64 12 1-06 +5 25 -8 64 1-28 +12 144 -6 3.6 13 0-98 -3 9 + 6 36 1-22 +6 36 +8 64 14 1-04 +з 9 -2 4 1-30 + 14 196 0 0 15 1-02 +1 1 -9 81 1-30 + 14 196 _ 7 49 16 0-93 -8 64 - - - 1-23 +7 49 - - 3 16-16 0 288 -16 540 18-56 0 1228 -И* 536 181 Найдем сначала подходящее значение срединной ошибки для неподвижной цели при ? = 1 616: 16 = 1-01: 1. По средней арифметической ошибке Ер - 0,84535------ = 2,95 деления угломера. Y 16-15 2. По средней квадратической ошибке ЕЕя = 0,67449 t/JEL_ =2,96 деления угломера. 3. По месту в ряде абсолютных значений ошибок Ерр = 3 делениям угломера. 4. По разностям между соседними результатами Еи = 0,47694и/ 54° = 2,96 деления угломера. V 14 Все расчеты привели к одному и тому же численному значению срединной ошибки, которое и примем за подходящее значение срединной ошибки рассматриваемого способа измерения. Теперь найдем подходящее значение срединной ошибки для движущейся цели при | = 1 856: 16 = 1-16: 1. По средней арифметической ошибке Ер - 0,84535- -124 = 6,76 деления угломера. |/"Тб-Т5 2. По средней квадратической ошибке EEt = °>67449 \ l ?28 = 6.- деления угломера. 3. По месту в ряде абсолютных значений ошибок Ерр = 7 делениям угломера. 4. По разностям между соседними результатами Еа = 0,476941/ 536 =2,95 деления угломера. У 14 Сравнив эти расчеты, мы видим, что только способ разностей дал нам подходящее значение, близкое к принятому значению срединной ошибки способа измерения. Определение подходящего значения срединной ошибки по кажущимся ошибкам дало нам неверные и различные значения Е. Таким образом, в тех случаях, когда измеряемая величина изменяется при измерении, для определения подходящего значения срединной ошибки следует пользоваться только способом разностей. Необходимо особо подчеркнуть, что при определении подходящего значения срединной ошибки по разностям между соседними результатами измерения необходимо эти результаты располагать в той последовательности, в которой они были получены при измерении. В противном случае нарушается закономерность изменений измеряемой величины, что приводит к неверным выводам. 182 § 39. ПРИЛОЖИМОСТЬ ЗАКОНА ГАУССА И ИСКЛЮЧЕНИЕ АНОРМАЛЬНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ До сих пор во всех случаях обработки результатов измерения было принято, что ошибки рассматриваемого ряда измерений следуют закону Гаусса. Исходя из этого предположения и были сделаны все выводы. Но помимо закона Гаусса при данных измерениях могут иметь место и другие законы ошибок, и не всегда суммарный закон ошибок будет законом Гаусса. Естественно, при обработке результатов измерения возникает вопрос: действительно ли ошибки этих результатов являются ошибками, которые •следуют закону Гаусса, т. е. приложим ли закон Гаусса к данному ряду измерений? В противном случае применение формул, принятых для закона Гаусса, приведет к грубым ошибкам. Выше было установлено, что только закону Гаусса свойственны зависимости между средней арифметической, средней квадратической и срединной ошибками, выражаемые равенствами: Я-= 0,84535 ?-, ? = 0,67449 Е, и Е1 = 0,79787 ?2, или соотношениями, округленными до второго десятичного знака: -|- =0,85, --f- =-0,67 и -S-- =0,8. •/-1 *-2 •С2 Этими соотношениями пользуются для суждения о приложимости закона Гаусса. Считается, что закон Гаусса практически применим к ошибкам данного ряда измерений, если •соотношения между Е, Е1 и ?2, найденные путем обработки результатов измерений, отличаются от соотношений, свойственных закону Гаусса не более чем на 10%, т. е. если EI Е -- \j,vu -^ \jf\jtjьо> 0,96-0,85=0,11; 0,60-0,67=-0,07; Еи 3,9 -?• = -jy = °"83: 0,83-0,85=-0,02; -^- -^--052-?2 = 7,5 - °'52' 0,52-0,67 = -0,15; 0,11>0,085; 0,07^0,067; 0,02<0,85; 0,15>0,067; 5-= 44 =0,63; 0,63-0,80=-0,17; 0,17>0,08. •С-2 '>" Подавляющее большинство соотношений, рассчитанных по результатам измерения, превышает соотношения, свойственные закону Гаусса, более чем F* Р на 10%, а для соотношений -^- и jr это превышение достигает почти 20%. .С 2 -^-2 Следовательно, в данном случае закон Гаусса не применим. 185 При обработке результатов измерений с вопросом о приложимости закона Гаусса к данному ряду измерений связан вопрос об исключении из этого ряда так называемых анормальных результатов. Производя измерение одной и той же величины одним и тем же способом, мы нередко получаем отдельные результаты, резко отличающиеся своей величиной от других результатов. Очевидно, что такие результаты не могут не повлиять на итоги обработки, и зачастую это влияние настолько велико, что совершенно меняет суждение о законе ошибок данного ряда измерений. Положим, что в приведенном выше примере к 15 результатам измерения угла был добавлен еще один, разный 1-67. В этом случае средний результат будет уже не 1-35, а 1-37. Вследствие этого изменятся значения кажущихся ошибок, и тогда Ерр = 5 делениям угломера; !°6 ? = ~-~-" \ :- == 6.84 деления угломера I/ 1 о • 1о я ___ / 1454 ?2 = t/ -g- = 9,85 деления угломера, а соотношения: -^=^-^-=0,73; 0,73-0,85=-0,12; 0,12>0,085; ^==-^-=0,51; 0,51- 0,67=-0,16; 0,1б>0,067; л **' ЕЛ 6,84 ^-=^=0,69; 0,69-0,80=-0,11; 0,И>0,08. Обработав 15 результатов измерения угла, мы пришли к выводу, что закон Гаусса к HIM применим, Включив в обработку 13-й результат, нам пришлось отказаться от этого вывода, так как все разчости соотношений между Я, EI и Е2 превысили допустимые для приложимости закона Гаусса пределы. Если имеются достаточно веские основания полагать, что подобного рода результаты являются следствием причин, не присущих данному способу измерения (грубые ошибки отсчетов и графических построений, математические просчеты, ошибки в наводке при стрельбе и т. п.), то исключение таких анормальных результатов сомнений не вызывает. Например, если при определении дальности до цели методом сокращенной подготовки в одном случае точка цели была нанесена не в тот квадрат карты, то очевидно, что при отыскании подходящих значений дальности и срединной ошибки способа этот результат при обработке учитывать не следует. Но далеко не всегда удается установить причину больших отклонений отдельных результатов, и тогда к исключению их из ряда измерений следует подходить с большой осторож- 186 ностью, так как известно, что в совершенно нормальных условиях измерения ошибки отдельных результатов, а отсюда и их отклонения могут быть очень велики. В этих случаях следует исходить из численных значений вероятностей получения ошибок, соответствующих отдельным результатам, исключая те из них, вероятности ошибок которых пренебрежимо малы. До сих пор при всех расчетах мы принимали предельно допустимой на практике ошибку, равную 4 срединным ошибкам способа измерения, считая вероятности получения ошибки свыше зЬ4Я пренебрежимо малыми. Возможность такого допущения при- обработке результатов измерения, когда перед нами стоит задача определения вида и основных характеристик закона ошибок, удовлетворить нас не может. Действительно, по таблице значений Ф((3) вероятность получения ошибки в пределах +4Я Ф (4,0) = 0,99302, откуда вероятность получения ошибки свыше zb 4E равна 1-0,99302 = 0,00698. Вероятность как будто не велика, но нас интересует не вероятность получения одной ошибки свыше ±4Е, а вероятность получения хотя бы одной такой ошибки. Положим, что произведено 20 измерений одной и той же величины. Тогда вероятность получения хотя бы одной ошибки свыше :± 4Е Pl = 1 _(i__o,00698)20 = 1-0,9930220 = 0,13072 " 13,1 %; это означает, что в среднем на каждые 100 серий по 20 аналогичных измерений мы в 13 сериях будем получать результаты с ошибками, превышающими ±г4Е. Очевидно, что относить такие результаты к категории анормальных оснований нет. Примем практические пределы допустимой ошибки равными _±6Я. Вероятность получения одной ошибки в пределах dr 6E Ф (6,0) = 0,9999482, откуда вероятность получения хотя бы одной ошибки свыше гЬб-Я при 20 измерениях pl== 1-0,999948220-=-- 0,000961 "0,1%. Это означает, что на каждую 1 000 серий по 20 измерений в среднем получим только один результат с ошибкой, превышающей + 6Е. Таким результатом можно пренебречь. Известно, что с уменьшением числа повторений испытания вероятность появления события хотя бы один раз также уменьшается. Поэтому при небольшом числе измерений за 187 анормальные результаты можно принимать те результаты-ошибки которых превышают zt 5E. Вероятность получения одной ошибки в пределах dr 5E ф (5,0) = 0,99926. Допустим, что произведено 10 измерений, тогда вероятность получения хотя бы одной ошибки свыше-±5?" Pl = 1 _ 0,9992610 = 0,00734 ^0,7%, а для 5 измерений такая вероятность будет еще меньше: /?!= 1-0.999265 = 0,00367 ^ 0,4%. Получение отдельных результатов с ошибкой свыше+ 5Я при таком числе измерений настолько маловероятно, что их исключение из ряда измерений вполне допустимо. Отсюда следует правило: анормальными считаются результаты, ошибки которых превышают dr 6E, а при небольшом числе измерений (меньше 10)-и те результаты, ошибки которых превышают dr ЬЕ. В тех случаях, когда в ряде измерений были получены отдельные анормальные результаты, порядок обработки всей совокупности результатов измерения следующий. Сначала исключают из обработки те результаты, которые своей величиной резко отличаются от других результатов. Затем по оставшимся результатам определяют подходящие значения измеренной величины и срединной ошибки. Относительно найденного среднего результата рассчитывают ошибки исключенных результатов и, сравнив эти ошибки со срединной ошибкой, устанавливают, какие из этих результатов следует совсем исключить, а какие снова ввести в ряд измерений. После этого производится дальнейшая обработка результатов измерения. Пример 4. При определении дальности до одной и той же пели одним и тем же способом были получены следующие результаты в делениях прицела: 131, 132, 133, 135, 130, 129, 148, 133, 137, 131, 122, 130, 133, 135, 13], 130, 132 и 130. Определить, какие результаты измерения следует отнести к анормальным. Решение. Резко выделяются два результата: 148 и 122; их мы и исключим из первой обработки результатов измерения. i *1 X. i Ъ i X . t Х/ 3 / */ X. i 4 1 131 - 1 1 7 1Щ __ _ _ 13 133 + 1 1 2 132 0 0 8 133 +1 1 14 135 +3 9 3 133 + 1 1 9 137 +5 25 15 131 -1 1 4 135 +3 9 10 131 -1 1 16 130 _ 2 4 5 130 _ 2 4 11 |Т22| - - 17 132 0 0 б 129 -3 9 12 130 -2 4 18 130 _ 2 4 188 Средний результат без исключенных 2112 ? = 16 = 132. Срединная ошибка по месту ее в ряде ошибок 1+2 Ерр = -^- = 1,5 A-Y. Ошибки исключенных результатов: Х7 = 148-132=+ ШХ и Хп = 122-132=-10 ДХ. Эти ошибки, выраженные в Е: Xtj = ". j. = 10,7с и Хц ~ < г = 6,7с. Следовательно, оба результата анормальны и включать их в обработку измерений не следует. Мы применили формулы, относящиеся только к закону Гаусса. Прове-рим приложимость этого закона к данному ряду измерений (без исключенных). _ E^yim=шд* • Е>-=У%=2-22Л*; тогда соотношения между Е, Е\ и ?2: -**• = -b|j=-o,83; 0,83-0,85 = 0,02; 0,02<0,085; ^-Й"^0'68"' °.68-0,67 = 0,01; 0,01<0,067; F 1 R1 -pL = -oV, = 0,82; 0,82-0,80 = 0,02; 0,02<0,08. --'2 --,--•- Разности соотношений меньше допустимых - закон Гаусса приложим. Пример 5. Засечка дальности до цели с помощью БЗР дала следующие отдельные результаты измерения в метрах; 4 185, 4 105, 4 160, 4 190, 4220, 4465, 4 120, 4 175, 4250, 4325, 4 150, 4 125, 3920, 4 170, 4 145,4230, 4155 и 4090. Определить подходящие значения измеренной дальности и срединной ошибки этого измерения. Решение. Исключим из первой обработки результаты: 4465, 4325 и 3920 м, и определим подходящее значение измеренной дальности по оставшимся 15 результатам: 5=^5=4Ш5Л. Найдем кажущиеся ошибки относительно этого среднего результата и расположим их в возрастающем порядке по абсолютным значениям: 5, 5, 10, 10, 15, 20, 20, 30, 40, 45, 55, 60, 65, 75, 85. Отсюда срединная ошибка по ее месту в этом ряде Яов = 30 м. 189 Проверим исключенные результаты, сравнив их ошибки с Е' 4465-4165=+300 м; 300: 30-=10Е-результат анормальный; 4325-4165=+160 м; 160:30 = 5,3? - результат допустимый; 3920-4165=-245 м; 245:30=8,2? - результат анормальный. Введем снова результат в 4 325 м в ряд измерений и произведем обра' ботку результатов в окончательном виде: I *г ? х. i х? X . - X . , 1 1-1 и. i 2 ui 1 4185 4175 + 10 100 4105-4185 -80 6400 2 4105 4175 -70 4900 4160 - 4105 +55 3025 3 4160 4175 -15 225 4 195 - 4 160 +35 1225 4 4195 4175 +20 400 4220 - 4195 +25 625 5 4220 4175 +45 2025 4120 - 4220 -100 10000 6 4 120 4175 -55 3025 4175 - 4120 +55 3025 7 4175 4175 0 0 4250 - 4175 +75 5625 8 4250 4 175 + 75 5625 4325 - 4250 +75 5625 9 4325 4175 + 150 22500 4150 - 4325 -175 30625 10 4150 4175 -25 625 4125 - 4150 -25 625 11 4125 4175 -50 2500 4170 - 4125 +45 2025 12 4170 4175 -5 25 4145 - 4170 -25 625 13 4145 4175 -30 900 4230 - 4145 +85 7225 14 4230 4175 +55 3025 4155 - 4230 -75 5625 15 4155 4175 -20 400 4090 - 4155 -65 4225 16 4090 4175 -85 '7225 - - - - 2 66800 66800 0 53500 4080 - 4185 -95 86 525 Подходящее значение измеренной дальности 66800 Д=* 16 •=4175 ж. Подходящее значение срединной ошибки по ее месту в ряде абсолютных значений ошьбок Е ---?±15 О-,, *^рр - 9 - о/,о м. Подходящее значение срединной ошибки по разностям между соседними результатами ___ Еи = 0,47691/86525^- 37,494 = 37,5 м. Проверим приложимость закона Гаусса к нашему ряду измерений, хотя этого можно было бы и не делать, так как Ерр - Еа. Средняя арифметическая и средняя квадратическая ошибки ?\=: 710 == 45,9 м и Ez = 1/ 5350° = 59,8 м. * 10 190 Тогда соотношения: Ъ 37,5 Q0 ~Е1 ~ 45,9 = ВД Е_ 37,5 ?2 "~ 59,8 = °'б<3; -?! 45,9 ?г = 5р ==0'77- Эти соотношения очень мало отличаются от соотношений, отвечающих, закону Гаусса, что и подтверждает приложимость этого закона к исследованному ряду измерений. § 40. ЗАДАЧИ НА ОБРАБОТКУ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ Задача 90. При измерении угла стереотрубой были получены следующие результаты: 2-41, 2-37, 2-45, 2-40, 2-43, 2-38, 2-49, 2-44, 2-42 и 2-46. Определить среднюю величину измеренного угла. Ответ. 2-42,5. Задача 91. При измерении дальности до репера были получены следующие результаты измерения в метрах: 5445, 5384, 5430, 5515, 5418, 5406, 5392, 5525, 5468, 5424, 5452, 5439, 5398 и 5464. Определив подходящее значение измеренной дальности. Ответ. 5 440. Задача 92. При измерении одного и того же угла биноклем были получены следующие результаты отдельных измерений: 1-5У, 1-64, 1-61, 1-55, 1-62, 1-58, 1-52, 1-60, 1-72, 1-60, 1-65, 1-56, 1-60, 1-56, 1-67, 1-50, 1-63, 1-58, 1-49, 1-64 и 1-69. Чему равна величина измеренного угла? Ответ. 1-60. Задача 93. Найдены следующие величины кажущихся ошибок отдельных результатов измерения в метрах: -13, -5, +16, -(-2, +24, -18, -20, +8, -12, +10 и +8. Чему равна срелинная ошибка способа измерения? Ответ. Epf -f 12 м', EEj =-= 11,02 м; EEi = 9,83 м. Задача 94. При измерении базы мерной лентой были получены следующие результаты отдельных измерений в метрах: 178,24; 178,31; 179,02; 178,64?, 178,45; 178,36; 178,81; 178,54; 178,62 и 178,41. Определить величину срединной ошибки способа измерения. О т в е т. Ерр = 0,155 м; EEj = 0,166 м', ЕЕз = 0,162 м. Задача 95. При измерении дальности до цели были получены следующие результаты отдельных измерений в делениях прицела: 108, 112, 105, 106, 104, 105, 109, 105, 104, 106, 102, 107, 101, 109 и 107. Чему равна вероятность того, что следующее измерение той же дальности и тем же способом будет иметь ошибку: а) не больше 2 ДХ; б) не больше 5 ДАТ? О т в е т ЕЕ2 - 1,908 Д-Y; Ра = 0,52035; Р6 = 0,92280. Задача 96. При определении установки угломера были получены следующие результаты отдельных измерений: 55-90, 55-45, 56-60, 55-80, 55-65, 56-00, 56-10, 56-15, 55-50, 56-05, 55-85, 55-95, 56-35, 56-20, 55-70, 55-95, 56-70, 56-20, 56-00 и 55-90. Чему равна вероятность того, что следующее определение угломера по той же цели и тем же способом будет иметь ошибку: а) не более 0-10; б) не более 0-35; в) не меньше 0-50? Ответ. ?2 = 2-555 деления угломера; Ра = 0;24569; Рб = 0,72666; Р, = 011763. 191 Задача 97. Чему равна срединная ошибка среднего результата, если величина этого среднего результата была определена по данным 16 отдель-яых результатов измерения и срединная ошибка способа измерения равна 80 м.? Ответ. 20 м. Задача 98. Срединная ошибка способа измерения равна 0-15. Чему равна срединная ошибка среднего результата, величина которого определе-"а по данным 25 отдельных измерений? Ответ. 0-03. Задача 99. Определить срединную ошибку среднего результата, если при измерении угла были получены следующие величины ошибок отдельных измерений в делениях угломера: - 2, + 4, + 6, -• 5, + 1, - 4, -• 2, + 8 и - 6. О т в е т. ЕЕз = 3,39 деления угломера; /? = 1,13 деления угломера. Задача 100. При измерении базы шагами были получены следующие результаты отдельных измерений в метрах: 830, 750, 770, 820, 790, 870, 800, 780, 860 и 830. Определить срединную ошибку среднего результата. О т в е т. ЕЕг = 26,22 м; R == 8,27 м. Задача 101. При измерении дальности до цели дальномером были получены следующиэ результаты отдельных измерений в метрах: 4890, 4850, 4820, 4860, 4810 и 4870. Определить наименьшие пределы, в которых заключено истинное значение измеренной дальности, с вероятностью, равной 50%, если срединная ошибка способа измерения равна 20 м. О т в е т. К ^ 8,2 м\ от 4841,8 м до 4858,2 м. Задача 102. При измерении угла были получены следующие результаты -отдельных измерений в делениях угломера: 1-61, 1-69, 1-66, 1-60, 1-58, 1-65, 1-72, 1-64, 1-69, 1-65, 1-63, 1-54, 1-67, 1-63 и 1-64. Определить наименьшие пределы, в которых заключено истинное значение измеренного угла, с вероятностью, равной 0,82266. Ответ. ?-г2 л; 3,1 деления угломера; R " 0,8 деления угломера от 1-62,4 до 1-65,6. Задача 103. При определении стрельбой начальной скорости были получены следующие результаты отдельных измерений в м/сек: 420,3, 428,1, 424,2, 426,7, 421,5, 420,8, 425,4, 422,1, 42б;5, 421,8, 424,4, 427,1, 423,7, 425,9, 421,7 и 427,0. Найти подходящие значения начальной скорости и •срединной ошибки способа ее определения. Ответ, щ = 424,2 м/сек; Еи = 2,053 м/сек. Задача 104. При определении дальности до цели с помощью БЗР были получены следующие результаты отдельных измерений в метрах: 7 135, 6915, 7095, 7350, 7015, 7210, 6970, 7320, 7400, 7040, 7185, 6960, 7285, 7150, •6 995, 7 250, 7 290, 7 035, 7 165 и б 955. Найти подходящие значения дальности и срединной ошибки. Ответ. Д = 7 136 м; Еа = 113,8 м. Задача 105. При измерении дальности до звучащей цели были получены следующие результаты отдельных измерений в метрах: 2094, 2071, 2 142, 2104, 2123, 2082, 2067, 2095, 2066, 2075, 2085, 2044, 2099, 2072, 2100 и 2 043. Чему равна вероятность того, что, приняв средний результат за .истинное значение дальности, мы ДОПУСТИМ ошибку, не превышающую 10 м. Ответ. Еи = 18,28 м\ R = 4,57 м; Р = 0,86. Задача 106. При определении дальности были получены следующие результаты отдельных измерений в метрах: 4255, 4205, 4135, 4235, 4210-4315, 4150, 4220, 4290, 4 19^, 4170, 4215, 4305, 4225, 4275, 4085, 4220, 4 165, 4 185, 4 285, 4 260 и 4 130. Проверить приложимость закона Гаусса дтя обработки результатов измерений и найти подходящие значения дальности и величин характеристик .данного закона ошибок. Ответ. Закон Гаусса применим; Д = 4 215 м; Е^ = 48,4 м; Е2 - 60,6 м; Ерр = 45 м; Еи = 45,24 м. 192 Задача 107. При определении расстояния были получены следующие результаты отдельных измерений в метрах: 6 188, б 195, 6 130, 6068, 6 167, 6 111, 5 973, б 156, 6208, 6257, 6 121, 6035,6 169, 6274, 6090, 6 198 и 6074. Проверить приложимость закона Гаусса для обработки результатов измерений и найти подходящие значения дальности и характеристик данного закона ошибок. Ответ. Закон Гаусса приложим; Д = 6 142 м\ Е\ = 65,9 м; Е2 = 79,2 м\ Ерр - 53 м; Еи = 54,3 м. Задача 108. При определении базы были найдены следующие результаты отдельных измерений в метрах: 85,9, 83,6,84,8,78,8,83,3,85,4,88,5. 94,0, 85,7, 84-0, 86,1, 92,8, 86,4, 84.9, 87,3 и 81,7. Найти подходящее значение величины базы и указать, какие результаты измерений являются анормальными. Ответ. 5 = 85,2 м; 94,0 и 92,8. Задача 109. Найти подходящее значение срединной ошибки и установить приложимость закона Гаусса для обработки 18 отдельных результатов измерения скорости самолета: 31,5, 32,0, 31,5, 34,0, 36,5, 30,5, 33,5, 36,0, 35,5 31.5, 38,0, 34,0, 39,0, 35,5, 35,0, 37,0, 35;5 и 40,0 м/сек. Ответ. Закон Гаусса применим; скорость 34,8 м/сек', Е = 1,6 м!сек. 13 - Зак. 991 ГЛАВА 8 ОШИБКИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ § 41. ОШИБКИ-ВЕКТОРЫ Выше было указано, что все случайные ошибки могут быть разбиты на следующие две категории: 1. Ошибки, не зависящие от направления, или ошибки линейные (иначе их называют скалярными ошибками). 2. Ошибки, зависящие от направления, или ошибки на плоскости и в пространстве. Ошибки первой категории определяются величиной (численным значением) и знаком. Например, измерив барометрическое давление и установив, что ошибка этого измерения Д = - 2 мму мы получаем полное представление о точности произведенного измерения. Кроме числа 2 и знака "минус", никаких других характеристик ошибки не требуется. К ошибкам, не зависящим от направления, т. е. не связанным с каким-либо направлением, относятся ошибки при измерении веса, давления, температуры, времени и т. п. Для характеристики ошибок на плоскости и в пространстве, кроме величины и знака, необходимо еще учитывать и их направление. В процессе измерений одной и той же величины одним и тем же способом ошибки этой категории могут менять свое направление, и каждое такое изменение будет сказываться на результатах измерения. Поэтому такие ошибки и называются зависящими от направления. Покажем это на следующем примере. Положим, что цель наносится на карту по углу между направлениями на ориентир и цель и по дальности наблюдения. Положим, что угол р0 и дальность Д0 соответствуют абсолютно точному положению цели на карте. Допустим, что при всех измерениях ошибки в нанесении цели на карту равны между собой по абсолютной величине и различаются только направлениями, т. е. допустим, что расстояния на карте между точкой 194 /Д, отвечающей действительному положению цели, и точками Z/,, Z/2 и Z/3, полученными по отдельным результатам измерения, одни и те же по величине, но направлены в разные стороны (рис. 52). По рисунку видно, что в зависимости от ошибок, допущенных при измерении угла (30 и дальности Д0, ошибки отдельных результатов измерения Д,, Д2 и Д3 имеют различные направления. Иначе говоря, при заданных направлениях ошибок Д1? Д2 и Д3, равных по абсолютной величине, результаты измерения получаются различные. $°Р. •^№\Рг№ ------Л* ~~~~ ~ '' ..а*--*-!"1.__Ла_-п__ь^.. • ~^~*-----%-*-^^ ^J_~->Vt Рис. 52 Следовательно, только зная величину, знак и направление таких ошибок, можно определить ошибки отдельных результатов измерения. Ошибки, которые помимо величины и знака характеризуются еще и направлением, удобнее всего выражать графически, т. е. в виде векторов. Ошибка, значение которой определяется абсолютной величиной и направлением, называется ошибкой-вектором. Ошибки-векторы могут иметь любое направление на плоскости и в пространстве. Поэтому эти ошибки, в отличие от ошибок линейных, носят название ошибок на плоскости и в пространстве. Ошибки-векторы, как и все векторы вообще, изображаются в виде отрезка прямой, имеющего величину, точку приложения и направление. Под направлением следует понимать: во-яервых, направление (положение на плоскости или в пространстве) прямой, на которой лежит ошибка-вектор, и во-вторых, направление самой ошибки-вектора на этой прямой (рис. 53). в -> м-------< ------/v Рис. 53 На рис. 53 АВ есть величина ошибки-вектора, А - точка ее мриложения и MN-направление прямой, на которой лежит ошибка-вектор; стрелка показывает направление ошибки-вектора на прямой MN. К* 195 Ошибка-вектор обозначается обычным символом, тольк(r) с черточкой сверху - А или двумя буквами с такой же черточкой, причем первой ставится буква, соответствующая началу (точке приложения) ошибки-вектора (ЛВ). Ошибка-вектор может быть задана и аналитически. В этом случае ее величина выражается в каких-то линейных мерах, точка приложения - координатами, прямая, на которой лежит вектор,-уравнением, а стрелка заменяется знаками "плюс" или "минус*. Отдельно взятая ошибка-вектор является следствием измерения в каком-то одном направлении. Если при данном измерении возникает несколько отдельных ошибок-векторов и каждая из них имеет свое направление, то ошибка-вектор результата измерения в целом носит суммарный характер. Такая ошибка-вектор является результирующей отдельных составляющих ошибок-векторов. Наглядным примером может служить подготовка исходных установок для стрельбы, где ошибка-вектор определения положения средней траектории относительно цели, отвечающая исчисленным установкам, является результатом взаимодействия ошибок-векторов определения направления на цель, дальности до цели и превышения цели. Для отыскания результирующей ошибки-вектора необходимо сложить отдельные составляющие ошибки-векторы. При сложении отдельных ошибок-векторов могут быть следующие три случая: 1. Отдельные ошибки-векторы имеют общее направление, т. е. направлены по одной прямой. 2. Отдельные ошибки-векторы имеют различные направления в одной и той же плоскости. 3. Отдельные ошибки-векторы имеют различные направления в пространстве, т. е. лежат в разных плоскостях. 1. Допустим, что при определении Дб методом глазомерной подготовки ошибка измерения Дк (Д.) равна + 100 м и ошибка измерения отхода (Д2) равна -f 30 м. Эти две ошибки можно сложить как алгебраически, так и геометрически. При алгебраическом сложении результирующая ошибка будет равна алгебраической сумме составляющих ошибок: Д = Д- + Д2 = (+ 100) + ( + 30) = -f 130 м. Для того чтобы произвести геометрическое сложение этих же ошибок, изобразим их в одном и том же масштабе в виде двух векторов и перенесем эти векторы на параллельную им прямую ОА (рис. 54), при этом начало второго вектора совместим с концом первого вектора. 196 Геометрически эта сумма может быть выражена отрезком О А. Возьмем тот же пример, но допустим, jiro_oiiiH6Ka измерения Дк Д- -= 4- ЮО м, а ошибка измерения отхода А2 = - 30 м. При алгебраическом решении результирующая ошибка будет равна _ д = ( -f 100) + (- 30) = + 70 м. ______Д| &z ' *-л 1 ,* Лг • ! 5 >'Л 0 Рис. 55 Рис. 54 Геометрически эта ошибка будет выражена отрезком СХ4-(рис. 55), равным _ _ _ A = Aa + A2. Порядок построения при этом будет тот же: начало второго вектора совмещается с концом первого. При сложении отдельных составляющих ошибок-векторов, лежащих на одной прямой, образуется результирующая ошибка-вектор, как алгебраическая или геометрическая сумма слагаемых ошибок-векторов. Направление результирующей ошибки-вектора совпадает с направлением составляющих ошибок-векторов. Для геометрического сложения отдельных составляющих ошибок-векторов необходимо начало второй ошибки-вектора совместить с концом первой ошибки-вектора, начало третьей, ошибки-вектора - с концом второй и т. д. Тогда начало первой ошибки-вектора будет началом результирующей ошибки-вектора, а конец последней ошибки-вектора - концом результирующей ошибки-вектора. Пример 1. При определении Дб методом сокращенной подготовки были допущены следующие ошибки в дальности: в определении координат ОП + 15 м; в нанесении координат ОП на карту - 5 м', в нанесении цели на карту-80 м; в измерении расстояния на карте+10 м? Найти ошибку в определении дальности. Решение. Имеем 4 отдельные составляющие ошибки-вектора, направленные по одной прямой. Результирующую ошибку найдем как алгебраическую сумму составляющих: Д = (+ 15) + (- 5) -f (- 80) + ( + 10) = -60 м. Пример 2. Даны три ошибки-вектора д^ да и д выраженные графически так, как это показано на рис. 56. Найти результирующую (суммарную) ошибку-вектор. Решение. Применим здесь геометрический метод решения. Совместим для этого начало О2 второй ошибки-вектора с концом AI первой ошибки- 197 вектора и начало О3 третьей ошибки-вектора с концом А? второй ошибки-вектора. Тогда точка О\ будет началом результирующей ошибки вектора, а точка Л3 -ее концом (рис. 56) и результирующая ошибка-вектор будет равна Д-+Д- +д^ = Д=-01-48. п >... о,"- - - Д; --- Лп .. , --~А, ---- , 02 _ л Д2р fin ь" °'Г 1 --- 1 - i - Д2 л" •М--~--| Я3 VW1 -ij А_! Ujh- 1 n.i_. |А' Юа ^. ^4, "WA, Рис. 56 2. При сложении ошибок-векторов, имеющих разные направления, но лежащих в одной плоскости, применяется, как правило, геометрический метод сложения. Сущность метода при этом основывается на том, что векторы могут не'только переноситься вдоль какой-то линии, но и перемещаться параллельно этой линии, т. е. параллельно самим себе. В остальном построение результирующей ошибки-вектора производится по тому же правилу, как и при сложении ошибок-векторов, направленных по одной прямой: начало второй ошибки-вектора совмещается с концом первой ошибки-вектора, начало третьей - с концом второй и т. д. На рис. 57 даны примеры сложения нескольких ошибок-векторов, имеющих различные направления на одной плоскости1. AI Частным случаем сложения ошибок-векторов, имеющих различные направления в одной плоскости, является случай, когда направления ошибок-векторов взаимно перпендикулярны. К этому случаю сложения ошибок-векторов относится, например, сложение ошибок в дальности и в направлении при подготовке исходных данных для стрельбы. 1 Перенесение вектора вдоль прямой является частным случаем его параллельного перемещения. 198 Результирующая ошибка-вектор при этом может быть определена аналитически как гипотенуза прямоугольного треугольника, в котором катетами являются составляющие ошибки-векторы, по формуле Д = J/^2 + Д22, а угол, составленный направлением результирующей ошибки-вектора и направлением одной из составляющих ошибок-векторов, - по формулам: tg G-J =_А-- или tga2 = _^1_ . д- да Пример. При подготовке исходных данных были допущены ошибки в дальности + 10J мне направлении-60 м (влево). Найти результирующую ошибку-вектор и угол, который образует эта ошибка с плоскостью стрельбы. Решение. По только что приведенным формулам ;5еличина результирующей ошибки-вектора / 1002 + 60-==117 м, а тангенс угла, составленного результирующей ошибкой-вектором и плоскостью стрельбы *"" 60 -OR *8а===1бб - °'6' откуда угол по таблице натуральных тригонометрических величин a = 31° = 5-17. Графическое решение этого примера показано на рис. 58. О- Б Ц0 /00м Рис. 58 3. Сложение ошибок-векторов, имеющих различные направления в пространстве, в данном курсе не рассматривается, так как со случаями сложения таких ошибок-векторов в наземной артиллерии, как правило, иметь дело не приходится. § 42. ВЕКТОРИАЛЬНАЯ ОШИБКА Предположим, что измерение некоторой величины сопровождается ошибками-векторами, направленными по одной прямой. Если каждый отдельный результат измерения дает свою ошибку-вектор, то при многократном измерении одной и той же величины получится совокупность ошибок-векторов или, иначе говоря, система ошибок-векторов. 199 Система (совокупность) ошибок-векторов, направленных в пространстве по одной определенной, прямой, называется системой векториальных ошибок или, сокращенно, векториальной системой, Условно эту систему называют векториальной ошибкой, понимая под этим не отдельную ошибку, а всю совокупность ошибок. Графически для системы векториальных ошибок, следующих закону Гаусса, векториальная ошибка, изображается отрезком, равным по величине срединной ошибке системы. Так, например, если совокупность ошибок-векторов следует закону Гаусса и имеет направление MN (рис. 59), то характеризующая эту совокупность векториальная ошибка графически может быть выражена отрезком ОВ (или ОС), приложенным к точке О и направленным по линии MN. При этом точка О - начало отсчета - отвечает истинному значению измеряемой величины, т. е. результату, ошибка которого равна нулю" R л г. м &г---------1~~Д' -• л-.-"--- •Д4 AJt - ,. , - А| АЗ- -- Л •* 1. . ~Д5 . •<•• л ло * _л Дв----3- ------------- Л..-. ______ .. г л-, •• АЮ - ~Л72 --*"* О Рис. 59 Величина отрезка ОВ как величина срединной ошибки совокупности ошибок-векторов, изображенных на рис. 59, может быть легко найдена, если эти ошибки-векторы выразить численно: А! == -f 70 ж; Д4 = + 450 м\ А7 = + 260 м\ А10 == + 200 м; Л2 = - 350ж; Д5= -f ИО л; А8 = - 50 м\ Ап = - 180м; А3 = -120 м-, Д6 = - 400 м; Д9-=- 100л; '^^ = + 80 ж. Тогда, расположив эти ошибки по их абсолютным величинам в возрастающем порядке: 50, 70, 80, 100, 120, 140, 180, 200, 260, 350, 400, 450, найдем, что os^MO+J80 = 160jKj 2 пли, в масштабе рис. 59, - 16 мм. 200 В приведенном примере отрезок ОВ выражает векториальную ошибку совокупности ошибок-векторов, направленных по-линии MN\ вместе с тем этот же отрезок ОВ по величине (численно) равен срединной ошибке данной совокупности. Поэтому, когда говорят о векториальной ошибке, характеризующей совокупность ошибок-векторов, направленных по одной общей прямой, обычно под этим подразумевают срединную ошибку данной совокупности, помня, что здесь речь идет только о численном равенстве. В таком понимании векториальная ошибка обладает теми же свойствами, что и срединная ошибка. Если расположить (построить) все ошибки-векторы по их абсолютным величинам в возрастающем или убывающем порядке, не обращая внимания на их направление, то векториальная ошибка займет в этом ряде срединное место, т. е. будет больше каждой из ошибок-векторов одной половины ряда и меньше каждой из ошибок-векторов другой половины ряда. Срединная ошибка не имеет знака, поэтому и векториальная ошибка не имеет направления на общей прямой, т. е. изображается в виде отрезка прямой, а не вектором. Векториальную ошибку обычно обозначают буквой R, хотя может быть принято и обычное для срединной ошибки обозначение Е. Если векториальная ошибка выражается отрезком прямой, то над буквенным обозначением ставится черточка -"->• с двумя стрелками, например: ОВ . На рис. 60 показано положение векториальной ошибки R~ в векториальной системе, как совокупности ошибок-векторов. При измерении некоторой величины могут иметь место несколько векториальных систем, направленных по одной прямой; например, векториальные системы, возникающие при определении различных поправок при полной подготовке исходных установок для стрельбы. Если эти векториальные AS ^^г-Ъ^з^зЯ -_и--го--7Л2ЛбЛ4 системы следуют закону Гаусса,-а в дальнейшем с Рис- 60 такими векториальными системами мы только и будем иметь дело,-то сложение векториальных ошибок, соответствующих этим системам, производится по известной нам формуле сложения законов Гаусса: Е = У~Е'* + Е"* + Е'"*-\- . . . + ES~ > 201 Ullll в которой вместо Е можно подставить суммарную (результирующую) векториальную ошибку R, а вместо/:', Е", Е"', . , , Es - векториальные ошибки /?-, R& Rs, . . . , Rs, характеризующие отдельные векториальные системы. И тогда R - = - I/#? + /?22 + /?2 + ' ' * + Я? Этот вывод можно сделать на основании той аналогии, которая была установлена между векториальной и срединной ошибками. Вместе с тем вывод показывает, что на векториальные ошибки правило векторного сложения не распространяется. Здесь складываются не отдельные ошибки-векторы, а системы ошибок-векторов (срединные ошибки). Пример. При определении исчисленной дальности векториальные ошибки в определении метеорологических и балистических условий стрельбы таковы: В измерении температуры воздуха ..... .... 30 м " " барометрического давления ....... 10 " " , температуры заряда...........20 " " " скорости и направления ветра ...... 30 , " " потери начальной скорости ....... 40 " Векториальная ошибка в определении дальности при топографической лодготовке равна 60 м. Найти суммарную векториальную ошибку, т. е. векториальную ошибку в определении дальности для всей подготовки в целом. Решение. Подставив численные значения составляющих векториальных ошибок в общую формулу, получим численное значение суммарной '(результирующей) ошибки: /? = j/302 + ю2 + 20- + Зи- + 40- -+ 60- = у'7500'^ 85,44 м. Полученный результат означает, что в 50 случаях из 100 ошибки, происходящие от неточного учета условий стрельбы, не превосходят 85,44 м. При измерениях иногда ошибки-векторы, возникающие в каком-либо одном направлении, сказываются на другом направлении, с которым и связано решение основной задачи. При целеуказании с одного наблюдательного пункта на другой ошибки в определении положения цели дающим целеуказание сказываются при отыскании цели принимающим целеуказание. Разберем этот случай в общем виде. ч--> Положим, что дана векториальная- ошибка OR, направленная по линии KL (рис. 61). Это направление само по себе нас не интересует, но для нас имеет существенное значение некоторое другое направление MN, так как каждая ошибка-вектор, возникающая в векториальной системе OR, вызывает отклонение от направления ММ. 202 Так, если в системе ОН получена ошибка-вектор ОА, то эта ошибка вызовет отклонение А"А от направления M/V, ошибка-вектор ОВ той же системы вызовет отклонение В?В и 'т. д. Все эти отклонения мы будем измерять по линииЛГЛГ, перпендикулярной к направлению MN и составляющей с направлением KL угол а, т. е. будем проектировать все эти отклонения на перпендикуляр к MN. -•--'г---л/- Решая прямоугольные треугольники О А'А, ОВ'В н т. д., получаем: * _________ А"'А = ~ОА' = ~ОА- cos a; В"В = ОВ' = О?-созаи т.д. Таким образом, каждая ошибка-вектор данной векториальной системы вызывает отклонение от некоторого направления, равное проекции ошибки-вектора на перпендикуляр к этому некоторому направлению. Зависимость же между ошибкой-вектором и вызванным ею отклонением выражается равенством Д/= Д;-соза, где Д,-- ошибка-вектор; Д/- вызываемое этой ошибкой-вектором отклонение от некоторого направления; a - угол, составленный направлением векториальной ошибки (системы) и перпендикуляром к некоторому направлению. Если ошибки-векторы следуют закону Гаусса, тому же закону следуют и отклонения вызываемые этими ошибками-векторами, так как ошибки-векторы отличаются от соответствующих им отклонений тем, что в выражении для отклонений множителем входит cos a-величина постоянная при данных условиях. Получается новая векториальная система, которая в дан- 203 ном примере с заданной векториальной ошибкой OR может быть связана зависимостью: OR'^OR -cosa. Эта новая векториальная система существенно отличается от обычных векториальных систем. Во-первых, эта новая векториальная система не может возникнуть самостоятельно - она вызывается какой-то другой векториальной системой и зависит от нее. Во-вторых, эта новая векториальная система представляет собой систему отклонений, а не ошибок, причем эти отклонения никогда не совпадают с линией, вдоль которой они направлены, -они всегда параллельны этой линии и лежат от нее тем дальше, чем больше соответствующие им ошибки-векторы (отклонения А"А и В"В на рисунке). Поэтому термин "векториальная ошибка" здесь не применим; правильнее говорить: векториальное или срединное отклонение. Обычно же применяют термин "отклонение от некоторого направления", понимая под этим отклонение, вызванное векториальной ошибкой и равное проекции этой векториальной ошибки на перпендикуляр к некоторому направлению. ;&•] Обозначив это отклонение через d (в отличие от вызывающей его векториальной ошибки R), получим d -r:/?-cosa. Пример. Векториальная ошибка в дальности при определении положения цели с МП командира дивизиона равна 50 м, при этом ошибки при определении положения цели в направлении (боковые) пренебрежимо малы. Какова вероятность того, что командир батареи, направив стереотрубу по данным целеуказания командира дивизиона, обнаружит цель в пределах сетки стереотрубы, если угол, образованный линиями наблюдения командира дивизиона и командира батареи, равен 5-00, а дальность наблюдения командира батареи равна 2500 м? Решение. Ошибка в дальности, допущенная командиром дивизиона, вызовет отклонение положения цели от линии наблюдения командира батареи. Угол между линиями наблюдения по условию равен 5-00, или 30°. Отсюда угол между линией наблюдения командира дивизиона (направлением векториальной ошибки) и перпендикуляром к линии наблюдения командира батареи, как дополнительный до 90°, равен ^ , (рис. 62) a = 90° - 30° = 60°. Спроектируем заданную векториальную ошибку на перпендикуляр к линии наблюдения командира батареи (КБ), и тогда срединное отклонение от этой линии d = 50 • cos 60° = 50 • 0,5 = 25 м, или в делениях угломера, -/= 25:2,5 = 0-10. Рис. 62 204 Вероятность получения отклонения, не выходящего за пределы сетки стереотрубы (±0-30): а) по таблице значений Ф(?) Р = фЛ_!2Л_ф (3,0) == 0,95698; б) по шкале ошибок Р = 2 (0,07 + 0,16 -f 0,25) = 0,96. Подобно тому, как проектировалась векториальная ошибка на два направления, можно векториальную ошибку разложить на два направления. Рассмотрим случай разложения векториальной ошибки на два взаимно перпендикулярных направления. Положим, что даны векториальная ошибка ОВ и два взаимно перпендикулярных направления ОХ и О У. При этом направление OL этой векториальной ошибки образует с направлением ОХ угол а (рис. 63). Спроектировав векториальную ошибку на эти направления, получим две проекции, как бы две векториальные ошибки: ()В*'=*д!зх = Ъв'-со*л и &Bb==OB^==^dB-sma. Особенность этих двух векториальных ошибок, по сравнению с любой другой парой векториальных ошибок, заключается в том, что они, во-первых, зависимы между собой, т. е. возникают одновременно с векториальной ошибкой ОВ , и во-вторых, при сложении вновь дают векториальную ошибку ОВ. __ В этом можно легко убедиться, если спроектировать ОВ'х и OByiia. направление OL. Проекция ОВХ на это направление равна *ОС = ЪЁГХ • cos a = *O~B cos2 а; проекция ОВУ на то же направление равна *ОА = ОВ^ • sin a = *ОВ sin2 а, а сумма проекций *ОС + *ОА =*ОВ cos2 a -f *OB sin2 а = =*ОВ (cos2 а -f sin- а) =?ОВ . Это означает, что проекции, получившиеся при разложении векториальной ошибки, складываются геометрически, т. е. как векторы, а не как векториальные ошибки. 205 § 43. ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ И ЭЛЛИПСОИДАЛЬНАЯ ОШИБКИ Если ошибки-векторы, возникающие в процессе одного л того же измерения, не совпадают по направлению, то и соответствующие таким ошибкам-векторам векториальные ошибки также не будут совпадать по направлению. Рассмотрим две векториальные ошибки, направленные по взаимно перпендикулярным линиям. Для большей наглядности возьмем частный пример, когда для открытия огня по одной и той же цели одним и тем же способом подготовляются исходные данные группой в несколько человек, например группой курсантов. Каждый из подготовляющих данные может допустить ошибку в направлении (ошибку в установке угломера) и ошибку в дальности (ошибку в установке прицела)1. Получаются две системы ошибок-векторов, направленные по двум взаимно перпендикулярным линиям (рис. 64): одна - в определении по- ^Sf^rA's- - д;-^?"" :&rl" 45 ^^--jl ^""^ ' oi ^•Ьг^Г^ ---- -^2 --- V^-| ..... г Д ^ |ГЧ --^^ Ф "г --iV --*.*- -^>ц3 "v-v*"4 И Рис. 64 ложения цели по дальности (по линии ДД) и другая-в определении положения цели по направлению (по линии НН). Допустим, что первая система характеризуется векториальной ошибкой /?д , а вторая система - векториальной ошибкой /?н. Допустим также, что точка Z/0 соответствует действительному положению цели, т. е. абсолютно точным исходным данным. Предположим, что первый курсант подготовил данные для открытия огня с ошибками: Д'х- в дальности и Д"- - в направлении. Так как причины, вызвавшие эти ошибки, действовали одновременно, то эти ошибки дадут результирующую ошибку-вектор А,, и цель, нанесенная этим курсантом, окажется в точке //!• Если второй курсант допустил ошибки: в дальности Д'2 и в направлении Д"2, то результирующая ошибка-вектор в этом случае будет Д2, и цель окажется нанесенной в точке Ц^ 1 Ошибками в установке уровня пренебрегаем. 206 Ошибки в данных, подготовленных третьим курсантом, Д'3 и. Д"3 дадут результирующую ошибку-вектор Д8, и цель окажется в точке Щ и т. д. Таким образом, при подготовке исходных данных каждым курсантом возникают две ошибки-вектора; каждая такая пара даст свою результирующую ошибку-вектор, каждой результирующей ошибке-вектору будет соответствовать свое положение цели. Посмотрим, как складываются эти результирующие ошибки-векторы, иначе говоря, установим, что представляет собой совокупность всех нанесенных положений цели. Ошибки подготовки исходных данных следуют закону Гаусса, следовательно, как в дальности, так и в направлении могут быть получены отдельные ошибки-векторы любой величины и любого знака, т. е. практически в пределах от Щ до ± 4 /?д в дальности и от Ц0 до ± 4 /?н в направлении. Поэтому цель может быть нанесена в любой точке некоторой плоскости,, на площади, ограниченной этими пределами (рис. 65). н АЯн Д-- Это означает, что ошибка подготовки исходных данных в условиях данного примера будет выражена не одним каким-то вектором, а совокупностью ошибок-векторов, расположенных в одной плоскости, имеющих различные направления из одной общей точки и ограниченных некоторой площадью. Такая совокупность всех возможных ошибок-векторов на плоскости называется ошибкой на плоскости. Распространяя это положение на любую пару взаимно перпендикулярных векториальных систем, можно сделать следующий вывод. Две взаимно перпендикулярные векториальные системы пли две взаимно перпендикулярные векториальные ошибки складываются в ошибку на плоскости. Если складывать любое количество векториальных ошибок, направленных по двум взаимно перпендикулярным линия-м, вывод •будет тот же. - Допустим, что по некоторому направлению действуют векториальные ошибки /?/, _92', R3' и т. д., а по другому направлению, перпендикулярному к первому, - векториальные ^ошибки /?-", /?8", /?3" и т. д. Применив правило сложения векториальных ошибок, направленных по одной прямой, получим две результирующие векториальные ошибки: Д'= К Я/"+ /?,''+/?-''+ -и /?"=]//?Г2 + /?2//2 + /?3"2+:--, -сложение которых даст ошибку на плоскости. Итак, при сложении векториальных ошибок (системы), направленных по двум взаимно перпендикулярным линиям, ^получается совокупность ошибок-векторов, концы которых не выходят за пределы некоторой площади. Для того чтобы определить вид (очертания) этой площади, рассчитаем распределение вероятностей получения ошибки в пределах интересующей нас площади, воспользовавшись тем же примером подготовки исходных данных. Построим две шкалы ошибок на взаимно перпендикулярных линиях, по которым направлены векториальные ошибки, выразив деления этих шкал в величинах векториальных ошибок /?д и /?н (рис. 66), и допустим, что векториальные ошибки -следуют закону Гаусса. -ЬЯа -ЭЯЭ -2R3 Яд 0 'Яд *2/?3 *3Rd *^3 ^Я % 1 2 "! 7 1 '5 ' 25 г5 16 7 ! 2 % - - о г \ (7,о<. ! OJA, fo,f2 , 0,50 0,50_| 0~2-? G-I4 ! 0,0* 2 ^ ^ LOJA То.ьз j-L'2 ' •J5 f^.75 L'i' tf' 0,49 Ъс^ч 7 ^ - Я^ "6 /?,<32 , 1,12 1 ZJ6 ^,00 4,00 Т 2,-- С 1.12 JA-X _il - 0 Г 25 0,50 1,75 Гь.оЬ i 6,25 0 5,25 i7400ai ',75 •S0,50 ' 25 " Л + я 25 •O.SO 1,75 Т 4, 00 Т 6,25 3^- ^,00 | 7,75 , J,50 , 25 ^ *4> "2ЯМ 16 BJ2 1,12 \ г,5В^ 1 1 ".1 --I - - --------- А0.? 5 ^,00 Ь2,55_] '.'2 .^а^ 16 '7 0,19 -^.1*9 J I.1* \ .^,75 ?, 75 П /, Г2 ' ОЛ-5^ i'TH 7 г 5,0 А. О^Т-АЗ^. ' ^-55 0.5С ^^l^J t^/4 0,04 2 % 2 7 \ ts i 25! 25 /6 I 7 [ 2 °/ ^ •f Рис. 56 Вероятность получения ошибки в пределах прямоугольника Qabc, или вероятность того, что цель будет нанесена в пределах этого прямоугольника, может быть найдена по теореме умножения как вероятность совпадения ошибки в дальности 208 в пределах от 0 до + /?д с ошибкой в направлении в пределах от 0 до Н- /?" : Я = 0,25 • 0,25 = 0,0625 = 6,25%- Вероятность получения ошибки в пределах прямоугольника defg, или вероятность того, что цель будет нанесена в пределах этого прямоугольника, может быть найдена как вероятность совпадения ошибки в дальности в пределах от + 2 /?д до + 3 /?д -с ошибкой в направлении в пределах от - RH до - 2/?н : Р-= 0,07-0,16-=0,0112=1,12% и т. д. Рассчитанные подобным образом вероятности дадут распределение ошибок на плоскости при сложении двух взаимно перпендикулярных векториальных ошибок. Если пренебречь очень малыми вероятностями получения ошибки (меньше 0,15%) и обвести оставшиеся прямоугольники общей ломаной линией, то получится ступенчатая фигура, пределом которой, по мере увеличения числа прямоугольников (при построении шкал ошибок в долях /?д и RH), является эллипс. Следовательно, при сложении векториальных ошибок, направленных по двум взаимно перпендикулярным линиям и следующих закону Гаусса, получается ошибка на плоскости в пределах эллипса. Такая ошибка называется эллиптической. Эллиптическая ошибка будет иметь место и тогда, когда векториальные ошибки не будут взаимно перпендикулярны. Примером такой ошибки может служить эллиптическая ошибка, получающаяся в результате засечки цели с двух наблюдательных пунктов (рис. 67). Положим, что ошибки наблюдателей при засечке цели следуют закону Гаусса и что левый наблюдатель производит измерения абсолютно точно, а правый с ошибками, причем векториальная ошибка правого наблюдателя равна jRu. Очевидно, что цель в этом случае окажется нанесенной на линии наблюдения левого наблюдателя где-то между точками Ц^ и Ц2, отстоящими от точки Z/0, соответствующей истинному положению цели, на 4/?". Если же допустить, что правый наблюдатель производит измерения рис. 67 Лее 14 -Зак. 991 209 без ошибок, а левый с ошибками, то цель будет нанесена на линии наблюдения правого наблюдателя где-то между точками Z/3 и Д4, отстоящими от точки Z/o на 4/?л, т. е. на величину предельных ошибок левого наблюдателя по линии наблюдения правого наблюдателя. Так как при засечке цели оба наблюдателя допускают ошибки измерения, то цель окажется нанесенной в пределах четырехугольника ABCD. Если теперь разбить этот четырехугольник на 64 четырехугольника, аналогично тому, как это было сделано при сложении двух взаимно перпендикулярных векториальных ошибок (см. рис. 66), и отбросить те четырехугольники, в которых нахождение цели мало вероятно, то и в этом случае будет получена фигура близкая по очертанию к эллипсу. Следовательно, в конечном итоге при сложении двух векториальных ошибок, направленных под любым углом друг к другу, получается эллиптическая ошибка. Таким образом, эллиптической ошибкой называется ошибка на плоскости, получающаяся в результате сложения векториальных ошибок, имеющих различные направления в одной плоскости и следующих закону Гаусса. Чтобы иметь возможность судить о точности измерения, результатом которого является получение эллиптической ошибки, необходимо знать характеристику этой эллиптической ошибки. Как и для ошибок других категорий, которые были рассмотрены до этого, так и для эллиптической ошибки такой характеристикой должна быть какая-то срединная ошибка. Очевидно,что такая срединная ошибка должна иметь вид эллипса, связанного с теми векториальными ошибками, в результате сложения которых получается данная эллиптическая ошибка. За характеристику эллиптической ошибки принимается так называемый единичный эллипс, главными полуосями которого являются складываемые векториальные ошибки при условии, что эти ошибки взаимно перпендикулярны. /v> м Единичный эллипс (рис. 68) обозначается буквой е, главные его полуоси - буквами а (большая полуось) и b (малая полуось). 210 Единичный эллипс определяет векториальные (срединные) ошибки по любому направлению. Иначе говоря, любой полудиаметр единичного эллипса является в то же время векториальной ошибкой по направлению этого полудиаметра. Так, например, полудиаметр ОС является векториальной ошибкой по направлению MN, а полудиаметр OD - векториальной ошибкой по направлению KL и т. д. Исходя из этого свойства единичного эллипса, легко можно перейти к предельной по величине эллиптической ошибке - к полному эллипсу (вшах). Для этого достаточно по нескольким направлениям, проходящим через центр единичного эллипса, отложить предельные по величине ошибки-векторы, приняв их равными 4 или 5 векториальным ошибкам (полудиаметрам единичного эллипса), соответствующим этим направлениям, и затем построить полный эллипс (рис. 69). На любом диаметре нредельного эллипса можно построить шкалу ошибок, по которой могут быть определены вероятности получения ошибок в заданных пределах по направлению этого диаметра. _________^/?тах Рис. 69 Вернемся к рис. 66, на котором было показано распределение ошибок в пределах эллиптической ошибки. Из этого рисунка видно, что вероятность получения ошибки в пределах прямоугольника, ограниченного в дальности + /?д и в направлении ± /?н, равна 6,25% + 6,25% + 6,25о/0 + 6,25% = 25%; площадь же этого прямоугольника, называемого единичным прямоугольником, равна 2R.j/2/?H или, приняв /?д -я и /?н = #, 2а-2& = 4а6. Единичный эллипс находится в пределах этого единичного мрямоугольника. Взяв отношение площади единичного эллипса к площади единичного прямоугольника, найдем приближенное значение вероятности получения ошибки в пределах единичного эллипса: ^^-25 = 19,6% ^20%. 14* 211 Если учесть, что ошибки в пределах единичного прямоугольника распределяются неравномерно, то эта вероятность будет равна 20,3°/0. Помимо единичного эллипса, в некоторых случаях придется пользоваться так называемым половинным эллипсом, главные полуоси которого равны половинам складываемых векториальных ошибок. Вероятность получения ошибки в пределах половинного эллипса равна 5,5%- В частном случае сложения векториальных ошибок, когда складываются векториальные ошибки, равные между собой по величине и направленные по двум взаимно перпендикулярным линиям в одной плоскости, получается так называемая круговая ошибка. Круговая ошибка возникает, например, при нанесении точек на карту или планшет по координатам или при снятии координат таких точек. Большое практическое значение имеет вопрос об отклонениях, вызываемых эллиптическими ошибками. Допустим, что имеется единичный эллипс а, главные полуоси (составляющие векториальные ошибки) которого равны а и Ь, причем главная полуось а направлена по линии AZ. Допустим также, что имеется некоторое направление A/IN, перпендикуляр к которому M'N' и направление KL образуют угол а (рис. 70). Посмотрим, какое отклонение (срединное) вызовет единичный эллипс или эллиптическая ошибка от заданного направления MN. Проекция большой полуоси а на перпендикуляр M'N', т. е. отклонение, вызываемое векториальной ошибкой а от направления MN, по известной нам формуле равна a' = a-cos a; проекция малой полуоси b на тот же перпендикуляр M'N' (отклонение, вызываемое векториальной ошибкой b от направления MN) bf = b • cos (90° - а) == b sin а. Получили два независимых отклонения (срединных), направленных по одной прямой M'N'. По правилу сложения векториальных ошибок, имеющих общее1 направление, суммарное 212 отклонение, т. е. отклонение, вызываемое эллиптической ошибкой ?, Dr = у а" • cos2a + № • sin2a. Мы нашли отклонение, вызываемое эллиптической ошибкой от направления MN по перпендикуляру к нему M'N'. Совершенно очевидно, что можно найти отклонение, вызываемое той же эллиптической ошибкой, и от направления M'N' по перпендикуляру к нему, т. е. по направлению MN. В этом случае отклонения а" и Ь", вызываемые соответ- Ч---*• -4---"• ственно теми же векториальными ошибками а и Ь, будут: a"-a-cos (90° - a) = a-sina и #' = &-cosa. Тогда суммарное отклонение D" = ]/ а2 • sin2a + № • cos'2a. Суммарное отклонение D", в отличие от суммарного отклонения D', часто называют отклонением по некоторому направлению. Этими двумя формулами будем пользоваться при определении отклонений, вызываемых эллиптической ошибкой, от некоторого направления и по некоторому направлению. При этом под эллиптической ошибкой будем понимать единичный эллипс1. Пример 1. Имеется эллиптическая ошибка г, главные полуоси которой равны 50 м и 20 м. Чему равны отклонения, вызываемые этой эллиптической ошибкой от направления MN и по направлению MN, если это направление образует с направлением большой полуоси эллиптической ошибки угол 18°? Р е ш е н и е. Обозначим главные полуоси эллиптической ошибки через а = 50 м и Ь = 20 м. Найдем сначала суммарное отклонение (срединное) от направления MN. Отклонение, вызываемое векториальной ошибкой а, a' =fl-cosa = 50-cos 18° =50-0,951 = 47,55 м. Отклонение, вызываемое векториальной ошибкой Ь, b' - b-smoL = 20-sin 18° = 20-0,309 = 6,18 м. Тогда суммарное отклонение, вызываемое эллиптической ошибкой е, D' = уа'Ъ + Ь'* = Y 47-552 + 6'182 ~ 47'95 м- Суммарное отклонение, вызываемое заданной эллиптической ошибкой но направлению MN, D" = |/"50- sin-1"° + 202-cos-Tie5" = у 15,452 + 19.U22 и 24,5 м. 1 Вывода правила сложения векториальных ошибок на плоскости не дается ввиду его громоздкости. Частный случай сложения векториальных •шибок на плоскости, наиболее часто используемый в артиллерийской практике, приведен в 10-й книге Курса артиллерии, § 3. 213 Пример 2. Эллиптическая ошибка, получающаяся при определении положения цели с НП командира батареи, имеет следующие характеристики: векториальная ошибка в дальности /?д = 60 м и векториальная ошибка в направлении /?н = 20 м. Определить отклонения, вызываемые от линии наблюдения и по линии наблюдения бокового НП, если уюл, образованный линиями наблюдения обоих НП, равен 4-00. Решение, а = К. = 80 м; b - /?" = 20 м; о. = 4-00 = 24°. А Н а) Отклонение, гызываемое эллиптическо;} ошибкой от линии 'наблюдения бокового НП: D" = ]/ 802-COS2 24° + 202-sin2 24° " 73,35 м. б) Отклонение, вызываемое эллиптическом ошибкой по линии наблюдения бокового НП: D" = |/ 80*-sin" 24° + 202-cos224° ss 37,31 м. До сих пор мы складывали векториальные ошибки, лежащие на одной и той же плоскости. В артиллерийской практике нам приходится сталкиваться с одновременным действием нескольких векториальных ошибок (отклонений), не лежащих в одной плоскости. В первую очередь это относится к отклонениям дистанционных разрывов. Разберем наиболее простой и вместе с тем наиболее типичный случай - сложение трех векториальных ошибок, направленных по трем взаимно перпендикулярным линиям. Положим, что имеются три векториальные ошибки Rf, R" и R", направления которых совпадают с направлениями осей прямоугольной системы координат (рис. 71). Z /У, *~х Сложим последовательно и попарно заданные векториальные ошибки, зная, что при сложении двух векториальных ошибок всегда получается эллиптическая ошибка. Сложение векториальных ошибок R' и R", лежащих на плоскости ZXZ^Xl} даст нам эллиптическую ошибку а'. Сложение векториальных ошибок R" uR'", лежащих на плоскости ХУХ^\, даст эллиптическую ошибку г". Сложение векториальных оши- 214 бок R' и /?'", лежащих на плоскости ZFZ-Kj, даст эллиптическую ошибку е'". При этом плоскости всех трех эллиптических ошибок будут взаимно перпендикулярны. При одновременном действии заданных векториальных ошибок (систем) каждый раз получаются три отдельные ошибки-векторы, которые при сложении дадут какую-то суммарную ошибку-вектор. Если смотреть вдоль линии ХгХ. то отдельные ошибки-векторы относительно точки О могут быть направлены: в системе /?'--вверх и вниз,-в системе /?" -вперед и назад и, наконец, в системе R" - вправо и влево. Суммарная ошибка-вектор может получиться в результате любого сочетания отдельных ошибок-векторов, а отсюда и может занять любое положение в пространстве (в объеме), ограниченном некоторой поверхностью. Мы установили, что сечения этого объема тремя взаимно перпендикулярными плоскостями представляют собой эллипсы. Очевидно, что и любые другие сечения этого же объема дадут также эллипсы, так как эти сечения можно рассматривать как проекции эллипсов. А это значит, что такой объем представляет собой эллипсоид. При сложении трех векториальных ошибок, не лежащих в одной плоскости, получается эллипсоидальная ошибка. Эллипсоидальная ошибка обозначается буквой Э. Эллипсоидальная ошибка, по аналогии с эллиптической, характеризуется единичным эллипсоидом, главные полуоси которого равны составляющим векториальным ошибкам (при условии, что эти векториальные ошибки взаимно перпендикулярны). Если на направлениях соответствующих осей координатной системы отложить по 4 векториальные ошибки и построить эллипсоид, то получим эллипсоид Зшах, поверхность которого практически можно рассматривать как границу наибольших из всех возможных ошибок-векторов данной системы. Проекция Этах на любую плоскость дает эллипс, в котором проекции отдельных ошибок-векторов распределяются по закону эллиптической ошибки, как это было показано на рис. 661. § 44. ЗАДАЧИ НА ОШИБКИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Задача ПО. При полной подготовке исходных данных для стрельбы не была учтена поправка на ветер, который уменьшал дальность полета снаряда и отклонял его влево. Определить величину и направление допущенной ошибки, если известно, что поправка на продольную слагающую ветра равна 80 м, а на боковую слагающую 26 м. Ответ. 84 м~, угол с плоскостью стрельбы равен 18°. Задача 111. Выполняя команду, наводчик ошибся и поставил угломер 7-35 вместо 7-55 и прицел 96 вместо 93. Определить величину и направле- 1 Более подробно об эллипсоидальной ошибке будет сказано в § 50 при рассмотрении рассеивания дистанционных разрывов. 215 ние отклонения снаряда, которое будет вызвано ошибками наводчика (ЪХ = 50 м). Ответ. 178 ж, угол с плоскостью стрельбы равен 32°41'. Задача 112. При стрельбе производятся измерения отклонений разрывов от цели по дальности. Срединная ошибка прибора равна 30 м пВд= 25 м. Найти срединную ошибку определения положения средней траектории относительно цели в дальности, если принять отклонение отдельного разрыва от цели за отклонение средней траектории. О т в е т. 39 м. Задача 113. Производится пристрелка по измеренным отклонениям. Срединная ошибка в определении отклонения по дальности равна 20 м; Вд=30 м. Чему, равна срединная ошибка в корректуре дальности по группе из четырех выстрелов? Ответ. 18 м. Задача 114. Срединные ошибки в дальности при учете метеорологических условий стрельбы при полной подготовке таковы: на продольную слагающую ветра...........20 м " барометрическое давление ............. 8 . " температуру воздуха •..............15 , Чему равна срединная ошибка поправки в дальности на отклонения метеорологических условий стрельбы? Ответ. 26,25 м. Задача 115. При определении исчисленной дальности срединные ошибки таковы: - при учете метеорологических условий стрельбы - 0,6% дальности; - при учете балистических условий стрельбы - 0,4% дальности; - при определении топографической дальности-0,7% дальности. Какова вероятность того, что исчисленная дальность будет найдена с ошибкой, не превышающей 2°/0 дальности? Ответ. Rx 1<>/0 дальности; Р = 0,82266. Задача 116. Ведется пристрелка по измеренным отклонениям. Срединная ошибка в определении отклонения в дальности равна 25 м\ Ед - 36 м~ Сделано 6 выстрелов. Средняя точка нанесена на планшет со срединной ошибкой 9 м. Чему равна вероятность того, что корректура дальности будет произведена с ошибкой, не превышающей 25 ж? О т в е т. R ^ 20 м; Р = 0,60083. Задача 117. Целеуказание передается с правого наблюдательного пункта на левый. Векториальная ошибка в определении положения цели в дальности дающего целеуказание равна 80 м. Какое отклонение вызовет эта ошибка от линии наблюдения принимающего целеуказание, если угол засечки равен 2-00? Ответ. 16,64 м. Задача 118. Срединная ошибка в определении положения цели с пункта командира дивизиона в направлении равна 20 м. Какое отклонение вызовет эта ошибка от линии наблюдения командира батареи при приеме им целеуказания, если угол, образованный линиями наблюдения командира дивизиона м командира батареи, равен 4-00? Ответ. 18,28 м. Задача 119. Эллиптическая ошибка задана главными полуосями: д=30 "и и b = 12 м. Чему равны отклонения, вызываемые этой эллиптической ошибкой, от некоторого направления MN и по направлению MN, если это направление с направлением полуоси а составляет угол 36°? О т в е т. D' = 25,2 м; D" = 20,1 м. Задача 120. Срединные ошибки в определении положения цели с НП командира дивизиона равны: в дальности 150 м и в направлении 50 м. Определить отклонение, вызываемое этой эллиптической ошибкой, от линии наблюдения командира батареи при приеме им целеуказания, если угол между линиями наблюдения командира дивизиона и командира батареи равен 1-50- Ответ. 54,7 м. РАЗДЕЛ III РАССЕИВАНИЕ ПРИ СТРЕЛЬБЕ § 45. ЯВЛЕНИЕ РАССЕИВАНИЯ ТРАЕКТОРИЙ И ЕГО ПРИЧИНЫ Если бы снаряды данного калибра и типа обладали совершенно одинаковыми весом и формой, если бы боевые заряды к ним были совершенно одинаковы по весу и балистическим свойствам пороха, если бы прицеливание орудия производилось совершенно одинаково и стрельба производилась при неизменных метеорологических условиях, то при ведении огня на одних и тех же установках все снаряды описали бы одну и ту же траекторию, и точка падения для всех снарядов была бы одна и та же. В действительности, вследствие наличия причин, о которых будет сказано ниже, добиться полного единообразия при производстве отдельных выстрелов невозможно. Поэтому каждый снаряд будет иметь свою траекторию и свою точку падения, несмотря на то, что снаряд, заряд и установки прицельных приспособлений при производстве выстрелов меняться не будут. Такое явление называется рассеиванием снарядов^ точнее-рассеиванием, траекторий. Все причины, вызывающие рассеивание траекторий, могут быть сведены в следующие три группы: A. Причины, вызывающие разнообразие начальных скоростей. Б. Причины, вызывающие разнообразие в положении оси канала ствола орудия в момент выстрела - разнообразие углов-бросания и положений плоскости стрельбы. B. Причины, вызывающие разнообразие условий полета снаряда после его вылета из орудия. Рассмотрим отдельно каждую из этих групп, отметив наиболее существенные причины. 217 А. Причины, вызывающие разнообразие начальных скоростей: 1. Разнообразие весов боевых зарядов, являющееся следствием ошибок (неточностей), допускаемых при развеске боевых зарядов. Различие в весах боевых зарядов приводит к различию начальных скоростей - больший по весу боевой заряд сообщает снаряду большую начальную скорость. 2. Разнообразие балистических свойств пороха боевых зарядов, вытекающее из природы самих бездымных порохов. Несмотря на всю тщательность изготовления, сортировки и хранения бездымных порохов, балистические свойства боевых зарядов, изготовленных из пороха одного и того же сорта и даже одной и той же партии, будут различны. Это различие сказывается на процессе горения боевого заряда в канале ствола орудия и вызывает различие в начальных скоростях. 3. Разнообразие температур боевых зарядов; различны условия доставки боевых зарядов на огневую позицию (вид транспорта, укупорка, состояние погоды и т. д.); различны условия содержания боевых зарядов на огневой позиции (в укупорке или без нее, в нишах, погребках или на открытом воздухе, в тени или на открытом месте и пр.); различны, наконец, промежутки времени для отдельных выстрелов от момента заряжания до момента производства выстрела, следовательно, различно влияние на боевые заряды нагрева ствола, •который при интенсивной стрельбе может нагреваться до температуры, измеряемой десятками и даже сотнями градусов. Все это приводит к тому, что к моменту производства выстрелов боевые заряды имеют различную температуру, а боевой заряд, имеющий в момент воспламенения большую температуру, сообщает снаряду и большую начальную скорость. 4. Разнообразие плотностей заряжания. Основные причины: неодинаковый досыл снарядов при заряжании и разнообразие размеров и положений ведущего пояска у различных снарядов. Вследствие этих причин объем зарядной каморы, а отсюда и плотность заряжания1 будут изменяться от выстрела к выстрелу. Изменение плотности заряжания сказывается на начальной скорости - при большей плотности заря-.жания горение боевого заряда происходит интенсивнее и начальная скорость будет больше. 5. Разнообразие весов снарядов как результат ошибок (неточностей, допусков) при изготовлении снарядов ,и взрывателей. Снаряд большего веса будет иметь меньшую начальную скорость. 1 Плотностью заряжания называется отношение весл заряда к объему зарядной каморы. 218 С изменением начальной скорости изменяется и дальность полета снаряда - большей начальной скорости соответствует большая дальность полета снаряда. В Правилах стрельбы наземной артиллерии 1945 г. (приложение 4) приведена таблица для приближенного учета условий стрельбы. Эта таблица показывает, что изменение начальной скорости на 1°/0 вызывает изменение дальности от 1 до 2%. Например, при стрельбе из \52-мм гаубицы-пушки обр, 1937 г. на третьем заряде и на дальности 7 000 м изменение начальной скорости на 1% изменяет дальность на 91 м, что соответствует 1,3% дальности. Таким образом, даже незначительные колебания начальной скорости приводят к большим отклонениям снарядов, а так как эти колебания достигают в отдельных случаях 1 - 1,5%, то разнообразие начальных скоростей и является основной причиной рассеивания траекторий по дальности. Б. Причины, вызывающие разнообразие углов бросания и положений плоскости стрельбы: 1. Разнообразие установок угломера, уровня и прицела вследствие неодинакового для различных выстрелов совмещения указателей с делениями на соответствующих шкалах прицельных приспособлений. 2. Разнообразие в наведении орудия в горизонтальной и вертикальной плоскостях в результате неточного и неодинакового совмещения перекрестия панорамы с точкой прицеливания (наводки), неодинакового подведения пузырьков уровней на середину, а также вследствие мертвых ходов механизмов. 3. Разнообразие углов вылета и боковых смещений орудия при выстреле, что в основном определяется конструктивными особенностями самого орудия. Эта группа причин приводит к увеличению рассеивания по направлению и по дальности (по высоте). Разнообразие углов бросания наиболее сильно сказывается при малых углах бросания и в особенности при больших начальных скоростях. При углах бросания, близких к 45°, влияние разнообразия углов бросания сводится к нулю. В. Причины, вызывающие разнообразие условий полета снаряда: 1. Разнообразие атмосферных условий. Так как атмосфера находится в постоянном движении, то атмосферные условия полета различных снарядов неодинаковы. Это влечет за собой увеличение рассеивания по направлению к по дальности. Особенно сильно сказываются изменения направления и скорости ветра, что может происходить в короткие промежутки времени. 219 2. Разнообразие балистических коэфициентов. Под разнообразием балистических коэфициентов будем понимать колебания в весе, форме, размерах различных снарядов и положении их центра тяжести, а также неодинаковые размеры и расположение их ведущих поясков. Все эти колебания вызывают изменения в ускорении силы сопротивления воздуха и, как следствие, в дальности полета снаряда. 3. Разнообразие смазки наружной поверхности снарядов, что также приводит к изменению силы сопротивления воздуха. Из всего сказанного следует, что рассеивание траекторий неизбежно. Однако, если рассеивание траекторий при стрельбе неиз-бежно, то все же возможно и необходимо принимать меры для уменьшения рассеивания, так как чем меньше рассеивание траекторий, тем меньше требуется снарядов для решения огневой задачи. Уменьшить рассеивание можно, во-первых, путем повышения качества производственно-технической работы (уменьшение допусков, тщательность обработки, точность всех измерений и пр.) и, во-вторых, путем соответствующих мероприятий в процессе эксплоатации материальной части непосредственно в артиллерийских частях и подразделениях. Меры, принимаемые для уменьшения рассеивания при эксплоатации материальной части: 1. Подбор боевых зарядов одной и той же партии изготовления и хранение их в условиях, обеспечивающих одинаковую температуру зарядов. 2. Подбор снарядов по партиям и весовым знакам, тщательная очистка снарядов от лишней смазки, а главное - от приставших частиц земли, песка и т. п. 3. Однообразный досыл снарядов при заряжании. 4. Однообразие иГтщательность установки угломера, уровня и прицела; однообразие и тщательность наводки. 5. Уменьшение влияния мертвых ходов механизмов вращением маховиков всегда в одну и ту же сторону1. 6. Установка орудия на орудийной площадке и устройство орудийной площадки, устраняющие подпрыгивание орудия и, в особенности, его боковые смещения в процессе стрельбы. 7. Выбор достаточно удаленной, хорошо видимой и-устойчивой точки наводки. 1 При совмещении перекрестия панорамы с точкой наводки, совмещении прицельной и орудийной стрелок, при подведении пузырьков уровней на середину и т. п. 220 § 46. СНОП ТРАЕКТОРИЙ Совокупность всех траекторий, получаемых при. стрельбе из данного орудия в данных условиях при достаточно большом числе выстрелов, произведенных в течение небольшого промежутка времени, называется снопом траекторий. Все причины, вызывающие рассеивание траекторий, были сведены в три группы. Посмотрим, как каждая из этих групп причин влияет на положение отдельных траекторий в снопе траекторий. |Г Начнем с группы причин, вызывающих разнообразие углов бросания, допустив, что другие причины, вызывающие рассея-вание траекторий, отсутствуют (рис. 72). г f а Рис. 72 Если стрельбу ведут при малых углах бросания, то можно считать, что при небольших изменениях угла бросания траектории будут только отклоняться вверх или вниз, сохраняя свою форму, т. е. получится пучок траекторий, имеющих одинаковую кривизну и расходящихся в точке вылета О. Условимся при этом, что траектория / соответствует случаю полного отсутствия причин, вызывающих рассеивание траекторий. '•sr Если допустить, что действует только группа причин, вызывающих разнообразие начальных скоростей, мы получили бы пучок исходящих из точки вылета траекторий, но все этм траектории шли бы от общей касательнойлв точке вылета и 1 4 Рис. 73 имели бы различную кривизну (рис. 7';). Условимся и здесь, что траектория / соответствует случаю полного отсутствия причин, вызывающих рассеивание траекторий. Объединим действия этих двух групп причин. Наложив рис. 72 на рис. 73 так, чтобы траектории 1 обоих рисунков 221 совпали (рис. 74), получим пучок взаимно пересекающихся траекторий, исходящих из точки вылета. Еще больше точек пересечения траекторий" мы получили бы, если бы учли влияние третьей группы причин - причин, вызывающих разнообразие условий полета снаряда. 5 2 1 ЗЬ Рис. 74 В некоторых случаях даже одна и та же причина может привести к пересечению траекторий. На рис. 75 показаны: траектории двух снарядов различного веса. Более легкий снаряд вылетит с большей начальной скоростью, и поэтому его траектория / на некотором расстоянии от точки вылета пойдет выше траектории 2 более тяжелого снаряда. Но так как более тяжелый снаряд имеет большую поперечную нагрузку1, то, начиная с некоторого момента, он будет иметь Рис. 75 большую скорость полета, полетит дальше, и его траектория, пересечет траекторию более легкого снаряда (на рис. 75--з точке А). При одновременном действии нескольких причин могут быть не только пересечения, но и переплетения траекторий. Возьмем два снаряда, выпущенных при различных углах бросания (рис. 76): более тяжелый снаряд при большем угле 1 2 Рис. 76 1 Поперечной нагрузкой называется отношение веса снаряда к его наибольшему поперечному сечению. Ускорение силы сопротивления воздуха обратно пропорционально поперечной нагрузке снаряда. Снаряд, имеющий большую поперечную нагрузку, лучше сохраняет свою скорость на полете. 222 бросания и более легкий - при меньшем. Вначале более легкий снаряд полетит ниже более тяжелого, но так как более легкий снаряд, имеет большую начальную скорость, то он как бы: перегонит более тяжелый снаряд и пересечет его траекторию 2 в некоторой точке Кг. В дальнейшем скажется большая поперечная нагрузка более тяжелого снаряда, и получится вторая точка пересечения траекторий /С2. Те же взаимные пересечения и переплетения траекторий мы получим, если будем рассматривать влияние причин, вызывающих боковые отклонения (боковое рассеивание) снарядов. Так, разнообразие направлений полета снарядов даст пучок траекторий, расходящихся от точки вылета, подобный тому,, который показан на рис. 72, но только в горизонтальной плоскости, а разнообразие условий полета снарядов даст пучок траекторий, идуший от общей касательной. Наложение этих двух пучков один на другой приведет к взаимным пересечениям и переплетениям траекторий. Таким образом, сноп траекторий представляет собой пучок пересекающихся и переплетающихся кривых, исходящих из общей точки - точки вылета. Явление рассеивания, изображенное на рис. 72-76, для большей наглядности представлено в утрированном виде. Чтобы показать взаимные пересечения и переплетения траекторий, отклонения концов траекторий построены в значительно более крупном масштабе по сравнению с дальностями полета, снарядов. В действительности эти отклонения по сравнению с дальностью настолько незначительны, что при построении снопа траекторий в одном и том же масштабе, даже таком крупном, как 1 :500, этих пересечений и переплетений невозможно было бы показать. Поэтому, учитывая малую величину кривизны траекторий, принимают отрезки траекторий на небольших участках снопа траекторий как ряд параллельных прямых. Воображаемая траектория, проходящая в середине снопа траекторий, называется средней траекторией (рис. 77). Средняя траектория Рис. 77 Средняя траектория - это такая воображаемая траектория, которая была бы получена при отсутствии причин, вызывающих рассеивание траекторий (траектории / ка приведенных выше рисунках). Средняя траектория определяет положение 223 снопа траекторий в пространстве. Точка падения, отвечающая средней траектории, называется центром рассеивания и обоз- начается Су. § 47. ЗАКОН РАССЕИВАНИЯ ТРАЕКТОРИЙ При полном отсутствии причин рассеивания всем снарядам, выпущенным в одних и тех же условиях, будет соответствовать одна и та же траектория. Наличие же хотя бы одной из этих причин приводит к отклонениям точек падения отдельных снарядов от центра рассеивания, причем эти отклонения носят случайный характер. Допустим, что в данных условиях стрельбы имеется только одна причина, вызывающая рассеивание траекторий, - разнообразие весов боевых зарядов. Вследствие ошибок, допущенных при развеске, боевые заряды будут различаться своими весами. Центру рассеивания отвечает боевой заряд абсолютно точного веса. Различные по величине и знаку отклонения весов отдельных боевых зарядов вызовут различные по величине и знаку отклонения точек падения отдельных снарядов от центра рассеивания. А так как отклонения весов боевых зарядов, как следствие случайных ошибок измерений, носят случайный 'характер, то такой же характер будут иметь и отклонения отдельных точек падения. Рассматривая причины рассеивания, можно заметить, что подавляющее большинство этих причин в той или иной степени связано со случайными ошибками различного рода измерений. Имеются также причины рассеивания, возникновение которых с ошибками измерений никакой связи не имеет. Но и в этом случае можно считать, что такие причины связаны с отклонениями случайного порядка (разнообразие температур боевых зарядов, разнообразный досыл снарядов при заряжании, различное состояние наружной поверхности снарядов и пр.). Если случайные отклонения, вызываемые действием отдельных причин рассеивания, и не следуют закону Гаусса, то отклонения точек падения, как результат взаимодействия всех причин рассеивания, без особых погрешностей могут быть приняты как отклонения, следующие закону Гаусса или закону, весьма близкому к закону Гаусса. Это со всей очевидностью вытекает из свойств закона Гаусса (см. стр. 156). Закон рассеивания траекторий (точек падения) - закон Гаусса. Опытные данные подтверждают этот вывод. Графически закон рассеивания может быть выражен кривой Гаусса, показывающей зависимость между величинами отклонений точек падения снарядов от центра рассеивания и вероятностями их получения (рис. 78). 224 Так, например, вероятность получения отклонения в пределах от а до b выражается площадью abed, вероятность получения отклонения в пределах от k до / - площадью klmn и т. д. Р < _с / ы / Nm / / / 1 Ъ- п 1К ' % • ^^ -ь 0 а Ь " L ~~ Рис. 78 Применительно к рассеиванию закон Гаусса может быть сформулирован так: 1. Отклонения отдельных точек падения от центра рассеивания, малые по величине, имеют большую вероятность, чем большие - с увеличением отклонения вероятность его получения уменьшается. 2. Отклонения отдельных, точек падения от центра рассеивания, заключающиеся в равных по абсолютной величине пределах, но разные по знаку, равновероятны. 3. Отклонения отдельных точек падения от центра рассеивания, превосходящие некоторую вполне определенную в данных условиях величину, имеют такую малую вероятность, что практически ими можно пренебречь. Короче, рассеивание неравномерно, симметрично и небеспредельно. • Эти положения закона рассеивания достаточно подробно изложены в книге I Курса артиллерии. Перейдем к оценке рассеивания траекторий. Представим себе горизонтальную площадку и поставленный на ней вертикальный щит и допустим, что через центры щита и площадки проходит средняя траектория, которой отвечает центр рассеивания Су (рис. 79). 15-Зак. 9'Л 225 Проведем через центр щита вертикальную (отвесную) линию ББ и перпендикулярную к ней линию ВВ. Если через этот же щит пройдут две случайные траектории 1 и 2, то на щите получатся две пробоины (две точки попадания) С- и С2. Положения этих пробоин относительно центра рассеивания будут определяться соответствующими отклонениями: от линии ВВ - отклонениями по высоте, от линии ББ - боковыми отклонениями. Поэтому в вертикальной плоскости линия ВВ принимается за ось рассеивания по высоте, а линия ББ - за ось бокового рассеивания. Проведем теперь через центр горизонтальной площадки две взаимно перпендикулярные линии: Б'Б' и ДД, причем линию Б1Б проведем так, чтобы она с линией ББ вертикального щита лежала в одной и той же вертикальной плоскости. Тогда положения случайных точек падения (воронок) Сг и С2 относительно центра рассеивания могут быть определены: по дальности - отклонениями от линии ДД и по направлению - от линии Б'Б', т. е. в этом случае линия ДД принимается за ось рассеивания по дальности в горизонтальной плоскости, а линия Б'Б' - за ось бокового рассеивания в той же плоскости. Таким образом, рассеивание точек попадания на вертикальной плоскости складывается из рассеивания этих точек по высоте и их бокового рассеивания, а рассеивание точек падения на горизонтальной плоскости - из рассеивания этих точек по дальности и их бокового рассеивания. Допуская параллельность концов траекторий, нетрудно установить (см. рис. 79), что для одних и тех же траекторий боковые отклонения в вертикальной плоскости равны по величине и по знаку боковым отклонениям в горизонтальной плоскости. Это означает, что боковое рассеивание в вертикальной плоскости равно боковому рассеиванию в горизонтальной плоскости. Рассматривая рассеивание отдельных траекторий только в одном направлении и учитывая, что рассеивание по дальности (по высоте) не зависит от бокового рассеивания, можно счи-тать, что это рассеивание следует закону Гаусса так же, как л инейные ошибки. Отсюда по аналогии со срединной ошибкой, за меру рассеивания по данному (одному) направлению принимают срединное отклонение, т. е. такое отклонение, которое по абсолютной величине больше каждого из отклонений одной половины всех отклонений и меньше каждого из отклонений другой половины. Следовательно, срединное отклонение определяется тем, что вероятность получить отклонение, которое по абсолютному значению больше или меньше срединного отклонения, равна половине (0,5). Отклонения, которые по абсолютному значению меньше срединного отклонения, называют лучшей половиной отклонений, отклонения, которые по абсолютному значению больше срединного отклонения,- 226 худшей половиной отклонений. Нередко вместо термина срединное отклонение применяют термин вероятное отклонение. Исходя из того, что рассеивание траекторий можно рассматривать по трем направлениям, приняты следующие обозначения срединных отклонений: Вд - срединное отклонение по дальности, Be - срединное отклонение по высоте и Вб-срединное боковое отклонение. Численно закон рассеивания по одному направлению выражается шкалой рассеивания, которая по своей сущности ничем не отличается от шкалы ошибок. По шкале рассеивания можно.решать те же задачи, что и по шкале ошибок, только применительно к отклонениям траекторий. По внешнему виду шкала рассеивания отличается от шкалы ошибок тем, что на шкале рассеивания всегда прочерчивается средняя траектория. На рис. 80 показана шкала рассеивания по дальности при Вд - 25 м. О +25л7 +50м +75м МОО.м О +69 +203 +380 +-"8д -100м -75м -50м -25н -ЬВд -ЗВд -ZB6 -Btd^ 0,02 0,07 0,16 0,25 0,25 0.16 0,07 0,02 > Рис. 80 По этой шкале можно, например, определить вероятность получения отклонения в пределах от -f- 25 до + 50 м. Эта вероят ность равна 0,16. Более подробно об использовании шкалы рассеивания будет сказано в следующей главе. Допустив, что конец траектории на небольшом протяжении может быть принят за прямую линию, можно легко установить зависимость между срединным отклонением по дальности и срединным отклонением по высоте (рис. 81). Рис. 81 Из прямоугольного треугольника АСВ имеем: Вв - Вд- tg 'Cf или Бе Bd = -^ = Be.ctgOc. 227 Эта зависимость позволяет по углу падения и величине одного из этих срединных отклонений определить величину другого срединного отклонения. Пример. Опытными данными установлено, что fee = 8 м. Определить величину Вд, если ^ 6С = 22°. Решение. Находим значение tg Ос. По таблице натуральных логарифмических величин tg22° = 0,404. Тогда Бе 8 Вд = W = "им *19'8 м- На рис. 81 видно, что между перемещением траектории по дальности (A.Y) и перемещением траектории по высоте (A Y) при изменении установки прицела на одно деление имеется та же зависимость, что и между Вд и Вв. Из прямоугольного треугольника DCF имеем: ?•=*".. откуда Вв Д? Вд - ДА' ' Наклон местности в районе падения снарядов в сторону стреляющего орудия и в обратную сторону влияет на величину рассеивания. Так как боковое рассеивание на вертикальной и на горизонтальной плоскостях одно и то же, то боковое рассеивание не зависит от наклона местности в сторону стреляющего орудия и в обратную сторону. Очевидно, не зависит от наклона местности и рассеивание по высоте, если плоскость цели занимает строго вертикальное положение. Что же касается рассеивания по дальности, то при стрельбе по скатам, обращенным в сторону стреляющего орудия, рассеивание по дальности уменьшается, а при стрельбе по обратным скатам увеличивается. ЯЭ,< 83ц Вдг>вд Рис. 82 На рис. 82 показано влияние наклона местности на величину Вд. Так, если местность в районе падения снарядов наклонена в сторону стреляющего орудия (АА), то срединное :>28 отклонение по дальности Вд^ будет меньше табличного Вд, т. е. данного в Таблицах стрельбы для горизонтальной местности. При наклоне местности в обратную сторону (ВВ) срединное отклонение по дальности Вд2 будет больше табличного. Найдем зависимость между величиной срединного отклонения по дальности и величиной угла наклона местности. Положим, что местность имеет наклон в сторону стреляющего орудия и угол этого наклона равен а (рис. 83). Рис. 83 Опустив из точки С перпендикуляр на продолжение линии DB, получим два прямоугольных треугольника: CAB и CAD. Из этих треугольников имеем: СА - 5d- -sm(9c + a) и СА = Вд • sin Ос, так как углы CDB и 6С равны между собой, как накрест лежащие, а угол СВА равен сумме углов (Ое -4- а), как внешний угол в треугольнике CDB. Следовательно, откуда ?-, пор. У. вания t Z, вания ( i / 1 X У. Z. t { i 1 -1,6 -2,2 4,84 -1,0 +0,2 0,04 2 +0,6 0,0 0,00 -2,3 - 1,1 1,21 3 +2,4 +1,8 3,24 +0,8 +2,0 4,00 4 + 1,2 +0,6 0,36 - 1,0 +0,2 0,04 5 -0,6 - 1,2 1,44 -2,1 -0,9 0,81 6 -1,6 -2,2 4,84 - 1,5 -0,3 0,09 234 По высоте (К) По направлению (Z) № Отклоне- Отклоне- Отклонение от ние от Отклонение от ние от 0 по центра щита центра группиро- х2к. центра щита центра группиро- , ь ^z. яор" Yi вания ( Z; вания V. 1 xz. 1 i 7 + 1,0 +0,4 0,16 -0,4 +0,8 0,64 8 +2-7 +2,1 4,41 - 1,0 +0,2 0,04 9 -0,3 -0,9 0,81 - 1,9 -0,7 0,49 10 -1,7 -2,3 5,29 - 1,6 -0,4 0,16 11 + 1,4 +0,8 0,64 -0,4 +0,8 0,64 12 +2,4 + 1,8 3,24 +0,1 + 1,3 1,69 13 +0,6 0,0 0,00 -2,0 -0,8 0,64 14 -1,6 -2,2 4,84 -1,2 0,0 0,00 15 + 1,9 +1,3 1,69 -1,3 -0,1 0,01 16 -1,3 -1,9 3,61 -1,0 +0,2 0,04 17 +2,3 + 1,7 2,89 -2,5 -1,3 1,69 18 +0,8 +0,2 0,04 -1,3 -0,1 0,01 19 + 1,4 +0,8 0,64 -2,7 -1,5 2,25 20 +2,0 + 1,4 1,96 +0,3 +1,5 2,25 -3^=4-12,0 2Ху =0 24 = 44,94 SZt-=- 24,0 sxz=o SX| = 16,74 i i i I Координаты центра группирования: по высоте 6 _•_ 12'° J-ПК "• ie = + ^o-=="f0'6'M' яо направлению g _ 24,0__12 'б~~~20~~~ ' Тогда искомые срединные отклонения: Вв = 0,67449 h /--------! 1/ 19 Вб = 0,67449 1 / 16'7/ у ~19~ 1,027 ж; 0,594 м; _ 1,027 ва= -L\ tg2°30' 23,27 м. Пример 2. При стрельбе по реперу было выпущено на одних и тех же установках 16 снарядов. Местность в районе расположения репера ровная, без наклона. Промером были найдены следующие отклонения отдельных воронок относительно репера в метрах. По дальности: _4i, -64, +7, -31, -12, -53, -68, -40, -69, -60, -50, -91, -36, -63, -35 и -92. 235 По направлению: +5, +10, +6, +10, -f9, +6, +6) + 8, +6> +5, 48, +5,+9<, +8, +5 и +5. Определить подходящие значения Вд, Вб и Be, применяя метод раз*--востей между соседними отклонениями, если угол падеяия Ос = 12°. Решение. Находим алгебраические разности между двумя соседними отклонениями, а затем по сумме квадратов этих разностей определяем подходящие значения соответствующих срединных отклонений. о. о По дальности (У) По направлению (Z) с 0 У. У -У и,, 2 Z. Z. . - Z. и.. 2 % i /4-1 i у i "У. i /-i / zi "Z. V 1 __ 41 -64441 -23 529 + 5 + 10-5 +5 25 2 -64 +7+64 +71 5041 + 10 +6-10 -4 16 3 + 7 -31-7 -38 1444 + 6 + 10-6 +4 16 4 -31 -12+31 +19 361 Ч- ю +9-10 -1 1 5 -12 -53+12 -41 1681 + 9 +6-9 -3 9 6 -53 -68+53 -15 225 + 6 + 6-6 0 0 7 -68 -40+68 +28 784 + 6 + 8-6 +2 4 8 -40 -69+40 -29 841 + 8 +6-8 -2 4 9 -69 -60+69 +9 81 + 6 +5-6 _ j 1 ' 10 -60 -50+60 + 10 100 + 5 +8-5 +3 9 11 -50 -91+50 -41 1681 + 8 +5-8 -3 9 12 -91 -36+91 + 55 3025 + 5 +9-5 +4 16 13 -36 -63+36 -27 729 + 9 +8-9 -1 I 14 -63 -35+63 + 28 784 + 8 +5-8 -3 9 15 -35 -92+35 -57 3249 + 5 +5-5 0 0 16 -92 + 5 -92+41= S "у = 2 4.= +5-5=0 s "z.=o 2 "1 = =-51 =-51 =20555 =120 Вд = 0,47694 l/-^5-^- x 18,28 м\ V 14 Be = Bd-\g Qc = 18,28-0,213 и 3,89 м; 5^ = 0,476941/-° "1,4л/. У 14 § 49. РАССЕИВАНИЕ ПРИ СТРЕЛЬБЕ ИЗ НЕСКОЛЬКИХ ОРУДИЙ В процессе изготовления орудий неизбежно допускается ряд ошибок, неточностей, отклонений и пр. Поэтому, даже совершенно новые орудия одного и того же калибра, типа и образца будут несколько различаться своими балистическими свойствами. Невозможно абсолютно точно выверить прицельные приспособления у отдельных орудий. Наконец, неравномерная нагрузка на орудия при стрельбе приводит к неодина- 236 шэвому износу каналов стволов. Поэтому к причинам рассеивания, рассмотренным выше (см. § 45), при стрельбе батареей добавляется еще одна-разнобойностъ орудий. Разнобойность орудий батареи заключается в том, что при стрельбе на одних и тех же установках центры группирования отдельных орудий не совпадают. При этом под разно-"бойностью орудий понимается только разнобойность в дальности1. Разнобой н остью (или разнобоем) орудий называется разность дальностей центров группирования при стрельбе из различных орудий батареи при одном и то"м же угле возвышения. При теоретических обоснованиях стрельбы исходят из того, что разнобойность орудий отсутствует. Разнобойность орудий при стрельбе батареей - явление неизбежное. Поэтому необходимо установить: во-первых, насколько возможно практически устранить эту разнобойность и, во-вторых, какую разнобойность следует считать допустимой. Начнем с возможности устранения разнобойности. Основной причиной разнобойности является неодинаковый износ каналов стволов орудий, что приводит к разнообразию начальных скоростей различных орудий батареи при стрельбе на одних и тех же установках. Определение разнобойности орудий производится двумя способами: путем обмера длины зарядных камор орудий и стрельбой по реперу. Оба эти способа подробно описаны в Правилах стрельбы наземной артиллерии 1945 г. (приложения 2 и 3). Рассмотрим способ сострела орудий с сопряженным наблюдением и определим величину ошибки, которая получается в этом случае при определении разнобойности. Большая полуось эллиптической ошибки засечки а определяется по формуле2 &Д а- 1414-sin TJ Положим, что срединная ошибка прибора 5 = 1,5 деления угломера, дальность наблюдения Д = 3000 м, угол засечки 7=3-00=18° и ?д-=25 м. Тогда по приведенной выше формуле _ ".мм _20 1414. sin 9° 1 При стрельбе батареей есть разнобойность орудий и по направлению. Но эта разнобойность, являющаяся в основном следствием ошибок, неизбежно допускаемых при построении параллельного веера, заранее (до стрельбы) учтена быть не может и в процессе каждой стрельбы устраняется состре--ЕОМ веера требуемой ширины. 2 См. 10-ю книгу Курса артиллерии, § 3. 237 срединная ошибка в дальности засечки одного разрыва (с учетом рассеивания) по правилу сложения векториальных (срединных) ошибок _____ ______ /?! = Va? + Вд* = К202 + 252 я 32 м. Согласно Правилам стрельбы, при состреле орудий данным методом для определения положения центра группирования одного орудия необходимо произвести из этого орудия 6-$ выстрелов. Это означает, что точность такого определения (при 8 выстрелах) будет характеризоваться срединной ошибкой /\ == '----=~ = 1 1,0 М, V" . и тогда срединная ошибка, характеризующая точность определения разнобойности двух орудий, /?р = 1/11,32Н- 11,3* = 16 л "0,64 ЯЛ Этот расчет показывает, что определение величины разнобойности орудий способом сострела неизбежно сопровождается ошибкой и притом ошибкой сравнительно большой. Поправка на разнобойность орудий учитывается уровнем-При переводе поправки на разнобойность, выраженной в метрах (разность корректур отдельных орудий батареи), в поправку, выраженную в делениях уровня, также неизбежно допускается ошибка - ошибка округления и, наконец, при введении такой рассчитанной поправки в установку уровня добавляется еще одна ошибка - ошибка округления самой установки уровня. Все это приводит к еще большему увеличению ошибки прге учете разнобойности орудий батареи. Отсюда можно сделать следующие выводы: во-первых, при определении разнобойности орудий способом сострела полностью устранить разнобойность невозможно, во-вторых, величина этой неустранимой (остаточной) разнобойноети довольно значительна. К таким же выводам мы придем при рассмотрении способа определения разнобойности путем измерения длины зарядных камор орудий. Здесь будут ошибки при измерении длины зарядных камор, при определении по удлинению камор отклонений начальных скоростей отдельных орудий батареи, при: переводе этих отклонений в поправки уровня и, наконец, при введении этих поправок в установки уровня. Установлено, что при тщательном определении тем или иным способом разнобойности орудий и обязательном ее учете при стрельбе неустраненная (остаточная) разнобойность не превышает 1,5 - 2Вд. Такую остаточную разнобойность орудий нужно иметь в виду при стрельбе батареей. Перейдем теперь к вопросу о допустимой при стрельбе батареей разнобойности орудий, т. е. такой разнобойности, которая при ведении огня батареей не потребует применения 2с!8 каких-то особых правил стрельбы по сравнению с правилами,, выработанными для одного орудия. Получив ответ на этот вопрос, установим, в какой степени остаточная разнобойность. орудий скажется при стрельбе батареей. Положим, что разнобойность двух орудий равна 2 Вд и Вд = 20 м. Посмотрим, что будет представлять софой общая, шкала рассеивания этих орудий, т. е. шкала батарейного рассеивания. Если из каждого орудия произвести по 100 выстрелов на одних и тех же установках и допустить, что точки падения при этом распределяются в каждом орудийном эллипсе согласно закону рассеивания (см. 1-ю и 2-ю строчки рис. 86), то распределение точек падения в батарейном эллипсе может быть легко найдено простым сложением (см. числитель 3-й строчки). При пересчете на 100 выстрелов это распределение, будет вдвое меньше (см. знаменатель 3-й строчки). |-*-2б1 \ Н *\ 24,5 24,5 |" 5 ',1 1,3 ~2Вд~*. Рис. 86 Батарейный эллипс оказался равным 10 Вд, т. е. 200 м. Если рассчитать распределение точек падения в батарейном, эллипсе на 8 срединных отклонений, то это распределение будет очень мало отличаться от распределения в орудийном эллипсе (см. 4-ю строчку), и только величина срединного отклонения батареи увеличится до 25 м. Графически батарейное рассеивание, получающееся при такой разнобойности орудий, показано на рис. 87. Рассчитав батарейное рассеивание для случая, когда в батарее 4 орудия, и при условии их малой разнобойности1, мы получим почти тот же результат. Отсюда делаем вывод, что при разнобойности орудий, не превышающей 2 Вд: ]) закон рассеивания при стрельбе батареей практически остается тот же, что и при стрельбе из одного орудия- Рис. 87 1 Т. е. разнобойности, не превышающей 2 Вд. 239 2) изменение величины Вд по сравнению с величиной разнобойности незначительно-, (-| 3) правила стрельбы, выработанные для одного орудия, .применимы и для стрельбы батареей. Поэтому, если в батарее разнобойность орудий определена и при .стрельбе учитывается, то неустраненная (остаточная) .разнобойность очень мало скажется на батарейном рассеивании. Если же при стрельбе батареей разнобойность орудий не учитывается, то батарейное рассеивание будет резко отличаться • от орудийного и, что самое главное, уже не будет следовать закону Гаусса. Положим, что разнобойность двух орудий равна 4 Вд. Найдем и для этого случая распределение точек падения при "батарейном рассеивании, применив тот же метод, что и для $разнобойности в 2 Вд (рис. 88 и 89). -.--- ^6d ---"ч 2 7 16 25 25 16 7 2 2 7 16 25 25 16 7 2 г_ 1 7 J, 5 16 в 25 12.5 27 13,5 23 11,5 23 11.5 27 13,5 25 12,5 16 в 7 3,5 2 1 г.* /0 19,5 18 18 19,5 10 2.5 Рис. 88 •(*Вд 0-00-Рис. 89 Из рис. 88 и 89 видно, что при разнобойности орудий •в 4 Вд распределение точек дадения батарейного рассеивания закону Гаусса не следует, и правила стрельбы, установленные для одного орудия, здесь не применимы. В конечном счете это означает, что стрельба батареей по -общим правилам допустима только при учтенной, разнобойности орудий. Если же разнобойность орудий батареи не учтена и превышает 2 Вд, то, ведя огонь батареей, необходимо корректировать стрельбу каждого орудия отдельно. Этого и требуют Правила стрельбы наземной артиллерии. 240 § 50. РАССЕИВАНИЕ ТОЧЕК РАЗРЫВОВ ПРИ ДИСТАНЦИОННОЙ СТРЕЛЬБЕ Дистанционной стрельбой называется стрельба снарядами, способными разрываться в воздухе на желаемой дальности (дистанции) от орудия еще до встречи их с преградой, например с поверхностью земли. Такие снаряды снабжаются особыми дистанционными взрывателями (трубками), конструкция которых позволяет установить время действия снаряда, т. е. позволяет вызвать разрыв снаряда в желаемый момент, в желаемой точке траектории. Этот разрыв может произойти на любой случайной траектории снопа траектории. Это означает, что рассеивание точек разрывов при дистанционной стрельбе определяется, прежде всего, рассеиванием самих траекторий. Помимо этого, вследствие разнообразия действия по времени дистанционных взрывателей разрыв может произойти в различных точках данной траектории. Таким образом, рассеивание точек разрывов при дистанционной стрельбе слагается: из рассеивания траекторий и из рассеивания действия дистанционных взрывателей. К основным причинам, вызывающим рассеивание дистанционных взрывателей, точнее - вызывающим рассеивание действия по времени дистанционных взрывателей, можно отнести: - разнообразие установок взрывателей, являющееся следствием неодинакового совмещения указателя с делениями на дистанционном кольце взрывателя; - разнообразие горения дистанционного (порохового) состава как результат неодинаковых свойств этого состава у различных взрывателей; - разнообразие балистических и метеорологических условий стрельбы, влияющих на горение дистанционного состава по времени. Допустим, что причины, вызывающие рассеивание точек разрывов при дистанционной стрельбе, полностью отсутствуют. Тогда все снаряды, выпущенные при одних и тех же установках угломера, уровня, прицела и взрывателя, должны разорваться в какой-то одной точке, лежащей на средней траектории - в центре рассеивания разрывов, обозначаемом Са. При наличии и совместном действии этих причин отклонения отдельных точек разрывов относительно средней точки разрывов (центра рассеивания разрывов) могут иметь любое направление в пространстве. Рассеивание траекторий следует закону Гаусса. Без особых погрешностей можно считать, что и рассеивание дистанционных взрывателей следует тому же закону. Поэтому можно 16-Зак. 991 241 принять, что рассеивание точек разрывов при дистанционной стрельбе следует закону Гаусса. , Это означает, что совокупность всех точек разрывов,, которые могут быть получены при дистанционной стрельбе на одних и тех же установках и при большом числе выстрелов, должна представлять собой эллипсоид - эллипсоид разрывов. Следовательно, рассеивание точек разрывов при дистанционной стрельбе будет эллипсоидальное. Рассеивание точек разрывов в пространстве при дистанционной стрельбе, по аналогии с эллипсоидальной ошибкой, характеризуется единичным эллипсоидом разрывов. Рассеивание точек разрывов по дальности, направлению и высоте характеризуется соответствующими срединными отклонениями: Врд - срединным отклонением разрывов по дальности; Врб-срединным боковым отклонением разрывов; Врв - срединным отклонением разрывов по высоте. Так как боковое рассеивание разрывов при дистанционной стрельбе зависит только от рассеивания траекторий, то Врб-Вб. Если спроектировать эллипсоид разрывов на три взаимно перпендикулярные плоскости: на плоскость стрельбы, на горизонтальную плоскость и на вертикальную плоскость, то получится три проекции - три эллипса рассеивания разрывов (рис. 90). Рис. 90 Очевидно, что срединные отклонения, характеризующие рассеивание разрывов по высоте и по дальности, не совпадают с соответствующими главными полуосями эллипсоида разрывов. В этом заключается особенность срединных отклонений при дистанционной стрельбе. Отсюда и в единичном эллипсоиде разрывов его главные полуоси не равны принятым на практике срединным отклонениям - Врв и Врд. Из показанных трех проекций эллипсоида разрывов в теории стрельбы исследуются две проекции: на вертикальную плоскость, перпендикулярную к плоскости стрельбы, и на плоскость стрельбы. 242 А. Эллипс разрывов в вертикальной плоскости, перпендикулярной к плоскости стрельбы Эллипс разрывов в вертикальной плоскости, перпендикуляр-вой к плоскости стрельбы, дает картину рассеивания точек разрывов, если смотреть вдоль направления стрельбы. Построение такого эллипса разрывов несложно и производится в следующем порядке: - прочерчиваются две взаимно перпендикулярные линии ВВ и ББ, точка пересечения которых принимается за центр рассеивания, а сами линии - за оси рассеивания; - от этой точки по линии ВВ вправо и влево откладывают по 4 Вб, а по линии ББ-вверх и вниз по 4 Врв\ численные значения Вб и Ере берут из таблиц стрельбы; - в полученный прямоугольник вписывается эллипс разрывов. На рис. 91 показан эллипс разрывов, * получающийся при стрельбе осколочно- Li48*L4a?t фуг; сной гранатой с взрывателем Д-l j Д--_'|-, из 122-лш гаубицы обр 19о8 г. на заряде ^ ,\ *rf\ i | RTnnmv/i ГТя ггкнпгт^ РТПР гг^^ы 4 ПОП и* ".i*/ "' * втором. Дальность стрельбы 4000 м\ r/7% \ Вб=-2,4 м и Врв = 7,4 м. Распределе- Г~/б% \Р* ние точек разрывов, чтобы не загромо- f--V°-i ждать чертежа, дано только по высоте, о . h i ff^ При артиллерийских расчетах таким ^л,1х'51^Л; •в эллипсом пользуются для определения \ iev" I положения средней точки разрывов от- (-гу.~1ьвра носительно поверхности земли по соот- \-н-'-у i ношениям между клевками и воздуш- чнк-_--• ными разрывами. Так как боковое рас- *. сеивание при этом не учитывается, то распределение разрывов строится только Рис- 9* по высоте. Пример 1. В условиях построения эллипса разрывов на рис. 91 определить наивероятнейшее положение средней точки разрывов относительно поверхности земли, если щи двух батарейных очередях на одних и тех же установках было получено 2 хлевка и 6 воздушных разрывов. Pt шение Получено .5'/о клевков и 75% воздушных разрывов, что соответствует положению средней точки разрывов на высоте 1 Врв над .поверхностью земли, или, при переводе в метры, 7,4 м. Вопрос может быть поставлен и иначе: по заданной высоте средней точки разрывов требуется найти вероятность получения клевка или воздушного разрыва, или любой их комбинации. Пример 2. Стреляет \22-MM гаубица обр. 1938 г. осколочно-фугасной гранатой с взрывателем Д-1 на з ряде четвертом. Далшость стрельбы 2 500 м. Какова вероятность получения в одной Гатарейной очереди 2 клевков и 2 воздушных i азрыв< в, если средняя точка разрывов относительно поверхности земли находится на высоте 12 м? 16* 243 146 Решение. По таблицам стрельбы № 146 и гтнД для данных условий Врв -6м. Строим распределение разрывов (рис. 92). Как мы видим, вероятность клевка равна 0,09 и вероятность воздушного разрыва 0,91. Тогда искомая вероятность 0.02 0,01 {Ш 0,2Ь Т бм - _*___ JL>2A 0.16 р = 4.3-2.1 2-1-2-1 0,09-.0,912 и 0,04. 0,5? _М7_ 0,02 Рис. 92 Определение положения центра группирования точек разрывов в вертикальной плоскости и подходящего значения величины срединного отклонения по высоте по ре-j"0,os зультатам стрельбы производится по тем же правилам, что и при ударной стрельбе. Б. Эллипс разрывов на плоскости стрельбы Ограничимся рассмотрением единичного эллипса разрывов на плоскости стрельбы. Необходимо обратить внимание на то, что большая полуось единичного эллипса разрывов не совпадает с направлением средней траектории, образуя с ней некоторый угол (рис. 93). Рис. 93 Для того чтобы выяснить причины этого несовпадения, рассмотрим рассеивание дистанционных разрывов в безвоздушном пространстве. Причинами -рассеивания при дистанционной стрельбе в безвоздушном пространстве являются: разнообразие углов бросания, разнообразие начальных скоростей и разнообразие времен действия дистанционных взрывателей. 244 Отклонения (ошибки) отдельных точек разрывов относительно средней точки разрывов Сд, являющиеся следствием совместного действия перечисленных выше причин, характеризуются следующими векториальными ошибками: - векториальной ошибкой Врд, вызываемой ошибками (разнообразием) в угле бросания; так как при ошибке только в угле бросания разрыв может произойти выше или ниже линии выстрела (правильнее - выше или. ниже линии, параллельной линии выстрела и проходящей через точку Сд),- то векториальная ошибка Вр6 будет направлена по перпендикуляру к линии выстрела, т. е. под углом 90° + 90 к горизонту, где 6в - угол бросания; - векториальной ошибкой Bpv, вызываемой ошибками (разнообразием) в начальной скорости; эта векториальная ошибка будет направлена по линии выстрела, т. е. под углом 60 к горизонту; ошибка в начальной скорости вызовет отклонение разрыва относительно точки Сд по линии, параллельной линии выстрела; - векториальной ошибкой Вр^, вызываемой ошибками (разнообразием) во времени действия дистанционного взрывателя; при изменении времени действия дистанционного взрывателя разрыв переместится только по траектории, поэтому векториальная ошибка будет направлена по касательной к траектории в точке Сд, т. е. под углом 180°-Од к горизонту. Так как эти векториальные ошибки лежат в одной плоскости (плоскости цели) и имеют различные направления, то при сложении они дадут эллиптическую ошибку с центром в точке Сд (рис. 94). Направление большой полуоси этой эллиптической ошибки (эллипса рассеивания) будет определяться соотношением величин векториальных ошибок Вр6, Bpv и Bpf. В зависимости от этого соотношения большая полуось эллипса рассеивания может совпасть со средней траекторией, может пройти выше или ниже нее. Для построения эллипса разрывов на плоскости стрельбы необходимо по заданным табличным значениям срединных 245 отклонений Врд, Врв и Вв и угла падения Ос найти значения главных полуосей единичного эллипса разрывов и угол, образуемый его большой полуосью и осью ОХ. Главные полуоси единичного эллипса а и b и угол а, составляемый полуосью ас осью ОХ, определяются по следующим формулам1: а=у Врд* -cos- а -- Bpe*-sin- а . cos 2а "-У ?ре- • cos- а- ?/?д2 • sin*a COS 2а tg2cc = Be- - B/;e- - Bpdz-ig* 6? f-3/7d- - Bpe^J tg 8l Принято считать угол а положительным, если положительное направление оси а единичного эллипса выше горизонта, и отрицательным, если это направление ниже горизонта (рис. 95). Угол ^падения 9С относительно горизонта всегда положителен. / Рис. 95 Пример. Стреляет \Т1-мм гаубица обр. 1938 г. осколочно-фугасной гранатой с взрывателем Д-1 на заряде пятом. Дальность стрельбы 3500 м. Определить основные характеристики единичного эллипса разрывов на плоскости стрельбы. 146 Решение. По таблицам стрельбы № 146 и "щД для данных условий Врд = 30 м, Врв -10 м, Вв -5,5 м. и ^с = 17° 27'. Определяем угол а, т. е. угол большой полуоси единичного эллипса разрывов с горизонтом: Be- - Врв* - Bpdi-ig\ 30,25 - 100 - 900-0,099 tg2" _ (Bpd* - Bpe*)tgQ (900 - 1UO) 0,314 тогда - 32°30' и a = -16°15' ' - 0,6363, 1 Вывод формул не приводится ввиду его громоздкости. 246 Найдем главные полуоси единичного эллипса: Bpdi-co&a - g/;6--sin-a -. / 900-0,92-100-0,08" --,/ cos2a 0,843 -"31,3 м; L -г/~Вр& • cos- a - Врд*. sin- a ,/~ 100-0.92 -900-0.08 & _ p ^лс Q- _ p пГйдЗ^ Ь M. COS 2a 0,843 •-">._ fri/ ..> ~""'----U/ W""M9"r"M9*VZW>WWM7ty **"*'-^.^ ,) ^fm?fs777777?s/sssf'^ Puc. 96 На рис. 96 показан единичный эллипс, построенный по этим данным. § 51. ЗАДАЧИ НА РАССЕИВАНИЕ ТРАЕКТОРИЙ И ТОЧЕК РАЗРЫВОВ Задача 121. Определить величину Вд, если Be равно 1,4 м и угол падения равен 5°. Ответ. 16 м Задача 122. Определить величину Вд, если Be равно 53 м и угол падения равен 40°. Ответ. 63 м. Задача 123. Определить величину угла падения, если Вд равно 15 м и Бе равно 2 м. Ответ. 7°3б'. Задача 124. Определить величину Вд, если Be равно 6,3 м, А К равно 10 м и &.Х равно 50 м. Ответ. 31,5 м. Задача 125. Стрельба ведется по цели, расположенной на переднем •скате. Определить величину Вд^ если Вд равно 25 м, угол падения равен 10°4' и угол наклона местности равен 2°. Ответ. 20,9 .и. Задача 126. Стрельба ведется по цели, расположенной на обратном •скате. Определить величину бд2, если Вд равно 20 м, угол падения равен •8°32' и угол наклона местности равен 0-50. Ответ. 30,8 м. Задача 127. Стрельба ведется по цели, находящейся на обратном скате. Определить величину /3d2, если Вд равно 15 м. угол падения равен 9°03' и угол наклона местности равен 0-35. Ответ. 19.5 м. Задача 128. Стрельба ведется по цели, расположенной на обратном скате. Определить величину Вд^ если Вд равно 35 м, ДА равно 50 м: Л У равно 23 м и угол наклона местности равен 0-45. Ответ. 39 м. 247 Задача 129. При ударной стрельбе на одних и тех же установках были получены следующие отклонения точек падения от репера по дальности в метрах: 41, 62, 80, 60, 28, 96, 67, 53, 8 и 65. Определить положение центра группирования относительно репера в дальности, если все разрывы были-недолетными. Ответ. - 56 м. Задача 130. При ударной стрельбе при одних и тех же установках были получены следующие отклонения точек падения от репера по дальности (у) и боковые (z) в метрах: № № выст- у в м Z В М выст- у в м г в м рела рела 1 +72 -20 5 +40 -15 2 + 110 -16 6 + 130 -8 3 + 14 -5 7 +68 -28 4 +80 -24 8 +30 -12 Определить положение центра группирования относительно репера по направлению и по дальности. Ответ. ga = + 68; ^ = - 16 м. Задача 131. Найти величину ?6\ если среднее арифметическое отклонение точек падения от центра группирования по дальности равно 24 м. Ответ. 20,3 м. Задача 132. Определить величину Вд, если среднее квадратическое откл онение точек падения от центра группирования по дальности равно 33 м. Ответ. 22,3 м. Задача 133. Найти величину срединной ошибки определения положения центра рассеивания по дальности, если Вд = 24 м и положение центра группирования было определено по результатам 8 выстрелов. Ответ. 8,48. Задача 134. Положение центра группирования по направлению было определено по результатам 16 выстрелов. Какова вероятность того, что, приняв положение центра группирования за положение центра рассеивания, получим ошибку, которая не будет превышать 1 м, если ?>d = 3,2 м. Ответ. 0,60083. Задача 135. При ударной стрельбе на одних и тех же установках были получены следующие отклонения отдельных точек падения от репера по> дальности (у) и боковые (z): № выстрела у в м z в м № выстрела у в м г в м 1 -72 +2 6 +38 +18 2 +142 _ 2 7 -26 +2 3 +48 -8 8 +22 0 4 +86 -4 9 +56 + 12 5 -8 - 14 10 -6 + 14 Определить положение центра группирования относительно репера и точность определения положения центра рассеивания. Ответ. |д +28 м\ 5б + 2 м; Rd == 10,4 м; /?^ = 1.64 м. 248 Задача 136. При ударной стрельбе гранатой на одних и тех же установках были получены следующие отклонения отдельных точек падения относительно репера в метрах: по дальности (у): + 20,-35,-5, + 15, 0,+45,- 10, -25,+ 15,-60,-15 и -5; по направлению (г): + 6, +2,-4,+ 8,-2, +3,+ 11,-6,-5,+2, +3 и+ 6. Определить подходящие значения Вд и Вб по средним квадратическим-отклонениям, если известно, что ось OY прямоугольной системы координат совпадает с направлением плоскости стрельбы. Ответ. Вд= 18,6 м и Вб = 3, 6 м. Задача 137. На одних и тех же установках при стрельбе гранатой с дистанционным взрывателем были получены следующие высоты отдельных воздушных разрывов относительно поверхности земли: 0-10, 0-12, 0-11,0-09,. 0-08, 0-12, 0-07, 0-05,0-08, 0-12, 0-07, 0-04,0-09, 0-15 и 0-06. Найти подходящее значение Врв, если дальность стрельбы равна 3 600 м. Ответ. 7,3 м. Задача 138. При испытании двух орудий одинакового калибра, но различных образцов, при стрельбе на одних и тех же установках и при прочих равных условиях были получены следующие отклонения отдельных точек падения относительно репера по дальности (у и у{) и по направлению (ZHZ-^I в метрах: № выстрела Орудие образца А Орудие образца Л, у * 1 л ! *i 1 +35 +7 +12 +2 2 -7 -13 +26 -3 3 + 18 +2 0 + 1 4 +26 0 + 17 +7 5 0 + 10 -3 0 6 +21 -3 +19 -8 7 +14 -17 +43 +2 8 -25 +3 +7 -5 9 +6 -8 + 14 -1 10 4-62 -1 -15 +5 Определить подходящие значения Вд и Вб для обоих орудий, если оси OY и О У! совпадают с направлением плоскости стрельбы. О т в е т. О) удие образца А: Вд - 16,2 м; Вб - 5,7 м. Орудие образца Л-: Вд = 10,9 м; Вб = 3,03 м. Задача 139. При ударной стрельбе на одних и тех же установках были получены следующие боковые отклонения отдельных точек падения относительно цели в метрах: - 12, + 2, + 9, + 2, - 6, + 5, - 3, - 10, + 7, + 10 и - 4. Определить подходящее значение Вб по разностям между соседними отклонениями. Ответ. 5,2 м. Задача 140. При ударной стрельбе на одних и тех же установках были получены следующие отклонения по дальности относительно репера в метрах: + 1'5, + 35, + 75, + 55, + 15, - 45, - 15, + 5,- 35, + 40, - 10,- 75, - 45,0,-5, - 35, - 5,+ 15, - 45 и - 55. Найти подходящее значение Вд по разностям между соседними отклонениями. Ответ. 20 м. 249 Задача 141. При ударной стрельбе на одних и тех же установках были получены следующие отклонения отдельных точек падения относительно •ориентира (в метрах): по дальности: + 46, +114, + 57, + 169, + 219, +284, + 145, + 86, + 240, + 160, + 16,+ 119, + 238,+120, + 150, + 184, +215, + 180, + 111, + 96; по направлению: - 24, - 18, + 10, - 4, -10, + 15, - 20, - 34, - 46,- 47, - 12, - 6, - 30, - 37, - 44, - 52, - 47, - 48, - 50 и - 52. Определить по разностям между соседними отклонениями подходящие значения Вд и Вб, если плоскость стрельбы в районе падений снарядов была провешена с достаточной точностью. Ответ. ?<Э"43 м; 5^=7,75 м. Задача 142. Определить вероятность получения воздушного разрыва при стрельбе гранатой с дистанционным взрывателем, если средняя точка разрывов находится в 8 м над поверхностью земли, а Врв = 5,5 м. Ответ. 83,70/0 (83,2Vo). Задача 143. При стрельбе гранатой с дистанционным взрывателем средняя точка разрывов находится в 2 м под поверхностью земли. Какова .вероятность получения клевка, если Bpe = 3fi м! Ответ.63,?о/о (63,2"/0). Задача 144. Определить наивероятнейшее положение средней точки разрывов относительно поверхности земли при дистанционной стрельбе, -если при трех батарейных очередях на одних и тех же установках было получено 5 клевков и 7 воздушных разрывов, а Врв = 7 м. Ответ. +2;2 м. Задача 145. Определить наивероятнейшее положение средней точки разрывов относительно поверхности земли при дистанционной стрельбе, •если при четырех батарейных очередях было получено 10 клевков и 6воздушных разрывов, а Врв= 12 м. Ответ. - 5,8 м. ГЛАВА 10 ВЕРОЯТНОСТЬ ПОПАДАНИЯ § 52. ФАКТОРЫ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ВЕЛИЧИНУ ВЕРОЯТНОСТИ ПОПАДАНИЯ Величина вероятности попадания является основой важнейших артиллерийских расчетов. Вероятность попадания определяет надежность и экономичность стрельбы. Исходя из численного значения вероятности попадания, находят наивыгоднейшие методы ведения огня, в частности - пристрелки. Зная вероятность попадания, можно рассчитать средние нормы расхода снарядов для поражения различных целей. Прежде чем приступить к рассмотрению способов определения вероятности попадания, необходимо установить те факторы, от которых зависит величина вероятности попадания. Вероятность попадания зависит: от размеров цели, от величины рассеивания, от положения средней траектории относительно цели и от направления стрельбы. 1. Размеры цели. При одной и той же величине рассеивания, при одинаковом положении средней траектории относительно цели и при одном и том же направлении стрельбы, но при различных размерах цели вероятность попадания будет тем больше, чем больше размеры цели. УТЛ "> 25% too% На рис. 97 показано, как уменьшается вероятность попадания с уменьшением размеров цели при всех прочих равных условиях, при этом размеры цели последовательно уменьшаются 251 в 2 раза, т. е. площадь цели уменьшается в 4 раза. Изменение вероятности попадания не пропорционально изменениям размеров цели, что, естественно, вытекает из неравномерности рассеивания. 2. Величина рассеивания. При одних и тех же размерах цели, при одинаковом положении средней траектории относительно цели и при одном и том же направлении стрельбы, но при различном по величине рассеивании вероятность попадания будет тем больше, чем меньше величина рассеивания (величины срединных отклонений). Например, если эллипс рассеивания полностью укладывается в границах цели, вероятность попадания будет равна 100°/0. Если же размеры эллипса рассеивания таковы, что он накрывает цель только какой-то своей частью, вероятность попадания будет меньше 100%, и тем меньше, чем меньше накрывающая ее часть эллипса рассеивания (рис. 98). .___^ 3. Положение средней траек- I -гу/v^yj '^ Y///""/A^ тории относительно цели. Из не-[^00%^ ( 'ffif%//j ) равномерности рассеивания следует, ^ что вероятность попадания будет наибольшей в том случае, когда средняя траектория пройдет через центр цели. С удалением средней траектории от центра цели вероятность попадания будет уменьшаться, и если это удаление будет превышать 4 срединных отклонения, то вероятность попадания практически будет равна нулю (рис. 99). \ Рис. 98 ! 1 1 \ V. 1-f I И * 0% 100% 50% i 25% Рис. 99 4. Направление стрельбы. Направление стрельбы определяет положение эллипса рассеивания на цели. Боковое рассеивание значительно меньше рассеивания по дальности. Поэтому при одной и той же величине рассеивания, при одинаковом положении средней траектории относительно центра цели и при одних и тех же размерах цели вероятность попадания будет наибольшей в том случае, когда ось бокового рассеивания направлена вдоль наибольшего размера цели. Так, например, если ось бокового рассеивания ББ направлена вдоль цели, имеющей вид вытянутого прямоугольника (рис. 100), и размеры эллипса рассеивания таковы, что он полностью укладывается в границах цели, вероятность попадания будет равна 100%. Если же ось бокового рассеивания будет 252 направлена перпендикулярно к той же цели, то вероятность попадания будет меньше 100°/0. Практически это означает, что при всех прочих равных условиях при фланговом огне вероятность попадания будет наибольшая, а при фронтальном - наименьшая. Суммируя все то, что было сказано о факторах, on- f ределяющих величину вероят- Б ности попадания, можно еде- / лать ряд практически важных выводов. Г --•Ш-- LJfJ 1. Величина рассеивания 100"/0 и /50% зависит от дальности стрельбы-чем меньше дальность, тем ^ меньше рассеивание. Поэтому, Рис 100 чтобы иметь наименьшее рассеивание, а отсюда и наибольшую вероятность попадания, огневые позиции батарей следует располагать возможно ближе к противнику. Опыт Великой Отечественной войны показал всю целесообразность массового применения орудий, стрелявших прямой наводкой из расположения наших передовых частей. Здесь, помимо точности наводки, исключительно большое значение имели и малые дальности стрельбы, обеспечивающие большую вероятность попадания. 2. Пристрелку необходимо производить так, чтобы достичь возможно более точного совмещения средней траектории с целью, так как в этом случае огневые задачи решаются с наименьшим расходом снарядов и времени. 3. Следует широко применять фланговый и косоприцельный огонь, соответствующим образом располагая огневые позиции батарей и распределяя огневые задачи между батареями. § 53. ВЕРОЯТНОСТЬ ПОПАДАНИЯ В ПОЛОСУ БЕСКОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ Известно, что численно закон рассеивания по одному направлению выражается шкалой рассеивания, причем это направление может совпадать или не совпадать с направлением одного из главных диаметров эллипса рассеивания. Это следует из того свойства эллиптической ошибки, что на любом диаметре предельной по величине эллиптической ошибки етах можно построить шкалу ошибок (см. стр. 211). Поэтому, если цель представляет собой полосу бесконечной длины (полоса проволочных заграждений, полоса траншей, дорога, дефиле и пр.), то определение вероятности попадания в такую цель сводится к определению вероятности получения отклонения в заданных пределах по одному направлению. Такая задача, по аналогии с определением вероятности получения ошибки в заданных пределах, может быть решена по шкале рассеивания и по таблице значений Ф((3). 253 Шкалу накладывают на цель с учетом положения средней траектории относительно цели, после чего определяют вероятность попадания в ту часть эллипса рассеивания, которая накрывает цель. Следует подчеркнуть, что шкала рассеивания накладывается на цель, а не цель на шкалу рассеивания, так как в противном случае при графическом решении задач на чертеже строится совершенно ненужная часть шкалы рассеивания - чертеж получается громоздким, мелкого масштаба и не наглядным. При пользовании таблицей значений Ф ((3) удаление средней траектории от границ цели переводится в доли соответствующего срединного отклонения, а затем определяется вероятность получения попадания в этих границах, т. е. при фронтальном огне - между передним и задним краями цели, а при стрельбе вдоль полосы - между левой и правой ее границами. Рассмотрим два случая: направление одной из главных полуосей единичного эллипса рассеивания параллельно направлению (длине) цели и направление одной из главных полуосей единичного эллипса рассеивания образует с направлением цели некоторый угол а, не равный прямому. Приемы определения вероятности попадания в обоих этих случаях покажем на частных примерах, начав со случая, когда направление одной из главных полуосей единичного эллипса параллельно направлению цели (полосы). Пример 1. Батарея стреляет по полосе проволочных заграждений глубиной 30 м, Огонь фронтальный, т. е. плоскость стрельбы перпендикулярна полосе проволочных заграждений. Определим вероятность попадания в эту полосу, если известно, что Вд = 22 м и средняя траектория проходит через середину полосы. Ш&-'-. Решим эту задачу по шкале рассеивания и по таблице значений Ф ф)_ 1. Решение по шкале рассеивания (рис. 101) 1_ \ ? 11M-0.12 \ t in.. 1 15м \ 22м-0,2Ь | 1 - i 11 н- 0,13 J Г _^ __ 15м ( _* ___ \ 1 1 15м t ! гги-0,25 _ cjT ,t.-: 11 м- 0,13 -i- - * \ 15м t- ._ __ j _ Рис. 101 11м -0,12 __ $ _____ Проведем две параллельные линии ПП и 33, расстояние между которыми в произвольно взятом масштабе равно ширине цели, т. е. 30 м. Нанесем точку Су в полосе /7/733 так, чтобы средняя траектория проходила через середину цели. Проведем через точку Су линию ДД, параллельную линиям ПП и 33,. т. е. параллельную направлению (длине) полосы, и линию ББ, перпендику- 254 лярно к линии ДД. Примем направления линий ДД и ББ за направления главных диаметров эллипса рассеивания, иначе говоря, - за оси рассеивания по дальности (ДД) и бокового рассеивания (ББ). По линий ЬБ от точки Су в принятом нами масштабе отложим по одному Вд в обе стороны (на чертеже - вверх и вниз, по условиям стрельбы- впе| ед и назад), т. е. наложим на цель ту часть шкалы рассеивания по дальности, которая накроет полосу. Составим пропорцию: 22 м - 0,25; откуда 15 м - х\ Х=^5'1^ ".оду. ?? Получена вероятность попадания в половину полосы. Отсюда искомая вероятность Р --- 0,17 - 2 = 0,34 = 340/0. Эту же задачу можно решить, пользуясь шкалой рассеивания, построенной с точностью до 0,5 Вд. В этом случае цель будет накрываться полосами, содержащими по 13%, попаданий и частями полос, содержащих по 12% попаданий. Составляем пропорцию на ту часть глубины пели, которая накрывается полосой, содержащей 12% попаданий: 11 л* -0,12; 4 м- х', откуда 0,12 • 4 х = • 11 0,044. Тогда искомая вероятность р = (0,13 + 0,044).2 = 0,348 " 35%. 2. Решение по таблице значенийФ(р) По условию средняя траектория проходит через середину полосы проволочных заграждений. Поэтому вероятность попадания в эту цель может быть найдена как вероятность получения отклонения в пределах от А О до _± 15 м. Переведем 15 м, т. е. половину ширины полосы, в доли срединного отклонения по дальности: 15_ 22 • 6м 0,682. Тогда по таблице значений Ф (р), интерполируя, получим: Р = Ф (0,682) = 0,35352 + 0,00097 =j = 0,35449 " 0,355 = 35,5%. Пример 2. Батарея ведет огонь вдоль шоссе, ширина которого равна 6 м. Определить вероятность попадания в шоссе, если средняя траектория проходит через его левый край, а ?5 = 4,2 м. А~С Oi/ 1.8м и,2м ~oTi 4-д. -.,2м 0,16 Рис. 102 255 1. Решение по шкале рассеивания (рис*. 102) Мы видим, что шоссе накрывается полосой, содержащей 25% по ладан ии, и частью полосы, содержащей 16% попаданий. Составляем пропорцию 4,2 м - 0,16', 1,8 м - х; юткуда 0,16-1,8 *-=-4-2-" 0,069. Тогда вероятность попадания в шоссе: Р=0,25-Ь0,069=0,319"320/0. Более точные расчеты по шкале рассеивания через 0,5 Вб дают: Р = 0,13 + 0,12+ Q'09'1'8 ~о,327. •-•> - 2. Решение по таблице значений Ф(Р) Определяем вероятность попадания в пределах от 0 до -б м: ?'• '472^429; откуда, интерполируя, получаем: ф (р) = ф (1,429) = 0,66521 - 0,00034 = 0,66487. Тогда искомая вероятность Р =-уФ(р) = 0,33243. "Пример 3. Батарея ведет фронтальный огонь по полосе окопов, общая глубина которой равна 40 м. Определить вероятность попадания в эту полосу, если средняя траектория проходит в 15 м перед серединой переднего края полосы, а Вд=38 м. t Б 38м -0,1В 17м I J= ЬОМ 90" I j ЗВм-0,25 19 м-0,0 9 17м 19м-0,12 55м 15м 19м-0,13 Г4м _^_._i Рис. 103 1. Решение по шкале рассеивания (рис. 103) Здесь цель накрывается частью полосы, содержащей 25% попаданий, и частью полосы, содержащей 16% попаданий. Составляем две пропорции 38 м - 0,25; 38 м - 0,16; 23 м - х^, 17 м - х2', 256 •ткуда 0,25J23 *-e 38 0,151 и x2=-'-!j^- л 0,072. Тогда вероятность попадания в полосу окопов Я =0,151+0,072 = 0,223. По шкале рассеивания, построенной через 0,5 Вд, та же вероятность будет равна 0,13-4 0,09-17 Р= ~?г- + 0,12 + '1Q • " 0,228. 19 19 2. Решение по таблице значений Ф (?) Находим вероятность попадания в пределах от 0 до + 55 м: 55 ?2 = Ж = 1,447, откуда Ф (pj,) = 0,66858 + 0,00235 == 0,67093, Определяем вероятность попадания в пределах от 0 до ±15 м: PJ - по -и"оУ5, вткуда Ф (р,) = 0,20749 + 0,00260 = 0,21009. Тогда искомая вероятность Р = -L [Ф(р2) - Ф (р,)] = ^ (0,67093 - 0,21009) = 0,23042. Пример 4. Батарея ведет фронтальный огонь по полосе окопов, расположенной на обратном скате. Ширина полосы равна 30 м. Передний ее край относительно гребня укрытия удален на 10 м. Определить вероятность попадания в эту полосу, если средняя траектория проходит через гребень укрытия, угол наклона ската а = 5°, угол падения 6^=22° иВд=18^ (рис. 104). Рис. 104 Решение. Прежде всего определим величину срединного отклонения Вд% по направлению обратного ската по формуле (см. стр. 230) Вд,= Sd-sinf), 18.sin 22° sin(fl,- a) sin 17е 23 м. 17 - 3". 991 257 Тогда искомая вероятность по шкале рассеивания (рис. 105) 0,25-13 0,16-17 -°=-L-23- + -23- = °'259 ~ 26°'/п' Решение по таблице значений Ф(Р) P-J 1Ф(Р2)-Ф(Р1)] = т[ф(1г)~Ф(^?)] = i 1Ф(1.74)-Ф(0,435)] = = -g [0,75945 - 0,23087] = 0,26429~26,4%. ' Рис. 105 На решениях примеров 1, 2, 3 и 4 были показаны наиболее типичные случаи определения вероятности попадания, когда один из главных диаметров эллипса рассеивания параллелен направлению полосы. Перейдем теперь к случаю, когда главные диаметры эллипса рассеивания образуют с направлением полосы угол а, не равный прямому. Положим, что эллипс рассеивания относительно цели, представляющей собой полосу бесконечной длины, занимает такое положение, как показано на рис. 106. У t / Рис. 106 Очевидно, что в этом случае в цель попадут все те снаряды, отклонения которых по направлению OY, перпенди- 258 кулярному к направлению полосы, будут больше уг и меньше yz. Поэтому найдем срединное отклонение, вызываемое единичным эллипсом рассеивания по направлению OY. Отклонение, вызываемое эллиптической ошибкой по некоторому направлению, равно (см. стр. 213) D" - /a2 sin2 a -f b* cos2 а. В нашем случае а = Вд, Ъ = Вб и угол а - угол между направлением главного большого диаметра эллипса рассеивания (осью бокового рассеивания) ББ и направлением полосы. Тогда приведенная выше формула примет вид: В = УВд* • sin2 а + Вб* • cos2 а, где В - отклонение (срединное), вызываемое единичным эллипсом рассеивания по перпендикуляру (нормали) к направлению полосы. Если в условии задачи будет дан не угол а, а угол аь образованный тем же главным диаметром и нормалью к направлению цели, то В = УВ& cos2 а- + Вб2 • sin2 a-. Так как определяется вероятность получения отклонения по линии OY, то необходимо удаление средней траектории от переднего края цели, выраженное отрезком ОА, и удаление от заднего края цели - отрезком ОВ, привести к направлению OY, т. е. спроектировать на это направление. Из чертежа видно, что эти проекции ОА1=у1 = ОА- sin a ОВ1 = у2 = ОЛ1 + /=^1 + ^ где / - ширина цели. Если же удаление средней траектории относительно края цели дается по нормали, то в таком приведении нет никакой нужды. В остальном приемы решения задач те же, что и в разобранных нами примерах. Пример 5. При направлении стрельбы, показанном на рис. 106, определить вероятность попадания, если Вд = 20 м. Вб - 3 м. а = 30°. ОА = 1? м, / = 20 м. Решение. Независимо от способа решения прежде всего необхо • димо найти значения В, ОАг и ОВг: В =|/"20-- sin- 30°-Ь 32. cos- 30° = J/400-0,25+9-0,75 " 10V3 M. ОЛ1== 12-sin 30°= 6 м и О#! - 6 м + 20 м = 26 м. 17* 259 Тогда искомая вероятность по шкале рассеивания (рис. 107) Р= №*? + 0|16 + 0,0^4 да 0)3()1 = зодо/0) а по таблице значений Ф (?) /"='.1Ф(И-Ф(Р1)]=|[Ф(_^)-Ф(_|_)]=^1Ф(2,524)_ Ф [Ф (0,583)] = 1 (0,91382 - 0,30586) = 0,30398 х 30,40 0. f 5>м |- --h-г -f 20м 10,3м ! 4----1----*- --f-- j 1 | ь.з"~ ____________6н i '.... '' Тс,, Рыс. /07 Следует заметить, что формула В = УВд* • sin'2 а + Яб2 • cos'2 а выражает величину срединного отклонения в общем виде, т. е. для любого направления стрельбы относительно цели. Так, если огонь ведется фронтальный, т. е. а = 90°, то В^УВд* • sin2 90°+ Б<52 • cos2 90°= Вд, а при фланговом огне, т. е. при а = 0°; В = УВд* • sin2 0° + Вб* • cos2 0° - Вб. § 54. ВЕРОЯТНОСТЬ ПОПАДАНИЯ В ПРЯМОУГОЛЬНИК, СТОРОНЫ КОТОРОГО ПАРАЛЛЕЛЬНЫ ГЛАВНЫМ ПОЛУОСЯМ ЭЛЛИПСА РАССЕИВАНИЯ Положим, что цель представляет собой прямоугольник, стороны которого параллельны главным полуосям эллипса рассеивания, и этот прямоугольник в эллипсе рассеивания занимает такое положение, как показано на рис. 108. Прямоугольник abed получился в результате пересечения двух полос: полосы М, стороны которой параллельны большому главному диаметру ББ эллипса рассеивания, с полосой А/, стороны которой параллельны малому главному диаметру ДД 260 того же эллипса. Очевидно, что в этот прямоугольник попадут все те снаряды, которые одновременно попадут в полосу М и в полосу N. В данном случае происходит сложное событие-попадание в прямоугольник,-представляющее собой совпадение простых независимых событий - попадания в полосу М с попаданием в полосу N. Обозначив вероятность попадания в полосу М через рм, а в полосу N - через PN , вероятность попадания в цель найдем по теореме умножения вероятностей: Р = РмРч' Следовательно, решение задачи на определение вероятности попадания в прямоугольник, стороны которого параллельны главным полуосям эллипса рассеивания, сводится к решению двух задач на определение вероятности попадания в полосы бесконечной длины, после рмс< 108 чего эти вероятности перемножаются. Пример 1. Огонь ведется по блиндажу, имеющему вид прямоугольника со сторонами в 6 и 10 м. Плоскость стрельбы перпендикулярна к меньшей стороне блиндажа, а средняя траектория проходит через середину этой стороны (рис. 109). Определить вероятность попадания в блиндаж, если Вд = 28 м и Вб = 2,2 м. 1. Решение по шкале рассеивания . Определяем вероятность попа- 6 f П 6 М /т *. / k '* . • / 1 с d\ N I 1 1 N \ а ь \ ~Сц -1- / \ / \ i S / м 6 дания по дальности 1C м Г ------ i __ С"_ __ и- ОМ "• 1 1 • 2,2м i-i - I , Сц , , | -f-jM *++-уЗм-гч i j^,2" \ 2,2м i 2,2м i 0.16 '0,25 ' 0.25 ' 0,1В ' о = 0,25-10 28 0,09. Определяем вероятность попадания по направлению рб = 2 Г 0,25 + 0,16-0.08 2,2 0,61 Л -г - Р-РдРб- 0.09-0,62 = 0,0558 ^5,6"/,. 2. Решение по таблице значений Ф(^) Вероятность попадания по дальности Рис. 109 "-И(?) Ф(0,357)~ 0,09514. 261 Вероятность попадания по направлению Рб = ф Тогда 2,2 ==Ф (1,364) =0,64242. р = Рд рб =0,09514-0,64242 " 0,06112 " 6,1%- Пример 2. Орудие ведет фронтальный огонь по амбразуре ДОТ. Размеры амбразуры 0,8 м X 0,2 м. Определить вероятность получения хотя бы одного попадания в амбразуру при 6 выстрелах, если Z?e = 0,2 м, Вб = 0,3 м и средняя траектория проходит на 0,1 м ниже середины нижнего края амбразуры (рис. НО). 0,1м 0,09 --*- о,1м 0,1г j. 0,1м 0,13 _______________I_____,____________Л ?м-__ --• -- -- -- "- т (JtCn т •о, i •0.4 мг •& -т- 0,4м- i I ! 0.*Дм '. 0,75м ! 0.75* | ЦЙм; fl,J->M^O./-"MJ '^0,09 *^0,1г ***0,13 * 0,13*(tm)0,12***0,09^* Рис. ПО Решение. Найдем сначала вероятность попадания в амбразуру при одном выстреле. _ 1. По шкале рассеивания (с точностью до 0,5 Be и О.э Яо): л =0,12 + 0,09 = 0.21; -,.-(0.25+0^1 0,62; Р=-^в ^=0,21 -0,62л; 0,13. 2. По таблице значений Ф (?$) '•-4[*(5|1)-Ч..-)]-4[*"Л-*^]! = 1 (0,6883 - 0,26407) = 0,21213; ^ ptf=-i* 0,4 \ _ 1 Ф (1,333) = 0,6314; или 2 ' V О,ЗУ 2 Р = рв Рб - 0,21213-0,6314 ^0 ,134. Теперь определим вероятность попадания в амбразуру хотя бы 1 раз р} - 1 _ (1 - 0,13)6 - 1 _ 0,876 = 0,566, Р. = 1 -(1 - 0,134)6= 1-0,866- = 0,576. 262 § 55. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ ПОПАДАНИЯ В ЦЕЛЬ ЛЮБОГО ОЧЕРТАНИЯ В тех случаях, когда очертания цели таковы, что ее нельзя представить в виде прямоугольника, стороны которого параллельны главным полуосям единичного эллипса рассеивания, определение вероятности попадания производится графическим способом при помощи сетки кругового рассеивания. Сетка кругового рассеивания строится и рассчитывается в ^предположении, что рассеивание в эллипсе по его главным диаметрам одинаково по величине. Вместо эллипса получается круг, отсюда и название сетки. й Для построения сетки кругового рассеивания на листе клетчатой (или миллиметровой бумаги проводят две взаимно перпендикулярные линии (рис. 111), принимая их за оси рассеивания, а точку пересечения - за центр рассеивания Су. Сторона каждого квадрата (клетки) сетки принимается равной какой-то доле срединного отклонения: 0,5; 0,25 и т. д., в зависимости от требуемой точности. 1---0,5 Рис. 111 После построения сетки рассчитывают вероятности попадания в каждый квадрат, как в прямоугольник, стороны которого параллельны осям рассеивания. При этом используют таблицу значений Ф((3), а точность расчетов доводят до 0,0001, т. е. до 0,01%. На рис. 111 показана часть сетки кругового рассеивания, построенной в масштабе: в одной клетке - 0,5 срединного отклонения. Прямоугольник abed получился в результате пересечения полосы М с полосой N. Вероятность попадания в полосу М Рм-^2 ф (°'5) = °^-7= 0,13204, а вероятность попадания в полосу N Р"~ ^[ф(1,0)-ф(0,5)]= -----I---2 -0,11797. Тогда по теореме умножения вероятность попадания в прямоугольник abed Л =/*А!/"лг=0,13204.0,11797-=0,0155767588" 0,0156. Эту вероятность напишем в прямоугольнике abed. Прямоугольник efgk получился при пересечении полосы К с полосой L. Поэтому вероятность попадания в этот прямоугольник Р-г = у [Ф (ЬО) - Ф (0,5)] • | [Ф (2,0) - Ф (1,5)]= 0,5 - 0,26407 0,82266 - 0,68833 Л ЛЛ-Л -----------.-----------~ 0,0079 И Т. Д. Полностью такая сетка дана в приложении 2. Сетка кругового рассеивания построена в долях срединных отклонений. Поэтому, чтобы по этой сетке определить вероятность попадания в заданную цель, необходимо координаты относительно осей рассеивания наиболее характерных точек очертания цели выразить также в долях срединных отклонений, после чего по этим координатам цель наносится на сетку и суммируются вероятности попадания в те квадраты, которые оказались накрытыми очертаниями цели. При этом вероятности попадания в квадраты, накрытые целью только частично, определяются интерполированием на-глаз. При перенесении очертаний цели на сетку кругового рассеивания эти очертания по сравнению с действительными будут искажены, что является следствием искажения масштабов срединных отклонений при построении самой сетки, но на результатах расчетов это не скажется, так как сетка построена в долях срединных отклонений, а не в метрических единицах. В этом и заключается ценность сетки кругового рассеивания, так как по ней можно определить вероятность попадания, во-первых, в цель любого очертания и, во-вторых, в цель, лежащую и в вертикальной и в горизонтальной плоскости. у t ^ f Направление стрельбь" Рис. 112 264 Пример. Цель представляет собой горизонтальный шестиугольник, положение которого относительно центра рассеивания показано на рис. 112. Координаты вершин шестиугольника в метрах таковы: Вершины А в С D Е F По оси ОХ .... -10 +20 +40 +20 - 10 -20 По оси О У ... . 0 - 2,5 +5 + 12,5 4-ю +5 Определить вероятность попадания в цель, если известно, чтоВд = 40 м п.Вб=Ьм. Решение. Переводим координаты вершин цели: по осп ОХ - в доли Вд и по оси OY-в доли Вб. Получаем: Вершины А в с D Е , По оси ОХ ..... -0,25 + 0,5 + 1,0 +0,5 - 0 25 -0,5 По оси OY ..... 0 -0,5 + 1,0 +2,5 +2,0 + 1,0 По оси ОХ глубина цели от -0,5 Вд до +1 Вд и по оси О У ширина цели от - 0,5 Вб до + 2,5 Вб. Поэтому на миллиметровой бумаге построим ту часть сетки кругового рассеивания, которая накроет шестиугольник. Воспользуемся при этом сеткой кругового рассеивания, данной в приложении 2. Перенесем на сетку (рис. 113) вершины шестиугольника по координатам, выраженным в долях Вд и Вб, и соединим эти вершины прямыми линиями. Следует обратить внимание на очертания цели, полученные на сетке, и ее действительные очертания на рис. 112. Теперь остается только сложить веро- у ятности попадания в квадраты, накрытые целью. Если учесть, что один миллиметр данного квадрата отвечает одной сотой вероятности попадания в него, то, подсчитав миллиметры в неполных квадратах, определим вероятность попадания в цель с очень большой точностью, не прибегая к интерполированию. * Ниже показаны вероятности попадания в отдельные квадраты, причем расположение слагаемых соответствует расположению квадратов на рис. 113 (слева направо и • 2,586f +2,085 +1,586 Ч,ОВб сверху вниз): 4 + 36 + 8 = 48 53+ 89+ 40=182 109 + 124 + 96 -= 329 146+ 156+128 - 430 113 + 174+ 94 = 381 17 + ]52 + 31=200 что в сумме даст искомую вероятность Я = 0,157-= 15,7%. +0,586 -OJ86 56 Е/ /^ ,55 \50 С I 89 1 89 \ 73 V //24 Г /24 "\ \/5б 166 139J 1 ' т " 774 \ * № fy 156 1 лчЗ /74 4 /74 N 15В 1в -0,58д 0 +0,589+1,069 Рис. ПЗ 265 § 56. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ ПОПАДАНИЯ ПО ТЕНЕВОМУ ГРАФИКУ До сих пор мы имели дело только с плоскостными целями, т. е. с целями, расположенными либо только в горизонтальной, либо только в вертикальной плоскости. В тех случаях, когда требуется определить вероятность попадания в объемную цель, применяют так называемый теневой график. Сущность этого способа заключается в следующем (рис. 114). СЛ Рис. 114 Параллельно траектории проводят касательные к цели до их пересечения с горизонтом, в результате чего на горизонтальной плоскости получается теневая проекция (теневой график) цели. На нашем рисунке этот теневой график получился в виде прямоугольника EDCF. Очевидно, что все снаряды, попавшие в прямоугольник ABCD, дадут попадания в цель. Из прямоугольного треугольника KED имеем: ЕК ED tg*< Обозначим длину теневого графика ED через d, высоту цели ЕК- через h и глубину цели АЕ-~ через /. Тогда длина всего прямоугольника AD^l + d = l+-^r. Вероятность попадания в прямоугольник ABCD равна вероятности попадания в цель, следовательно, решение задачи сводится к определению вероятности попадания в прямоугольник, стороны которого параллельны главным полуосям единичного эллипса рассеивания. Если же теневая проекция цели не имеет вида такого прямоугольника, применяется сетка кругового рассеивания. Пример 1. Положим, что цель (рис. 114) представляет собой небольшое каменное здание с плоской крышей, причем высота h этого здания равна 4 м, его длина (по фронту) 6 -и и ширина /-3 м. "266 Определим вероятность попадания в эту цель, если Вд - 25 м, Вб' = = 2,4 л*, /^$с = 21°48' и средняя траектория проходит в 10 м перед серединой основания здания. Решение. Находим длину прямоугольника на горизонтальной плоскости, отвечающего вероятности попадания в цель: l + d=3 + Q-4= 13 м. Тогда вероятность попадания в цель по таблице значений Ф ф) 1 Г ( 23 \ /10 \1 = Т1Ф1Г -ф IT J- р = Рд -Рб = Т _з_ 2,4 1 Г 1 1 = ~2~[Ф (0,92) - Ф (0,40)J -Ф (1,25) = -у (0,46509 - 0,21268) -0,60083 = 0,0758. По шкале рассеивания с точностью до 0,5 Вд имеем: _ / 0,13-2,5 0,12-10,5 \ / 0,09-0,6 /^ - I TFTE + юс; / '-• I ",/0 + 12,5 12,5 1,2 ;0,0749. Пример 2. Определить вероятность попадания в остановившийся танк, размеры которого: длина ---7л/, ширина - 3 м и высота - 2 л/, если Z?d == - 15 м, Вб =: 1,2 Л? и ^/ 6С - 5°. При этом средняя траектория совпадает с серединой основания танка и до остановки танк двигался фронтально. ?2м:42? tfU'Oftf OJM-M9. . W %7,5 М^ ______ ______ _________ м ^ -"_ ......... _. -- КГ/1..-Л9С ,, - ~Д"- - , 1Члл-П1К - -- а. Рис. 115 Решение. Принимая фигуру танка за прямоугольный параллелепипед (рис. 115), определяем длину горизонтального прямоугольника, отвечающего вероятности попадания в танк: 2 ./ + d = 7 + -----5-7- = 30 м. tg5< Отсюда искомая вероятность: а) но таблице значений Ф (^) Р=Т-Ф 30 15 •^(В) = -2-ф(2'00)-ф(1'25) = = ^-•0,82266-0,60083 ~ 0.24714 ^ 24,70/0; б) по шкале рассеивания (рис. 115) / 0,09-0,3 \ Р = (0,25 + 0,16) X 2 ( 0,25 + Q6 i = 0,41-0,59 ^ 0,2419 и 24,20/0. § 57. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ ПОПАДАНИЯ СПОСОБОМ СОПОСТАВЛЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ Для небольших участков эллипса рассеивания можно допустить, что точки падения на этих участках распределяются равномерно. При таком допущении можно определять вероятность попадания в цели малых размеров способом сопоставления площадей, т. е. принимать, что вероятность попадания в цель так относится к вероятности попадания в участок эллипса рассеивания, как площадь цели относится к площади участка эллипса рассеивания. Обозначим площадь цели через S, вероятность попадания в нее через Р, площадь участка эллипса рассеивания через s и вероятность попадания в этот участок через р. Тогда, исходя из принятой нами пропорциональности, получим: Р-рА ^ - Р s • Следует подчеркнуть, что способ сопоставления площадей дает лишь приближенное решение, причем ответ будет тем точнее, чем ближе размеры цели будут к размерам сопоставляемого участка эллипса рассеивания. Наиболее широко в артиллерийской практике применяется способ сопоставления площади цели с площадью единичного прямоугольника рассеивания. Нам известно, что площадь такого прямоугольника для горизонтальной плоскости равна ЪВд-ЪВб = *Вд'Вб и для вертикальной плоскости 2Вв.2Вб = 4Вв-Вб, а вероятность попадания в него -0,25 (см. стр. 211). Тогда приведенная выше формула примет вид: ^ . "ч р_о ос; - ° г v,и/у- Для проверки произведем подсчет по таблице значений Ф(Р): р==ф(п) *ф (172)=ф(°'364)-ф(°'833)^ = 0,19394 • 6,42578 " 0,08258. Совершенно очевидно, что сопоставление с площадью единичного эллипса рассеивания дало ответ, более близкий к точному. Для целей очень малых размеров их площади можно сопоставлять с площадью половинного эллипса рассеивания. Тогда 5 0,07-5 Р= 0,055 "•Q,S-Be-Q?B6 Вв-Вб Пример 4. Амбразура ДОТ имеет ширину 0,6 м и высоту 0,4 м. Определить вероятность попадания в амбразуру, если средняя траектория проходит через ее центр, Be = 0,6 м и Вб - 0.7 м. Решение. Так как очертания амбразуры не выходят из пределов половинного эллипса рассеивания, то искомая вероятность Р - 0,07.0,6-0,4 - 40/0. 0,6-0,7 Если размеры цели таковы, что их можно достаточно плотно, - с небольшими, сравнительно, "зазорами", - вписать в прямоугольник, стороны которого параллельны главным полуосям единичного эллипса рассеивания, то способ сопоставления площадей применим для любого участка эллипса рассеивания, независимо от его удаления от центра рассеивания. Пример 5. Цель - круглый блиндаж радиусом 3 м. Центр блиндажа С относительно центра рассеивания Су смещен, как это показано на рис. 116. Определить вероятность попадания в блиндаж, если Вд - 1^м и Вб=4м. Решение. Вписываем круг в прямоугольник, стороны которого параллельны глав-( ным полуосям единичного эллипса рассеивания, Рис. 116 i -1' и определяем вероятность попадания в этот прямоугольник: вероятность попадания по дальности , Г<Г1 ------ .- J \12 м 0 ^-J- ^ CJ г i ' ~~о 3: k- Рд ' =4[" ( 18 Ф(-24-1 -Ф 12 24 )]< 1 у[Ф(0,75) (0,38705 - 0,26407) " 0,0615; - Ф (0,50)] = 270 вероятность попадания по направлению Рв = -г[ф(~-Г )-ф(~-г)] = Т [Ф (2,00)-Ф (0,50)] = = -j- (0,82266 - 0,26407) " 0,2793; вероятность попадания в прямоугольник Р' - рд''р0' =0,0615-0,2793 " 0,0172. Подставляем эту вероятность в формулу сопоставления площадей; тогда вероятность попадания в блиндаж S л 9 Р = р - = 0,0172 -д-р = 0,0107 х 1° 0. § 58. ВЕРОЯТНОСТЬ ПОПАДАНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ОШИБКИ В ОПРЕДЕЛЕНИИ ПОЛОЖЕНИЯ ЦЕЛИ Перед переходом к стрельбе на поражение о положении цели относительно средней траектории судят по результатам пристрелки, причем результат пристрелки дает не одно какое-то вполне определенное положение цели, а распределение цели (см. § 21). Это означает, что, перейдя на поражение на установках, соответствующих наивероятнейшему положению цели, можно допустить ошибку, так как действительное положение цели может и не соответствовать скомандованным установкам. Так как большая или меньшая ошибка в определении положения цели относительно средней траектории неизбежна, то возникает вопрос: как же найти вероятность попадания в цель при наличии ошибки в определении ее положения? Ошибки в определении положения цели следуют закону Гаусса. Этому же закону следуют ошибки, происходящие вследствие рассеивания. Отсюда срединная ошибка В'', характеризующая взаимодействие (совокупность) этих двух систем ошибок, по общему правилу сложения векториальных ошибок будет равна ____ 5/ = 1/"/52 + а2, где В - срединное отклонение по данному направлению; а - срединная ошибка способа определения положения цели. В зависимости от направления эти срединные ошибки или срединные отклонения выражаются следующими формулами: по дальности _____ Вд' = Увд* + а?-, по направлению Вб''=1/"Вб* + а2; 271 по высоте Вв' = У Вв* + а\ Этими формулами будем пользоваться при определении вероятности попадания. В остальном решение задачи производится одним из рассмотренных выше способов. Следует подчеркнуть, что эти формулы справедливы только при подсчетах вероятности попадания при одном выстреле и математического ожидания числа попаданий, но непригодны для определения вероятности хотя бы одного, двух и т. д. попаданий. Пример 1. Батарея ведет фронтальный огонь по железнодорожному полотну шириной 6 м. Определить вероятность попадания в полотно, если Вд = 20 м, средняя траектория проходит в 10 ж перед передним краем полотна и положение средней траектории относительно полотна определено со срединной ошибкой, равной 15 м. Решение. Находим величину срединного отклонения с учетом срединной ошибки определения положения цели: Вд' = у 20- + 152 = 25 м. Пользуясь найденным значением Вд', определяем вероятность попадания в заданную цель: Р = Т [Ф " ( Ж ) - * (-§§• )] = Т [Ф (°'64> - Ф <°'4°)- = = - (0,33402 - 0,21268) = 0,06067 х 6,1%. Пример 2. Батарея ведет фланговый огонь вдоль шоссе шириной 5 м. Судя по результатам пристрелки, можно считать, что средняя траектория проходит через край шоссе. Какова вероятность попадания в шоссе, если Вб = 3,2 м и срединная ошибка в определении положения средней траектории относительно цели равна 2,4 м? Решение. Вб' -= jA,2-~-H2l42 = 4 м. 1 / 5 \. 1 Р--Ф'-^-|=-уФ (1,25) = 0,30042 я 30"/0. § 59. ЗАДАЧИ НА ВЕРОЯТНОСТЬ ПОПАДАНИЯ Задача 146. Определить вероятность попадания в каменную стенку высотой 4,5 м при фронтальном огне, если средняя траектория проходит через середину основания стенки и Be - 3 м. Ответ. 0,34417 (34: 6С = 11ь 20' и средняя траектория проходит в 5 м перед стеной? Ответ. 20ДО/0. Задача 163. Определить вероятность попадания в остановивши и ся танк размером 5 X 2 х 1,7 м. если средняя траектория проходит через основание танка; Вд = 13 м- Вб = 1.2 м и Z_ Вс - 4С24/. Плоскость стрельбы направлена вдоль танка. Ответ. 17,3%. Задача 164. Амбразура ДОТ размером 0-3 х 0,9 м накрывается единичным прямоугольником рассеивания. Чему равна вероятность попадания в амбразуру, если Be = 0,4 м и Вб = 0.5 м! Ответ. 8;40/0. Задача 165. Цель - круглый блиндаж радиусом 2 м. Определить вероятность попадания в цель, если Вд - 20 м- Вб - 3 м и блиндаж накрывается единичным эллипсом рассеивания. Ответ. 1,350/Q. Задача 166. Цель - окоп протяжением 5 м по фронту и 10 м в глубину. Средняя траектория проходит в 15 м перед передним краем окопа. Чему равна вероятность попадания в окоп, если срединная ошибка в определении положения средней траектории в дальности равна 18 м, Вд -= 25 м, и Вб = 2,5 м. Ответ. 4,10/0. Задача 167. Цель - блиндаж размером 8 м по фронту и 12 м в глубину. Огонь ведется фронтально. Средняя траектория проходит через середину переднего края блиндажа. Известно- что срединные-ошибки в определении положения цели относительно средней траектории равны: в дальности - 0.5 Вд и в направлении 0,8 Вб. Чему равны вероятность попадания в блиндаж, если Вд - 30 м и Вб - 5 ."? Ответ. 2,9'Vo ,_, " Приложение 1 ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИИ Ф(р) ВЕРОЯТНОСТЬ ПОЛУЧЕНИЯ ОШИБКИ В ПРЕДЕЛАХ ОТ О ДО _± р р Ф(Р) Diff. Р Ф(Р) Diff. Р Ф(Р) Diff. 0,00 0,00000 0,24 0,12860 1 0,48 0,25388 1 538 531 510 0,01 0,00538 0,25 0,13391 0,49- 0,25898 538 530 509 0,02 0,01076 0,26 0,13921 0,50 0,26407 538 530 508 0,03 0,01614 0,27 0, 14451 0,51 0,26915 538 529 506 0,04 0,02152 0,28 0,14980 0,52 0,27421 538 528 506 0,05 0,02690 0,29 0,15508 0,53 0,27927 538 527 504 0,06 0,03228 0,30 0,16035 0,54 0,28431 538 527 503 0,07 0,03766 0,31 0,16562 0,55 0,28934 537 526 502 0,08 0,04303 0,32 0,17088 0,56 0,29436 537 526 500 0.09 0,04840 0,33 0,17614 0,57 0,29936 537 524 499 0,10 0,05377 0,34 0,18138 0,58 0,30435 537 524 498 0,11 0,05914 0,35 0,18662 0,59 0,30933 537 523 497 0,12 0,06451 0,36 0,19185 0,60 0,31430 536 522 495 0,13 0,06987 0,37 0,19707 0,61 0,31925 536 522 494 0,14 0,07523 0,38 0,20229 0,62 0,32419 536 520 492 0,15 0,08059 0,39 0,20749 0,63 0,32911 535 519 491 0,16 0,08594 0,40 0,21268 0,64 0,33402 535 519 490 0,17 0,09129 0,41 0,21787 0,65 0,33892 534 517 4S8 0,18 0,09663 0,42 0,22304 0,66 0,34380 534 517 486 0,19 0,10197 0,43 0,22821 0,67 0,34866 534 515 486 0,20 0,10731 0,44 0,23336 0,68 0,35352 533 515 | 483 0,21 0,11264 0,45 0,23851 0,69 0,35835 532 513 482 0,22 0,11796 0.46 0,24364 0,70 i 0,36317 532 512 481 0,23 0,12328 0,47 0,24876 0,71 \ 0,36798 ! 532 512 479 0,24 0,12860 1 0,48 > 0,25388 0,72 0,37277 ! 1 18* 275 р Ф(Р) Diff. Р Ф(Р) Diff. Р Ф(Э) Diff. 0,72 0,37277 0,98 0,49139 1,24 0,59705 478 431 378 0,73 0,37755 0,99 0,49570 1,25 0,60083 476 430 377 0,74 0,38231 1,00 0,50000 1,26 0,60460 474 428 373 0,75 0,38705 . 1,01 0,50428 1,27 0,60833 473 425 372 0,76 0,39178 1,02 0,50853 1,28 0,61205 471 424 370 0,77 0,39649 1,03 0,51277 1,29 0,61575 469 422 367 0,78 0,4Ш18 1,04 0,51699 1,30 0,61942 468 420 366 0,79 0,40586 1,05 0,52119 1,31 0,62308 466 418 363 0,80 0,41052 1,06 0,52537 1,32 0,62671 465 415 361 0,81 0,41517 1,07 0,52952 1,33 0,63032 462 * 414 359 0,82 0,41979 1,08 0,53366 1,34 0,63391 461 412 356 0,83 0,42440 1,09 0,53778 1,35 0,63747 459 410 355 0,84 0,42899 1,10 0,54188 1,36 0,64102 458 407 352 0,85 0,43357 1,11 0,54595 1,37 0,64454 456 406 350 0,86 0,43813 1,12 0,55001 1,38 0,64804 454 403 348 0,87 0,44267 1,13 0,55404 1,39 • 0,65152 452 402 346 0,88 0,44719 1,14 0,55806 1,40 0,65498 450 399 343 0,89 0,45169 1,15 0,56205 1,41 0,65841 449 397 341 0,90 0,45618 1,16 0,56602 1,42 0,66182 . 446 396 339 0,91 0,46064 1,17 0,56998 1,43 0,66521 445 393 337 0,92 0,46509 1,18 0,57391 1,44 0,66858 443 391 335 0,93 0,46952 1,19 0,57782 1,45 0,67193 441 389 333 0,94 .0,47393 1,20 0,58171 1,46 0,67526 439 387 330 0,95 0,47832 1,21 0,58558 1,47 0,67856 438 384 328 0,96 0,48270 1,22 0,58942 1,48 0,68184 435 383 326 0,97 0,48705 1,23 0,59325 1,49 0,68510 434 380 323 0,98 0,49139 1,24 0,59705 1,50 0,68833 276 р Ф(Р; Diff. Р Ф(Р) Diff. Р Ф(Р) Diff. 1,50 0,68833 1,76 0,76481 2,02 0,82695 322 265 212 1,51 0,69155 1,77 0,76746 2,03 0,82907 319 263 210 1,52 0,69474 1,78 0,77009 2,04 0,83117 317 261 207 1,53 0,69791 1,79 0,77270 2,05 0,83324 315 258 206 1,54 0,70106 1,80 0,77528 2,06 0,83530 313 257 " 204 1,55 0,70419 1,81 0,77785 2,07 0,83734 310 254 202 1,56 0,70729 1,82 0,78039 2,08 0,83936 309 252 201 1,57 0,71038 1,83 0,78291 2,09 0,84137 306 251 198 1,58 0,71344 1,84 0,78542 2,10 0,84335 304 248 196 1,59 0,71648 1,85 0,78790 2,11 0,84531 301 246 195 1,60 0,71949 1,86 0,79036 2,12 0,84726 300 244 193 1,61 0,72249 1,87 0,79280 2,13 0,84919 297 242 190 1,62 0,72546 1,88 0,79522 2,14 0,85109 295 239 189 1,63 0,72841 1,89 0,79761 2,15 0,85298 293 238 188 1,64 0,73134 1,90 0,79999 2,16 0,85486 291 236 185 1,65 0,73425 1,91 0,80235 2,17 0,85671 289 234 183 1,66 0,73714 1,92 0,80469 2,18 0,85854 286 231 182 1,67 0,74000 1,93 0,80700 2,19 0,86036 285 230* 180 1,68 0,74285 1,94 0,80930 2,20 0,86216 282 228 178 1,69 0,74567 1,95 0,81158 2,21 0,86394 280 225 176 1,70 0,74847 1,96 0,81383 2,22 0,86570 277 224 175 1,71 . 0,75124 1,97 0,81607 2.23 0,86745 276 221 172 1,72 0,75400 1,98 0,81828 2,24 0,86917 274 220 171 1,73 0,75674 1,99 0,82048 2,25 0,87088 271 218 170 1,74 0,75945 2,00 0,82266 2,26 0,87258 i 269 215 167 1,75 0,76214 2,01 0,82481 2,27 0,87425 267 214 166 1,76 0,76481 2,02 0,82695 2,28 0,87591 277 р Ф(Р) Diff. Р Ф,0 4,5 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 | 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 о,и Л Ч 1 1 Ч 1 I i < 1 1 1 i 0,1 f",O 4 0 1 1 1 2 3 3 3 3 2 1 1 1 0,2 Ч гч 1 1 2 4 5 7 8 8 7 5 4 2 1 1 0,6 о,о Ч 0 1 I 3 5 8 12 15 16 16 15 12 8 5 3 1- 1 1,2 9 *" .1 1 3 6 10. 16 23 29 32 32 29 23 16 10 6 3 1 1 2,4 9 П 1 2 5 10 18 29 40 50 56 56 50 40 29 18 10 5 2 1 4,3 1 ^ 1 1 4 8 16 29 45 63 79 89 89 79 63 45 29 16 8 4 1 1 6,7 1 п 1 2 5 12 23 40 63 89 111 124. 124 .111 89 63 40 23 12 5 2 1 9,4 П Ч' 1 3 7 15 29 50 79 111 139 156 156 139 111 79 50 29 15 7 3 1 11,8 1 3 " 8 16 32 56 89 124 155 174 174 156 124 89 56 32 16 8 3 1 13,2 1 3 8 16 32 56 89 124 156 174 mm* 174 156 124 89 56 32 16 8 3 1 13,2 0,5 1 Л 1 3 7 15 29 50 79 111 139 156 156 139 111 79 50 29 15 7 3 1 11,8 1,1) 1 2 5 12 23 40 63 89 ПГ 124 124 HI 89 63 40 23 12 5 2 1 9,4 >v> 1 1 4 8 16 29 45 63 79 89 89 79 63 45 29 16 8 4 1 1 6,7 2-0 1 2 5 10 18 29 40 50 56 56 50 40 29 18 10 5 2 1 4,3 2,5 1 1 3 6 10 16 23 29 32 32 29 23 16 10 6 3 1 1 2,4 3,0 1 1 3 5 8 12 15 16 16 15 12 8 5 3 1 1 1,2 -J,o , 1 1 2 4 5 7 8 8 7 5 4 2 1 1 0,6 4,0 1 1 1 . 2 3 3 3 3 2 1 1 1 0,2 4,5 • 1 1 1 1 1 1 1 1 0,1 5,U 0,1 0,2 0,6 1,2 2,4 4,3 6,7 9,4 11,8 13,2 13,2 11,8 9,4 6,7 4,3 2,4 1,2 0;6 0,2 0,1 В квадратах, стороны которых равны 0.5 срединного отклонения, числа дают вероятность в сотых долях процента (0,01°/0). ПЕРЕЧЕНЬ ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Под редакцией В. Г. Дьяконова, Учебник- по стрельбе артиллерии, ч. I, II и Щ. 2. И. Ф. С а к р и е р, Теория вероятностей, изд. Артиллерийской академии, 1932 г. 3. Г. Б л ин о в, Теория стрельбы наземной артиллерии, ч. I, изд. 1940 г. 4. Задачник по теории вероятностей под ред. П. М. Прохорова. 5. В. А. У н к о в с к и и, Теория стрельбы и ее приложение к стрельбе корабельной артиллерии, изд. 1939 г. 6. Е г о же, Стрельба морской артиллерии. 7. Л. Г. Гончаров, Теория вероятностей и теория ошибок в приложении к вопросам морской тактики, изд. 1938 г. 8. С. И. Ермолаев, Рассеивание снарядов, изд. 1945 г. 9. В. Л. Гончаров, Теория вероятностей, изд. 1939 г. • 10. А. Д. Б л ино в и В. В. Дмитриев, Теория вероятностей (конспект), изд. 3 ЛАУ, 1940 г. 11. Их же, Теория ошибок (конспект), изд. 3 ЛАУ, 1940 г. ОГЛАВЛЕНИЕ РАЗДЕЛ I ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Глава 1. Вероятность события Стр. § 1. Предмет теории вероятностей................. 3 § 2. Событие............................ 6 § 3. Вероятность события...................... 7 § 4. Частость события ...................... 12 § 5. Соотношение между вероятностью и частостью события .... 15 § 6. Теорема сложения вероятностей................ 16 § 7. Теорема умножения вероятностей................ 21 § 8. Геометрическая вероятность............. 34 § 9. Задачи на вероятность и частость события........... 37 Глава 2. Повторение испытаний § 10. Вероятность комбинации................... 40 § 11. Наивероятнейшая комбинация................. 46 § 12. Кривая распределения вероятностей комбинаций........ 51 § 13. Закон больших чисел..................... 56 § 14, Вероятность появления события хотя бы один, два, три и т. д. раз.............................. 58 § 15. Надежность стрельбы..................... 62 § 16. Задачи на вероятности при повторении испытаний....... 65 Глава 3. Математическое ожидание § 17. Математическое ожидание переменной величины. Математическое ожидание суммы и произведения................ 67 § 18. Частный случай математического ожидания.......... 74 § 19. Экономичность стрельбы.................... 76 § 20. Задачи на математическое ожидание.............. 78 Глава 4. Вероятности гипотез § 21. О вероятностях гипотез.................... 79 § 22, Теорема гипотез...................... 82 § 23. Теорема будущих событий................... 94 § 24. Задачи на вероятности гипотез................ 102